2024年九年级中考数学解题模型之圆内接四边形的性质

2024年初中数学解题模型之圆内接四边形的性质 一．选择题（共10小题） 1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（　　） A．70° B．80° C．75° D．60° 2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AD＝BC，∠ACB＝30°，∠ADC＝75°，则＝（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∠ADC＝105°，AD＝3，C为的中点，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，OB，若∠A＝70°，，则∠DBC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．50° 5．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 6．如图，四边形ADBC内接于⊙O，四边形ADBO是平行四边形，则∠ABD的度数是（　　） A．45° B．50° C．20° D．30° 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为上任意一点（点E不与点D，C重合），连接BE交DC于点P．若∠A＝120°，则∠CPE的度数可能为（　　） A．30° B．45° C．50° D．65° 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BE＝CE，则∠BAD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝108°，，连接OA，OD，OC，则∠COD的度数为（　　） A．24° B．48° C．72° D．96° 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝45°，BC＝，CD＝2，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．2 C． D． 二．填空题（共10小题） 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 　 　． 12．如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为 　 　． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　 　°． 14．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　 　． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 　 　． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是 　 　． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，，BC的长为 　 　． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　 　°． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，，则AE＝　 　． 20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，则AC的长为 　 　． 三．解答题（共10小题） 21．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求∠BAD的度数； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点E，F为AC上一点，∠BFC＝∠BAD． （1）求证：∠ABF＝∠CBD； （2）若∠BFC＝2∠CFD，求的值． 23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠ABD＝∠ADC，过点D作DP∥AB，交⊙O于点M，交BC的延长线于点P． （1）求证：BP＝BD； （2）若cos∠ABD＝，AB＝10，求CP的长． 24．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E是上的点（不与点A，C重合），连接BE并延长至点G，连接AE并延长至点F，BE与AC交于点D． （1）求证：∠GEF＝∠CEF； （2）若⊙O的半径为5，BC＝6，点D是AC的中点，求BD的长． 25．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点A作AF∥CD交CB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝3，求此圆半径的长． 26．如图，在⊙O中有一个内接四边形ABCD，延长AD与BC的延长线相交于点E，求证： （1）DE•AE＝CE•BE； （2）BD•AC＝BC•AD+AB•CD． 27．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，AB＝BD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，连接AC． （1）求证：∠ADB＝∠E； （2）若AC＝5，DE＝3，，求⊙O的半径． 28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD交于点E．已知⊙O的半径为3，CD＝3，∠AEB＝75°． （1）求∠CBD的度数． （2）求AB的长． （3）当△EBC的面积最大时，求的值． 29．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：BD为圆的直径； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝3，求此圆半径的长． 30．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 2024年初中数学解题模型之圆内接四边形的性质 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学解题模型之圆内接四边形的性质 参考答案与试卷详解详析 一．选择题（共10小题） 1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（　　） A．70° B．80° C．75° D．60° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ABC的度数，利用互余得出∠BAE的度数，进而利用垂径定理和圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝130°， ∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°， ∵AO⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝40°，BC＝2BE， ∴∠BDC＝2∠BAE＝80°， 故选：B． 【点评】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得∠ABC的度数是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AD＝BC，∠ACB＝30°，∠ADC＝75°，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】连接DB交AC于点E，先证明△ABD≌△BAC得出∠BAD＝∠ABC，AC＝BD，根据四边形ABCD为⊙O的内接四边形，进而得出AB∥CD，结合已知条件得出△CDE，△AEB是等腰直角三角形，设AB＝a，进而解Rt△ADB，Rt△ADE，Rt△DCE即可求解． 【解答】解：如图所示，连接DB交AC于点E， ∵＝， ∴∠ADB＝∠ACB， ∵AD＝BC， ∴＝， ∴∠ABD＝∠BAC， 又∵AB＝BA， ∴△ABD≌△BAC， ∴∠BAD＝∠ABC，AC＝BD， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠ACB＝30°，∠ADC＝75°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADB＝75°﹣30°＝45°， ∵＝， ∴∠ACD＝∠BDC＝45° ∴△CDE是等腰直角三角形，AC⊥BD， ∴DE＝EC， ∴AE＝EB， ∴△AEB是等腰直角三角形， 设AB＝a，则， ∵∠ADB＝∠ACB＝30°， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∠ADC＝105°，AD＝3，C为的中点，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】先根据90度的圆周角所对的弦是直径判断出BD是直径，再根据圆周角定理求得∠BCD＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠ADB＝60°，进而利用锐角三角函数求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°， ∴BD是直径，则∠BCD＝90°， ∵C为的中点， ∴＝，则∠CBD＝∠CDB＝45°， ∵∠ADC＝105°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝60°， 在Rt△BAD中，AD＝3， ∴， 在Rt△BCD中，， 故选：D． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，OB，若∠A＝70°，，则∠DBC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．50° 【分析】由题意可得出OB2+OC2＝BC2，利用勾股定理逆定理得出∠BOC＝90°，由圆周角定理得出∠BDC＝45°，由圆内接四边形的性质得出∠BCD＝110°，最后利用三角形内角和定理即可求出答案． 【解答】解：∵OB＝OC，， ∴OB2+OC2＝BC2， ∴△OBC是直角三角形， ∴∠BOC＝90°， ∴， ∵∠A＝70°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠BCD＝25°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，圆周角定理，三角形内角和定理，以及圆内接四边形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 5．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝75°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A＝150°，根据∠BOC＝2∠COD求出∠COD＝50°，根据圆周角定理得出∠CBD＝COD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝105°， ∴∠A＝75°， ∴∠BOD＝2∠A＝150°， ∵∠BOC＝2∠COD， ∴∠COD＝＝50°， ∴∠CBD＝COD＝25°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理等知识点，能根据圆内接三角形的性质得出∠A+∠BCD＝180°和∠CBD＝COD是解此题的关键． 6．如图，四边形ADBC内接于⊙O，四边形ADBO是平行四边形，则∠ABD的度数是（　　） A．45° B．50° C．20° D．30° 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠C+∠D＝180°，利用平行四边形的性质得到∠AOB＝∠D，再根据圆周角定理得到∠C＝∠AOB，所以∠D+∠D＝180°，于是可求得∠D＝120°，接着证明四边形ADBO是菱形，所以DA＝DB，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABD的度数． 【解答】解：∵四边形ADBC内接于⊙O， ∴∠C+∠D＝180°， ∵四边形ADBO是平行四边形， ∴∠AOB＝∠D， ∵∠C＝∠AOB， ∴∠D+∠D＝180°， 解得∠D＝120°， ∵四边形ADBO是平行四边形，OA＝OB， ∴四边形ADBO是菱形， ∴DA＝DB， ∴∠ABD＝∠BAD＝×（180°﹣120°）＝30°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和平行四边形的性质． 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为上任意一点（点E不与点D，C重合），连接BE交DC于点P．若∠A＝120°，则∠CPE的度数可能为（　　） A．30° B．45° C．50° D．65° 【分析】由圆内接四边形的性质得∠C度数为60°，再由∠CPE为△PCB的外角求解． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A＝120°， ∴∠C＝180°﹣∠B＝60°， ∵∠CPE为△PCB的外角， ∴∠CPE＞∠C，只有D满足题意． 故选：D． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BE＝CE，则∠BAD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 【分析】连接BD，先由圆周角定理及“等弧对等弦”证得∠CAD＝45°，再由“同弧上的圆周角相等”证得∠DBE＝45°，结合∠BED＝90°可推得DE＝BE，得出，则∠DCE＝60°，再根据四边形内角和定理可得∠BAD的大小． 【解答】解：如图，连接BD． ∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD＝45°． ∴∠DBC＝∠DAC＝45°， ∵DE⊥BC，则∠BED＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形，又 ∴， 在Rt△CDE中，， ∴∠DCE＝60°． ∴∠BAD＝180°﹣∠DCE ＝120°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，解题的关键是作出正确的辅助线． 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝108°，，连接OA，OD，OC，则∠COD的度数为（　　） A．24° B．48° C．72° D．96° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC＝180°，求出∠B的度数，再根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠B＝144°，再根据，求出答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠ADC＝108°， ∴∠B＝72°， ∴∠AOC＝2∠B＝144°， ∵， ∴∠COD＝∠AOC＝48°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝45°，BC＝，CD＝2，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．2 C． D． 【分析】过B点作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，OB，OD，通过证明△OBD为等腰直角三角形可得OB＝，通过证明△BCE为等腰直角三角形可得BE＝CE＝1，即可求出ED的长，再利用勾股定理求解BD的长，进而可求出OB的长． 【解答】解：过B点作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，OB，OD， ∵∠BAD＝45°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∠BCE＝∠A＝45°， ∵OB＝OD， ∴△OBD为等腰直角三角形， ∴OB＝， ∵BE⊥CD，∠BCE＝45°， ∴△BCE为等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝BC＝1， ∵CD＝2， ∴ED＝CE+CD＝3， ∴BD＝， ∴OB＝． 故选：D． 【点评】本题考查了圆内接四边形，等腰直角三角形，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 　100°　． 【分析】根据圆周角定理得出∠D＝AOC，求出∠D，根据圆内接四边形的性质得出∠D+∠ABC＝180°，再求出答案即可． 【解答】解：∵∠AOC＝160°， ∴∠D＝AOC＝80°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝100°． 故答案为：100°． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 12．如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为 　110°　． 【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAE＝90°，∠CAB＝∠BDC，再根据角的和差关系求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠CAE＝90°， ∵∠CAB＝∠BDC＝20°， ∴∠EAB＝∠CAE+∠CAB＝110°； 故答案为：110°． 【点评】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是关键． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　130　°． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠BOD＝100°， ∴∠A＝50°． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键． 14．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　130°　． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵∠BOD＝100° ∴∠A＝50° ∠BCD＝180°﹣∠A＝130° 故答案为：130°． 【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 　110°　． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出＝，根据圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ABC，再根据圆内接四边形的性质得出∠D+∠ABC＝180°，再求出答案即可． 【解答】解：∵BC＝CD， ∴＝， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAB＝40°， ∴∠BAC＝∠DAC＝20°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∴∠D＝180°﹣70°＝110°， 故答案为：110°． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆内接三角形的对角互补是解此题的关键． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是 　130°　． 【分析】利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算∠B＝50°，利用圆内接四边形的性质求得∠ADC的度数． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130°． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，，BC的长为 　1　． 【分析】过O作OH⊥AD于H，连接OB，OC，由圆周角定理求出∠ABD＝∠AOD＝60°，∠BOC＝2∠BAC＝60°，判定△OBC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质推出AH＝AD＝，∠AOH＝∠AOD＝60°，由sin∠AOH＝＝，求出AO＝1，即可得到BC＝OB＝OA＝1． 【解答】解：过O作OH⊥AD于H，连接OB，OC， ∵∠AOD＝120°， ∴∠ABD＝∠AOD＝60°， ∵AC⊥BD， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB， ∵OH⊥AD于H，OA＝OD， ∴AH＝AD＝，∠AOH＝∠AOD＝60°， ∴sin∠AOH＝sin60°＝＝， ∴AO＝1， ∴BC＝OB＝OA＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出△OBC是等边三角形，由锐角的正弦求出OA的长． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　35　°． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠EDC+∠FBC＝180°， ∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵∠E＝45°， ∴∠F＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，，则AE＝　　． 【分析】连接AC，根据BA平分∠DBE，可得∠ABE＝∠ABD；根据四边形ABCD内接于⊙O，可得∠ABE＝∠ADC，进而可得∠ABE＝∠ABD＝∠ADC，即有∠ACD＝∠ADC，则有AD＝AC，最后利用勾股定理即可作答， 【解答】解：连接AC，如图， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABE＝∠ABD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠ABD＝∠ADC， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴AD＝AC， ∵AD＝6， ∴AC＝6， ∵AE⊥CB，， ∴在Rt△AEC中，． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，则AC的长为 　2　． 【分析】连接AC、OA、OC，过点O作OM⊥AC，由AM＝OA•sin60°可求结果． 【解答】解：∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°， 连接AC、OA、OC，过点O作OM⊥AC，则AC＝2AM，∠AOM＝∠AOC＝60°，如图， ∴AM＝OA•sin60°＝， ∴AC＝2AM＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 三．解答题（共10小题） 21．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求∠BAD的度数； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到＝，＝，得到BD是圆的直径，得到∠BAD＝90°； （2）证明△ACD是等边三角形，求出∠BCF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出BD． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴＝， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴＝， ∴BD是圆的直径， ∴∠BAD＝90°； （2）∵＝， ∴AC＝CD， ∵AC＝AD， ∴AC＝CD＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝∠CAD＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴∠FBC＝60°， ∵CF∥AD， ∴∠F+∠BAD＝90°， ∴∠F＝90°，∠BCF＝30°， ∵BF＝2， ∴BC＝2BF＝4， ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴BD＝2BC＝8， ∴圆的半径长是4． 【点评】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点E，F为AC上一点，∠BFC＝∠BAD． （1）求证：∠ABF＝∠CBD； （2）若∠BFC＝2∠CFD，求的值． 【分析】（1）根据∠BFC＝∠BAD及三角形的外角定理得∠ABF＝∠CAD，再根据∠CAD＝∠CBD可得出结论； （2）作FG⊥BC于G，先证明∠ACB＝∠CBF得BF＝CF，则∠BFC＝2∠CFG，BC＝2CG，进而得∠CFG＝∠CFD，由此可证明△CFG和△CFD全等，则CG＝CD，进而得CD：BC＝1：2，然后证明△BAF∽△BDC得AF：BF＝CD：BC＝1：2，则BF＝CF＝2AF，进而得AC＝AF+CF＝3AF，据此可得的值． 【解答】（1）证明：∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAD＝∠BAC+∠CAD， 又∵∠BFC＝∠BAD， ∴∠BAC+∠ABF＝∠BAC+∠CAD， 即∠ABF＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠ABF＝∠CBD， （2）解：作FG⊥BC于G，如下图所示： ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， 又∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ACB， 由（1）可知：∠ABF＝∠CBD， ∴∠ABF+∠DBF＝∠CBD+∠DBF， 即∠ABD＝∠CBF， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴BF＝CF， ∵FG⊥BC， ∴∠BFC＝2∠CFG，BC＝2CG， ∵∠BFC＝2∠CFD， ∴∠CFG＝∠CFD， ∵∠ACB＝∠ADB，∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB， ∴∠ACB＝∠ACD， 在△CFG和△CFD中， ， ∴△CFG≌△CFD（ASA）， ∴CG＝CD， ∴BC＝2CD， 即CD：BC＝1：2， ∵∠ABF＝∠CBD，∠BAF＝∠BDC， ∴△BAF∽△BDC， ∴AF：CD＝BF：BC， 即AF：BF＝CD：BC＝1：2， ∴BF＝2AF， ∵BF＝CF， ∴CF＝2AF， ∴AC＝AF+CF＝3AF， ∴． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠ABD＝∠ADC，过点D作DP∥AB，交⊙O于点M，交BC的延长线于点P． （1）求证：BP＝BD； （2）若cos∠ABD＝，AB＝10，求CP的长． 【分析】（1）结合平行线的性质以及角的等量代换，得出∠CDP＝∠ADB，根据圆内接四边形的对角互补以及邻补角性质，得∠DCP＝∠DAB，再由等角对等边，即可作答； （2）结合圆周角定理得出，CM＝AB＝10，根据圆内接四边形的对角互补以及邻补角性质，得∠PCM＝∠BDM，然后进行角的等量代换，得出∠ABD＝∠BDP＝∠P，运用锐角三角函数进行列式计算，即可作答． 【解答】（1）证明：∵DP∥AB， ∴∠ABD＝∠BDP， ∵∠ABD＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠BDP， ∴∠CDP＝∠ADB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCP+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DAB＝180°， ∴∠DCP＝∠DAB， ∵∠DCP+∠CDP+∠P＝180°，∠DAB+∠ADB+∠ABD＝180°， ∴∠P＝∠ABD＝∠BDP， ∴BP＝BD； （2）解：如图，连接CM，作MH⊥BP于H， ∵∠CDP＝∠ADB， ∴， ∴CM＝AB＝10， ∵∠PCM+∠BCM＝180°，∠BCM+∠BDM＝180°， ∴∠PCM＝∠BDM， ∵∠P＝∠BDP， ∴∠P＝∠PCM， ∴MP＝CM＝10， ∵MH⊥CP， ∴CH＝PH， ∵∠ABD＝∠BDP＝∠P， ∴， ∴PH＝4， ∴CP＝2PH＝8． 