精品解析：山西省临汾市蒲县多校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度八年级下学期期末综合评估 数学 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 物理课上老师跟同学们讲授如何测量微小物体的长度．经测量，一根头发丝的直径大约是米．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 儿童、青少年的视力问题引起了全社会的关注，我市某眼科医院多次举办“视力筛查进校园”活动．八年级（2）班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这40名同学视力的中位数和众数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在平行四边形中，，，平分，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 不确定 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，不正确的是（ ） A. 小李：对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 小王：对角线相等的四边形是矩形 C. 小孙：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 小马：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 7. 天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为，是轴上一点，连接，，若的面积为4，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10. 如图，在正方形中，，点在边上，将沿对折得到，再将沿对折，与恰好重合．①；② ；③连接，则；④当时，．以上结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 如图，在矩形中，，对角线，相交于点，且，则的长为________． 13. 学校广播站需招纳一名广播员，需要对应聘者进行专业知识、语言能力和综合素质三项测试，并按照的比例确定应聘者的最终成绩．已知小张三项的测试成绩分别为80分，92分，75分，则他的最终成绩为________分． 14. 如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接交于点，则的长为________． 15. 如图，两个正方形的中心与原点重合，边分别与两坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）若关于的方程有增根，求的值． 17. 化简：． 18. 为深入学习贯彻2024年全国“两会”精神，培养发展新质生产力所需要的高素质人才，某校组织举办了以“聚焦两会热点·争做时代青年”为主题的知识竞赛，并随机抽查了八、九年级各10名学生的成绩（单位：分），进行了如下数据的整理与分析． 数据收集： 八年级10名学生的竞赛成绩分别为77，80，90，88，92，88，91，95，96，93． 九年级10名学生的竞赛成绩中的成绩分别为92，94，90． 数据整理： 年级 八年级 1 1 4 2 九年级 1 2 2 3 2 数据分析： 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 89 九年级 89 87 （1）填空： ， ， ． （2）在计算这两组数据的方差时，用的公式是，则公式中的 ． （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 19. 如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 20. 为进一步提高市区的交通通行能力，某市委、市政府决定对环城南路路段进行封闭施工，某工程队承担了该工程1800米长的施工任务，工程队在施工完600米后，引进了先进设备，每天的工作效率比原来提高了，结果共用50天完成了该任务，问引进先进设备前该工程队每天施工多少米？ 21. 下面是物理课得到的一些信息，请你仔细阅读并完成相应任务． 在物理实验课上，八（一）班同学以组为单位进行弹簧测力计实验，勤奋好学组发现，在弹簧的弹性范围内弹簧秤的长度（厘米）与弹簧所挂物体的质量（千克）之间有特殊的函数关系． 实验步骤如下： 第一步，实验测量．根据物理知识，改变物体质量的大小，通过测量，观察弹簧秤的刻度变化． 第二步，整理数据．根据砝码的质量测量弹簧的长度，并把结果记录整理得到下表对应的数据． … 1 2 3 4 5 … … 6.3 6.6 6.8 7.2 7.5 … 第三步，描点连线．为了确定这是什么函数，勤奋好学组以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用光滑的曲线把这些点连起来． 第四步，数据分析．在分析数据时，她们观察图象发现一个数据有误，重新测量后，发现猜想正确，并修改了错误的数据． 任务： （1）表格中错误的数据是 ，修改后正确的是 ． （2）请你确定与之间的函数关系式． （3）请直接写出时的取值范围． 22. 综合与实践 问题解决： （1）如图1，中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形； 类比迁移： （2）如图2，在（1）的条件下，当时，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展应用： （3）在（1）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出结论，不必证明． 23. 综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． （3）如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度八年级下学期期末综合评估 数学 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数，叫做正比例函数．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，是的正比例函数，符合题意，选项正确； B、，不符合正比例函数的定义，选项错误； C、，不符合正比例函数的定义，选项错误； D、，不符合正比例函数的定义，选项错误； 故选：A． 2. 物理课上老师跟同学们讲授如何测量微小物体的长度．经测量，一根头发丝的直径大约是米．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为，故D正确． 故选：D． 3. 儿童、青少年的视力问题引起了全社会的关注，我市某眼科医院多次举办“视力筛查进校园”活动．八年级（2）班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这40名同学视力的中位数和众数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数的概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，出现次数最多的数为众数．根据众数、中位数的概念求解即可． 【详解】根据列表可知视力的人数最多为人，即众数为；总计为名同学，则处在最中间为第位，第位，中位数为第位和第位的视力的平均值．根据上表可知，第位，第位视力均为，故中位数为． 故选：C 4. 如图，在平行四边形中，，，平分，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质和角平分线的定义，得到，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将括号内通分，再将除法转化为乘法化简即可． 【详解】解： ， 故选：C 6. 同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，不正确的是（ ） A. 小李：对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 小王：对角线相等的四边形是矩形 C. 小孙：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 小马：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定，难度较小．根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，正确，不符合题意． 故选：B． 7. 天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据返程比去时多用了，列出方程即可． 【详解】解：设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据题意得： ， 故选：D． 8. 已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．根据菱形的性质及勾股定理可进行求解即可． 【详解】解：如图所示： 设，则， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，则， 在菱形中，，，， ∴； 故选：C． 9. 如图，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为，是轴上一点，连接，，若的面积为4，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答函数问题的关键．如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：如图，连结． ∵轴，是轴上一点， ∴． ∴， ∵， ∴，得． ∵图象位于第二象限，则， ∴． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，，点在边上，将沿对折得到，再将沿对折，与恰好重合．①；② ；③连接，则；④当时，．以上结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明，即可判断①正确； ②先求出，再根据三角形内角和定理求出，即可判断②错误； ③根据和的边、上的高相等，，得出，判断③错误； ④先求出，，设，则可得，根据翻折可得，，再根据勾股定理可得x的值，进而证明，判断④正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ①由翻折可知： ，，，，，，，， ∴， ∴、F、E在同一直线上， ∴，故①正确； ②∵，， 又∵， ∴， ∴，故②错误； ③∵和的边、上的高相等， 又∵， ∴，故③错误； ④∵，， ∴， ∴， 设，则， 由翻折可知：， ∴， ∴在中，根据勾股定理，得： ， 解得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、正方形的性质、三角形内角和定理应用，解决本题的关键是通过图形的性质找到边与边、角与角的关系． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 12. 如图，在矩形中，，对角线，相交于点，且，则的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键．由矩形性质得到，再由等边三角形的判定与性质得到，从而在中，由含的直角三角形性质可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，，， ∴， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 13. 学校广播站需招纳一名广播员，需要对应聘者进行专业知识、语言能力和综合素质三项测试，并按照的比例确定应聘者的最终成绩．已知小张三项的测试成绩分别为80分，92分，75分，则他的最终成绩为________分． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据小张三项的测试成绩与所占比例，即可求出最终成绩． 【详解】解：， 即最终成绩为85分， 故答案为：85． 14. 如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质和勾股定理，得出，再根据等角对等边的性质和勾股定理，得出，即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 故答案为： 15. 如图，两个正方形的中心与原点重合，边分别与两坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．根据待定系数法求出即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 小正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行， 设点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 小正方形的面积为， 大正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且， 大正方形在第一象限的顶点坐标为， 大正方形的面积为， 图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积， 故答案为：48． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）若关于的方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义和算术平方根定义，进行计算即可； （2）解分式方程，得出，根据关于的方程有增根，得出，即，求出m的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 解得：． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先将括号内通分，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： 18. 为深入学习贯彻2024年全国“两会”精神，培养发展新质生产力所需要的高素质人才，某校组织举办了以“聚焦两会热点·争做时代青年”为主题的知识竞赛，并随机抽查了八、九年级各10名学生的成绩（单位：分），进行了如下数据的整理与分析． 数据收集： 八年级10名学生的竞赛成绩分别为77，80，90，88，92，88，91，95，96，93． 九年级10名学生的竞赛成绩中的成绩分别为92，94，90． 数据整理： 年级 八年级 1 1 4 2 九年级 1 2 2 3 2 数据分析： 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 89 九年级 89 87 （1）填空： ， ， ． （2）在计算这两组数据的方差时，用的公式是，则公式中的 ． （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）2；88； （2）10 （3） 解：八年级成绩更好． 两个年级学生成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的都比九年级要高，所以八年级成绩更好． 【解析】 【分析】（1）根据题干所列数据及中位数和众数的概念求解即可； （2）根据方差的定义进行求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数及方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知， 八年级学生成绩的众数， ∵九年级学生成绩的众数是87，且在的范围内只有2个人， ∴在范围内的2个人的成绩为87、87， ∴将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在第5位的是87，第6位的是90， ∴九年级学生成绩的中位数是， ∴； 【小问2详解】 解：在计算这两组数据的方差时，用的公式是，则公式中的． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查频数分布表，求中位数和众数，方差的计算公式，掌握中位数、众数、方差及平均数的定义和意义是正确解答的关键． 19. 如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 【答案】 证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分是解题关键．连接交于点，由平行四边形的性质可得，，，分别作差即可证明． 【详解】略 20. 为进一步提高市区的交通通行能力，某市委、市政府决定对环城南路路段进行封闭施工，某工程队承担了该工程1800米长的施工任务，工程队在施工完600米后，引进了先进设备，每天的工作效率比原来提高了，结果共用50天完成了该任务，问引进先进设备前该工程队每天施工多少米？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程实际应用．根据题意设引进先进设备前该工程队每天施工米，则引进新设备后工程队每天改造米，再根据题意列出方程即可继而得到本题答案． 【详解】解：设引进先进设备前该工程队每天施工米，则引进新设备后工程队每天改造米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题意， 答：引进先进设备前该工程队每天施工米． 21. 下面是物理课得到的一些信息，请你仔细阅读并完成相应任务． 在物理实验课上，八（一）班同学以组为单位进行弹簧测力计实验，勤奋好学组发现，在弹簧的弹性范围内弹簧秤的长度（厘米）与弹簧所挂物体的质量（千克）之间有特殊的函数关系． 实验步骤如下： 第一步，实验测量．根据物理知识，改变物体质量的大小，通过测量，观察弹簧秤的刻度变化． 第二步，整理数据．根据砝码的质量测量弹簧的长度，并把结果记录整理得到下表对应的数据． … 1 2 3 4 5 … … 6.3 6.6 6.8 7.2 7.5 … 第三步，描点连线．为了确定这是什么函数，勤奋好学组以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用光滑的曲线把这些点连起来． 第四步，数据分析．在分析数据时，她们观察图象发现一个数据有误，重新测量后，发现猜想正确，并修改了错误的数据． 任务： （1）表格中错误的数据是 ，修改后正确的是 ． （2）请你确定与之间的函数关系式． （3）请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）通过表格发现，质量每增加1千克，弹簧秤的长度增加厘米，即可求解； （2）利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； （3）根据图表数据与函数关系式的增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：通过表格发现，质量每增加1千克，弹簧秤的长度增加厘米， 即表格中错误的数据是修改后正确的是， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为， 则，解得：， 即与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由表格可知，时，，且随的增大而增大， 时的取值范围为． 22. 综合与实践 问题解决： （1）如图1，中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形； 类比迁移： （2）如图2，在（1）的条件下，当时，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展应用： （3）在（1）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出结论，不必证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形；理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：当且时，四边形是正方形． 证明：当时，由（2）可知，四边形是矩形， ∵， 又∵点是的中点， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据题意容易证明，则，结合中线的定义可得，同时，因此四边形是平行四边形； （2）由等腰三角形的性质可得，结合四边形是平行四边形可得，四边形是矩形； （3）在（2）的基础上，添加，由直角三角形的性质可得，因此此时四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由略； 【小问3详解】 解：当且时，四边形是正方形，证明略， 23. 综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． （3）如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）取得最小值时点的坐标 （3）存在；或或 【解析】 【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可； （2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可； （3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，， ∴A与B关于原点对称， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为 ∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2， 即，， 把代入得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 则点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴取得最小值时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴， ∴， ∵边交轴于点， ∴, ∵是的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知：点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $