精品解析：2024年广东省广州市执信中学中考三模数学试题

2023学年第二学期初三6月数学科冲刺练习 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或者签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将字迹的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据4，4，2，3，1中位数是2 B. 反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用折线统计图 C. 甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点在半径为3的上，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C D. 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，的平分线交对角线于点E，且，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五·一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为____________． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 14. 已知一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角为________度． 15. 将正方形边绕点A逆时针旋转，得到，连接．当点E落在的垂直平分线上时，的度数为____________． 16. 如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且． （1）若，则长度是____________；（2）线段的取值范围是____________． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 解方程：3x2+x﹣4＝0 18. 如图，点在直线上，，且，求证：． 19. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小芸随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图和图的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为____________； （2）将图补充完整； （3）针对随机调查的情况，小芸决定从九（）班表示赞成的小亮、小华和小文的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小华的家长被同时选中的概率． 20. 先化简，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 21. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，，，． （1）在图2中，过点B作，垂足为E．填空： ； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 23. 如图，内接于，，直线l与相切于点C． （1）尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 25. 如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使，且，过点C作直线l于点D，连接． （1）小娟在研究这个图形时发现，，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________； （2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由： （3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期初三6月数学科冲刺练习 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或者签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将字迹的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数定义．根据题意利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵的相反数是2024， 故选：B． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据三视图，确定几何体，进行判断即可． 【详解】解：由三视图可知：该几何体是 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意； B. ，故B选项错误，不符合题意； C. ，故C选项正确，符合题意； D. ，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据4，4，2，3，1的中位数是2 B. 反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用折线统计图 C. 甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查和抽样调查，平均数，中位数以及方差等知识点，选项A根据中位数的定义判断即可；选项B根据各种统计图的特点判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据全面调查和抽样调查的定义判断即可，掌握相关定义是解答本题的关键． 【详解】A．一组数据4，4，2，3，1的中位数是3，原说法错误，故本选项不符合题意； B．反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用扇形统计图，原说法错误，故本选项不符合题意； C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定，说法正确，故本选项符合题意； D．对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解每一个不等式，求得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来，即可判定． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为， 解集表示在数轴上表示如图， 故选：A． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集并把解集在数轴上表示出来，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键． 6. 如图，点在半径为3的上，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 7. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，的平分线交对角线于点E，且，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质推出，，，得到，，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得到，关键是得到是等边三角形． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， 平分， ， ，， ． 故选：B． 10. 已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数图象与系数的关系，难度适中，利用特殊点解决字母系数的范围是解决本题的关键． ①利用特殊点和对称轴在轴左侧分类讨论字母系数的正负，得出结论； ②将看成一个整体，那么是关于方程的一个根，令得出结论； ③利用抛物线与轴两交点之间的距离，得出、、之间的关系； ④根据已知条件判断随的变化规律，得出结论． 【详解】解：图象经过， ， 若对称轴在轴的左侧则， 当时，，则，此时； 当时，，则，此时． ①正确． ， ， 的一个根为， 的一个根为：， 即． ②正确． 抛物线与轴两交点之间的距离为：， ， 即， ， ③正确． 若， 开口向上，与轴交于正半轴， ， ， 则对称轴， 当时，、的大小关系不确定． ④错误． 综上①②③正确， 故选：A． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五·一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了运用科学记数法表示较小数字的能力，运用科学记数法的定义进行求解，关键是能准确理解并运用该知识． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件计算即可； 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案是：． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到，，然后代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴， 故答案为：． 14. 已知一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角为________度． 【答案】40 【解析】 【分析】首先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求出每个外角的度数，进而求出答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵正多边形的内角和为1260°． ∴（n-2）×180°=1260°， 解得：n=9， 正九边形的每个外角为：360°÷9=40°， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°． 15. 将正方形的边绕点A逆时针旋转，得到，连接．当点E落在的垂直平分线上时，的度数为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查选旋转的性质、线段垂直平分线的性质，全等三角形法人判定和性质及正方形的性质，分两种情况讨论，根据点在的垂线平分线上，利用全等三角形，可得出是等边三角形，据此可解决问题，能通过全等三角形的性质得出是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：当点在正方形内部时，如图所示， 点在的垂线平分线上， ， ． 又四边形是正方形， ，， ． 在和中， ， ， ． 由旋转可知，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 当点正方形外部时，如图所示， 同理可得，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且． （1）若，则的长度是____________；（2）线段的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）作于，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用余弦的定义计算出，则，设，则，证明，利用相似比可表示出，将代入即可； （2）利用二次函数的性质求的取值范围． 【详解】解：（1）作于，如图， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即， ， 而， ， ，即， ， 当时，； （2）， 故当时，最大，最大值为6.4， 当时，， 点D是边上一动点（不与B、C重合）， ． 故答案为：，． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 解方程：3x2+x﹣4＝0 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】（3x+4）（x﹣1）＝0， 3x+4＝0或x﹣1＝0， 所以． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题关键在于掌握运算法则. 18. 如图，点在直线上，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由可得，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵点在直线上，， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小芸随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图和图的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为____________； （2）将图补充完整； （3）针对随机调查的情况，小芸决定从九（）班表示赞成的小亮、小华和小文的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小华的家长被同时选中的概率． 【答案】（1）； （2）补图见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）用乘以“赞成”的百分比即可求解； （）求出调查的中学生家长人数，用总人数减去的人数即可求出的人数，再补充完整条形统计图即可； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：调查的中学生家长人数为人， ∴“赞成”的中学生家长人数为人， 将图补充完整如下： 【小问3详解】 解：用分别表示小亮、小华和小文的家长，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中小亮和小华的家长被同时选中的有种结果， ∴小亮和小华的家长被同时选中的概率为． 20. 先化简，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，， 故，， 当时， 原始． 21. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； （2）从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把分别代入（）中所得的函数解析式，求出的值，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设正比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由可得，当时，， 由可得，当时，， 由函数图象可得，当时，， ∵， ∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，，，． （1）在图2中，过点B作，垂足为E．填空： ； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可得； （2）过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，则， ，在中，利用锐角三角函数的定义求出求出，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G， 则，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ， ， 点到的距离为． 23. 如图，内接于，，直线l与相切于点C． （1）尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据尺规作平行线，即尺规作角等于已知角，作出图形即可； （2）①连接，利用切线的性质和圆周角定理，进行角度的转换，即可解答；②证明，利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：①如图，连接． 直线l与相切于点C， ， 是直径， ， ， 即， ， ； ②， ， ， ， 直线是切线， ， ，， ， ∴， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最大值为 （3）点M的坐标为：， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 25. 如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使，且，过点C作直线l于点D，连接． （1）小娟在研究这个图形时发现，，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________； （2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由： （3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，且，可得，由，推出、、、四点共圆，所以；由题意知，所以，由，，可知是等腰直角三角形，推出； （2）如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．易证，则，由，，所以是等腰直角三角形，则，由，推出； （3）根据题意得到、、、四点共圆，如图所示，过点作，则，在旋转的过程中，的值是定值，所以当的值最大时，的面积最大，当经过圆心，此时最长，如图所示，将线段绕点顺时针旋转与直线交于点，可证，则，有勾股定理得到，即确定了的值即可得到的值，设，则，在中，有正切值得到，根据同弧所对圆周角相等得到，在中，，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，在图1中． ，且， ， ， 、、、四点共圆， ； ②由题意可知，， ， 又，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：线段，，的数量关系会变化，数量关系为． 理由如下： 如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点． 则， ， 又，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：， 、、、四点共圆， 如图所示，过点作， ∴， 在旋转的过程中，的值是定值， ∴当值最大时，的面积最大，当经过圆心，此时最长， 如图所示，将线段绕点顺时针旋转与直线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴确定了的值即可得到的值， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，锐角三角函数的计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$