【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形，等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数、平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E是上的点（不与点A，C重合），连接BE并延长至点G，连接AE并延长至点F，BE与AC交于点D． （1）求证：∠GEF＝∠CEF； （2）若⊙O的半径为5，BC＝6，点D是AC的中点，求BD的长． 【分析】（1）由四边形ABCE为圆内接四边形，得到∠ABC+∠AEC＝180°，结合AB＝AC，得到∠AEB＝∠ACB，∠AEB＝∠GEF，即可求解， （2）作AH⊥BC，DM⊥BC，由AH为BC的垂直平分线，得到，根据勾股定理，AH＝OA+OH＝9，根据平行线截线段成比例，得到，依次求出，，，根据勾股定理，即可求解， 【解答】（1）证明：∵点A，B，C，E均在⊙O上， ∴四边形ABCE为圆内接四边形． ∴∠ABC+∠AEC＝180°． 又∵∠CEF+∠AEC＝180°， ∴∠ABC＝∠CEF． 又AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． 又∵∠AEB＝∠ACB，∠AEB＝∠GEF， ∴∠GEF＝∠CEF． （2）解：作AH⊥BC于H， 又∵AB＝AC， ∴AH为BC的垂直平分线， 过点D作DM⊥BC于点M，连接OB， ∵AH为BC的垂直平分线， ∴点O在AH上， ∴， ∴， ∴AH＝OA+OH＝5+4＝9， ∵AH⊥BC，DM⊥BC， ∴DM∥AH．又AD＝CD， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，平行线截线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 25．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点A作AF∥CD交CB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝3，求此圆半径的长． 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，进而可得∠ADB＝∠CDB，再证，推出BD是圆的直径，可得∠BAD＝90°； （2）先证∠F＝90°，△ADC是等边三角形，进而证明△BCD和△BFA是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，即可求出半径． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB， ∴， ∴∠ADB＝∠CDB，即DB平分∠ADC． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∴，即， ∴BD是圆的直径， ∴∠BAD＝90°． （2）解：∵∠BAD＝90°，AF∥CD， ∴∠F+∠BCD＝180°， ∵BD是圆的直径， ∴∠BCD＝90° ∴∠F＝90°． ∵， ∴AD＝DC． ∵AC＝AD， ∴AC＝AD＝CD， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC＝60°． ∵DB平分∠ADC， ∴． ∵BD是圆的直径， ∴． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠FBA＝60°， ∴∠FAB＝90°﹣60°＝30°， ∴． ∵BF＝3， ∴AB＝6， ∴BD＝2BC＝2AB＝12． ∵BD是圆的直径， ∴半径的长为． 【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质等，解题的关键是推导得出△BCD和△BFA是含30度角的直角三角形． 26．如图，在⊙O中有一个内接四边形ABCD，延长AD与BC的延长线相交于点E，求证： （1）DE•AE＝CE•BE； （2）BD•AC＝BC•AD+AB•CD． 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证明△EDC∽△EBA即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE＝∠ABC， 又∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴＝， ∴DE•AE＝CE•BE； （2）如图，在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA， ∵∠DAC＝∠DBC， 又∵∠MCB＝∠DCA， ∴△MCB∽△DCA， ∴＝，即BC•AD＝AC•BM， ∵∠CDB＝∠CAB， 又∵∠DCM＝∠ACB， ∴△DCM∽△ACB， ∴＝，即AB•CD＝AC•DM． ∴AB•CD+BC•AD＝AC•DM+AC•BM＝AC•（DM+BM）＝AC•BD， 即BD•AC＝BC•AD+AB•CD． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，AB＝BD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，连接AC． （1）求证：∠ADB＝∠E； （2）若AC＝5，DE＝3，，求⊙O的半径． 【分析】（1）由内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD＝180°，再由AE∥BC得∠BCD+∠E＝180°，由此得∠BAD＝∠E，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB，据此可得出结论； （2）连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，过点A作AG⊥DE于G，先证∠DAE＝∠BDC＝∠BAC，进而得∠CAE＝∠BAD＝∠ADB＝∠E，则AC＝EC＝5，CD＝EC﹣DE＝2，设DG＝x，在Rt△ADG中由勾股定理得AG2＝AD2﹣DG2＝17﹣x2，在Rt△ACG中由勾股定理得AG2＝AC2﹣CG2＝25﹣（x+2）2，由此得x＝1，则AG＝4，CG＝3，证△ADF和△AGC相似，利用相似三角形的性质可求出AF＝，进而可得⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵AE∥BC， ∴∠BCD+∠E＝180°， ∴∠BAD＝∠E， ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠E； （2）解：连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，过点A作AG⊥DE于G，如下图所示： ∵∠ADE+（∠E+∠DAE）＝180°，∠ADE+（∠ADB+∠BDC）＝180°， ∴∠E+∠DAE＝∠ADB+∠BDC， 由（1）可知：∠ADB＝∠E， ∴∠DAE＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， 即∠CAE＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠ADB＝∠E， ∴∠CAE＝∠E， ∴AC＝EC， ∵AC＝5，DE＝3， ∴EC＝5， ∴CD＝EC﹣DE＝2， 设DG＝x， 在Rt△ADG中，AD＝，DG＝x， 由勾股定理得：AG2＝AD2﹣DG2＝17﹣x2， 在Rt△ACG中，AC＝5，CG＝CD+DG＝x+2， 由勾股定理得：AG2＝AC2﹣CG2＝25﹣（x+2）2， ∴17﹣x2＝25﹣（x+2）2， 解得：x＝1， ∴AG＝＝4，CG＝x+2＝3， ∵AF为⊙O的直径， ∴∠ADF＝90°， 又∵AG⊥DE于G， ∴∠ADF＝∠AGC＝90°， 又∵∠F＝∠ACG， ∴△ADF∽△AGC， ∴AF：AC＝AD：AG， 即， ∴AF＝， ∴⊙O的半径r＝AF＝． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的性质，勾股定理，理解圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质，灵活利用勾股定理构造方程是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造直角三角形和相似三角形． 28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD交于点E．已知⊙O的半径为3，CD＝3，∠AEB＝75°． （1）求∠CBD的度数． （2）求AB的长． （3）当△EBC的面积最大时，求的值． 【分析】（1）连接OC和OD，可得△OCD是等边三角形，则∠COD＝60°，根据圆周角定理即可求得∠CBD； （2）连接OA和OB，则OA＝OB，且∠CAD＝30°，由三角形外角定理得∠ADB＝45°，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ADB，利用勾股定理有即可； （3）过点E作EF⊥BC于点F，结合（1）可得∠CEF＝45°，进一步有EF＝CF和，利用含30度角的直角三角形的性质得BE＝2EF＝2CF，利用勾股定理得，则，此时，利用BC≤6求得，即可求得答． 【解答】解：（1）如图1，连接OC，OD． ∵⊙O的半径为3，CD＝3， ∴OC＝OD＝CD＝3， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°． ∵， ∴∠CBD＝30°． （2）如图2，连接OA，OB， 则OA＝OB＝3． ∵∠CBD＝∠CAD，∠CBD＝30°， ∴∠CAD＝30°． ∵∠AEB＝∠CAD+∠ADB＝75°， ∴∠ADB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝90°， ∴． （3）如图3，过点E作EF⊥BC于点F． 由（1）知∠ACB＝∠ADB＝45°，则∠CEF＝45°， ∴EF＝CF，． ∵∠CBD＝30°，EF⊥BC， ∴BE＝2EF＝2CF， ∴， ∴， ∴． ∵EF≥0， ∴当EF的值最大时，△EBC的面积最大． ∵⊙O的半径为3， ∴BC≤6， ∴， ∴， 即， ∴EF的最大值为， ∴，， ∴ ＝． 【点评】本题主要考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、同弧所对圆周角相等、三角形外角定理以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理等圆的相关知识． 29．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：BD为圆的直径； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝3，求此圆半径的长． 【分析】（1）由圆周角定理推出＝，＝，得到＝，因此是半圆，即可证明BD是⊙O的直径； （2）由线段垂直平分线的性质推出AD＝CD，而AC＝AD，推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°，由等边三角形的性质求出∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质推出∠F+∠BAD＝90°，求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质推出∠ADC+∠ABC＝180°，由邻补角的性质得到∠FBC+∠ABC＝180°，由补角的性质推出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝6，又∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，推出BC＝BD，即可得到圆的半径长是6． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴＝， ∵∠BAC＝∠ADB， ∴＝， ∴+＝+， ∴＝， ∴是半圆， ∴BD是⊙O的直径； （2）解：∵BD是圆的直径， ∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE， ∴∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60° ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADC＝30°， ∵CF∥AD， ∴∠F+∠BAD＝90°， ∴∠F＝90°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠FBC+∠ABC＝180°， ∴∠FBC＝∠ADC＝60°， ∴BC＝2BF＝6， ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴BC＝BD， ∵BD是圆的直径， ∴圆的半径长是6． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理推出是半圆，由含30度角的直角三角形的性质推出BC＝2BF，BC＝BD． 30．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°； （2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴BD平分∠ADC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°， ∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°； （2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE， ∴∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60° ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADC＝30°， ∵CF∥AD， ∴∠F+∠BAD＝180°， ∴∠F＝90°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠FBC+∠ABC＝180°， ∴∠FBC＝∠ADC＝60°， ∴BC＝2BF＝4， ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴BC＝BD， ∵BD是圆的直径， ∴圆的半径长是4． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形． 2024年初中数学解题模型之圆内接四边形的性质 试卷详解详析 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$