精品解析：上海市松江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期初二数学期末考试试卷 （满分100分，完卷时间90分钟） 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级和姓名． 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位． 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 将直线向下平移个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，没有中奖 B. 平面内任意画一个三角形，内角和是 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 向量与向量是平行向量 5. 甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（ ） A. 甲车的平均速度为60km/h． B. 乙车的平均速度为100km/h． C. 甲乙两车在10：00时相遇． D. 乙比甲车先到达B地． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 C. 一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 方程的根是_________. 8. 方程的根为_________． 9. 直线的截距是____________________． 10. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 11. 若是直线上的两点，则____（填“>”、“=”或“<”）． 12. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是_______． 13. 如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米． 14. 已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于________． 15. 已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 16. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为________． 17. 如图，在正方形中，，点是正方形内的两点，且，，则的长为______． 18. 如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为______． 三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程：． 20. 解方程组：． 21. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，交于点F， （1）写出图中所有与互为相反向量的向量：_______； （2）已知，则_______． （3）在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论） 22. 如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 （1）综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． （2）当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? （3）刚好停止流水时是几时几分? 四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题9分，满分34分） 23. 某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 24. 如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 25. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， （1）求点A和点B的坐标； （2）点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； （3）交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 26. 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． （1）当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． （2）当时，求的长．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期初二数学期末考试试卷 （满分100分，完卷时间90分钟） 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级和姓名． 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位． 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 将直线向下平移个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先求出一次函数平移后的解析式，，一次函数经过一、三象限，，一次函数经过第四象限，即可得到直线不经过的象限． 详解：直线向下平移个单位， 得到的直线解析式为 ，一次函数经过一、三象限，，一次函数经过第四象限， 平移后的新直线一定不经过第二象限， 故选B. 点睛：考查一次函数图象的平移以及一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键. 2. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，一元二次方程，无理方程的根问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 解A选项中的分式方程得是增根，B、D选项可以根据根的判别式进行判断，C选项由进行判断． 【详解】解：A、，解得，经检验是增根，舍去，故本选项不符合题意； B、，，故该一元二次方程无实数根，故本选项不符合题意； C、，则，故该方程无实数根，故本选项不符合题意； D、，，，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．设，则；然后将与代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可． 【详解】解：， ， 由原方程，得 ； 方程的两边同时乘以，得 ， 移项，得 ． 故选：A． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，没有中奖 B. 平面内任意画一个三角形，内角和是 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 向量与向量是平行向量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、随机事件的概念理解，要注意到必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是在一定条件下可能会发生的事件．根据必然事件就是在一定条件下一定会发生的事件进行判断即可． 【详解】解：A.、购买一张彩票，没有中奖是随机事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； C.、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； D、向量与向量是平行向量是随机事件，不符合题意； 故选：B． 5. 甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（ ） A. 甲车的平均速度为60km/h． B. 乙车的平均速度为100km/h． C. 甲乙两车在10：00时相遇． D. 乙比甲车先到达B地． 【答案】C 【解析】 【分析】由可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻． 【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确． 乙车3小时行了，乙车的平均速度为100km/h，故B正确． 设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故C错误． 乙车到达B地，甲车到达B地，故D正确． 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 C. 一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项说法是假命题； B、一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形，本选项说法是假命题； C、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形或直角梯形，故本选项说法是假命题； D、一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，故本选项说法是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了真命题的定义、平行四边形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知识，要求学生能根据已知条件推导出其对应的图形，考查了学生对相关概念的理解与应用，该题对学生的推理分析能力有较高要求． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 方程的根是_________. 【答案】x=-3 【解析】 【分析】先移项，再开立方即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：x=-3． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟记立方根的定义是解题的关键． 8. 方程的根为_________． 【答案】x=3 【解析】 【详解】两边平方得x+6=x2,解一元二次方程得x1=3,x2=-2(舍去)，所以方程的根为 9. 直线的截距是____________________． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】一次函数y=kx+b在y轴上的截距是b． 【详解】解： ∵在一次函数y=2x﹣3中， b=﹣3， ∴一次函数y=2x﹣3在y轴上的截距b=﹣3． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，数形结合思想解题是本题的解题关键． 10. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 【答案】720°##720度 【解析】 【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】这个正多边形的边数为=6， 所以这个正多边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°， 故答案为：720°． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度． 11. 若是直线上的两点，则____（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，随的增大而减小，掌握该性质是解题的关键． 根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴直线上的点x的随着的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．正确的列表格是解题的关键． 根据题意列表格，然后求概率即可． 【详解】解：由题意列表格如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表格可知，共有种等可能的结果，其中两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3共有2种等可能的结果， ∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率为， 故答案为：． 13. 如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米． 【答案】13 【解析】 【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长即可． 【详解】∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米， ∴两底的和为（厘米）， ∴这个梯形的中位线长为（厘米）， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了梯形的中位线等知识点，熟练掌握梯形的中位线求法是解题关键． 14. 已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质可得四边形是平行四边形，再由对角线、相互垂直，可证得四边形是矩形，然后证明四边形是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案． 【详解】解：如图， 、、、分别为各边的中点，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 对角线、相互垂直， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：． 故答案为：． 15. 已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 【答案】108 【解析】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 16. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一次不等式的关系．结合图象得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象得，当时，的图象位于图象上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，，点是正方形内的两点，且，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，延长交于，由勾股定理的逆定理可得和是直角三角形，进而可证明，得到，，，利用正方形的性质可证明，得到，，，据此可得，，，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴是直角三角形， 同理可得是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得 ，由三角形的面积得，即可求解；掌握性质，能用三角形面积转化求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程；先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可． 【详解】解： 解得， 经检验，是增根，应舍去． 故原方程的解为． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为或，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得：， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或． 21. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，交于点F， （1）写出图中所有与互为相反向量的向量：_______； （2）已知，则_______． （3）在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论） 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据相反向量的定义解答即可； （2）利用三角形法则求解即可； （3）如图，作，，则四边形是平行四边形，即,连接即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与互为相反向量的向量：． 故答案为：． 【小问2详解】 解： 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，作，，则四边形是平行四边形，即, 所以,即向量即为所求． 22. 如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 （1）综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． （2）当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? （3）刚好停止流水时是几时几分? 【答案】（1） （2）甲容器中水面的高度是16厘米 （3）刚好停止流水时是10:25 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法； （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从8:00到9:10共70分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键. 【小问1详解】 解：设函数解析式是， 把、代入， 得， ， ； 【小问2详解】 解：从8:00到9:10共70分钟， ， ， 答：甲容器中水面的高度是16厘米． 【小问3详解】 解：当时， ， 解得：， 答：刚好停止流水时是10:25． 四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题9分，满分34分） 23. 某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 【答案】高速列车全程的运行时间为4小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：普通动车组列车的全程运行时间高速列车全程的运行时间小时，高速列车的平均速度普通动车组列车的平均速度千米；据此列方程求解即可；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设高速列车全程的运行时间为x小时，则普通动车组列车全程的运行时间为小时， 由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，符合实际意义，不符合实际意义； 答：高速列车全程的运行时间为4小时． 24. 如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等． （1）由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法得是平行四边形，由平行四边形的性质得； （2）由菱形的性质得，可得四边形是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 25. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， （1）求点A和点B的坐标； （2）点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； （3）交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的图象及面积问题，分类讨论及勾股定理解三角形，理解题意，根据题意分情况分析是解题关键． （1）直接根据一次函数的性质求解即可； （2）根据题意得出，然后设，结合图形得，即可求解； （3）设点，根据勾股定理确定，分两种情况分析：当时，当时，分别利用一次函数的性质及全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴当时，；当时，， ∴； 【小问2详解】 ∵直线，当时，；当时，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 设点， ， ， 解得：， ∴， 当时，如图所示： ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得：, ， ∴或； 当时，过点A作轴，过点D作，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D纵坐标为：， ∴； 综上可得：或或． 26. 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． （1）当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． （2）当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】（1）①见解析，② （2）或 【解析】 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【小问1详解】 ①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $