（暑假复习）专题2 长方体和正方体（核心内容梳理+常考易错题） -2024年五升六数学暑假专项提升复习讲义（北师大版）

暑假复习 专题2 长方体和正方体 （核心内容梳理+常考易错题） 1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段叫作棱；棱和棱相交的点，叫作顶点。 2、判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体面和棱的特点一组一组地进行对比。 3、长方体的棱长总和=（长+宽+高）x4。已知长方体的棱长总和及长、宽、高三项中的两项，求另外一项，用“棱长总和÷4-已知的两项”。 4、正方体的棱长总和=棱长x12。已知正方体的棱长总和，求棱长，用“棱长总和÷12”。 5、长方体的展开图是由6个长方形（特殊情况下有2个正方形）组成的组合图形，相对的面完全相同且完全隔开。 6、正方体的6个面的面积都相等，正方体的表面积就是6个面的面积和。正方体的表面积=边长x边长x6。 7、长方体6个面的面积之和就是长方体的表面积。 8、长方体的表面积=长x宽+长x宽+长x高+长x高+宽x高+宽x高=长x宽x2+长x高x2+宽x高x2=（长x宽+长x高+宽x高）x2。 9、计算堆放在墙角的正方体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘露在外面的面的总个数。 10、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找出正方体的个数与露在外面的面的个数间存在的规律。 11.在一个6面都涂色的大正方体的每个面上等距离地切几刀（假设切的刀数用n表示），得到的小正方体的总数是[ （n+1）x（n+1）x（n+1）]个，其中三面涂色的小正方体是固定不变的8个，它们分布在大正方体的顶点处；两面涂色的小正方体是[ （n-1）x12]个，它们分布在大正方体的棱，上；一面涂色的小正方体是[ （n-1）x（n-1）x6]个，它们分布在大正方体每个面的中心处；没有涂色的小正方体是[ （n-1）x（n-1）x（n-1）]个，它们分布在大正方体的内部。 12、物体所占空间的大小，就是物体的体积。 13、容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 14、常见的容积单位:毫升和升，分别用字母mL和L表示。 15、1升=1分米3（1L= 1dm3），1毫升=1厘米3（ 1mL= 1cm3），1 升= 1000毫升（ 1L= 1000mL）。 16、正方体的体积=棱长x棱长x棱长，用字母表示为V=a3。 17、长方体的体积=底面积x高，即V=Sh=abh。 18、相邻体积或容积单位之间的进率是1000。 19、体积、容积单位之间的换算,把高级单位化成低级单位要乘进率，把低级单位化成高级单位要除以进率。 20在测量不规则物体的体积时，升高的那部分液体的体积（或液体满杯时溢出的液体的体积）就相当于不规则物体的体积。 一．选择题（共10小题） 1．如图，一根长的长方体木料沿虚线锯成两段后，表面积增加，它的体积是　　 A． B． C． D． 2．一个油桶最多能装40升汽油，我们就说这个油桶的　　是40升． A．体积 B．表面积 C．容积 3．李叔叔如图所示的方法从一个长方体上锯下一个最大的正方体，剩下部分的表面积　　 A．比原来长方体表面积大 B．比原来长方体表面积小 C．与原来长方体表面积同样大 D．无法比较 4．用细绳按如图的方式捆扎礼品盒，接头处长，求至少需要多长的细绳。下面列式正确的是　　 A． B． C． 5．某种端午礼盒的设计如图所示，礼盒长26厘米，宽13厘米，高14厘米，礼盒中间贴上了宽4厘米“心礼”字样的纸封（没有封底），这张纸封至少需要多少平方厘米的卡纸？可以列式为　　 A． B． C． D． 6．如图是一个无盖的正方体纸盒，底面标有，沿图中粗线将正方体剪开，你认为　　号图形是无盖纸盒展开图。 A． B． C． D． 7．如图，将一个正方体沿虚线切三刀后，表面积增加了，这个正方体的体积是　　。 A．216 B．108 C．288 8．下面四个容器中，容积最大的　　 A． B． C． D． 9．一个正方体玻璃鱼缸，底面边长为，放入一块石头后水面升高了，这块石头的体积是　　 A． B． C． 10．如图，在长方体中，下列各条棱中与棱异面的是　　 A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 二．填空题（共10小题） 11．如图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长之和是 　　厘米。 12．图中两个几何体都是由8个棱长为的小正方体搭成。明明想把露出的面涂上颜色（包括底面）。那么，这两个几何体中涂色部分面积较大的是 　　。 13．用铁丝做一个棱长是的正方体框架，至少需要铁丝 　　，如果在表面铺上纸板，至少需要纸板 　　。 14．如图所示，将木块平均分成两块后，木块的表面积增加了 　　，每个小长方体的表面积是 　　。 15．由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是 　　平方厘米。 16．一个长方体玻璃容器，从里面测量长、宽均为，向容器中倒入的水，再把一个苹果放入水中，完全浸没。这时量得容器内水深，这个苹果的体积是 　　。 17．图中的长方体盒子能装 　　个这样的小正方体；每个小正方体的棱长为，这个长方体盒子的容积是 　　。 18．某工地运来8.4立方米的沙子，如果把这些沙子全部铺在一个长5米、宽2.8米的长方体的沙坑里，至少可以铺 　　厘米厚。 19．如图是一个长方体展开后三个相邻面的示意图。这个长方体的表面积是 　　平方厘米；这个长方体的体积是 　　立方厘米。 20．把1.8米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是 　　立方分米。 三．计算题（共2小题） 21．计算下面图形的表面积和体积。 22．计算如图所示图形的表面积和体积。（单位： 四．操作题（共1小题） 23．在如图两幅图中各添加一个正方形（用涂色表示），使新图形剪下来折叠后能够围成一个封闭的正方体。 五．解答题（共7小题） 24．聪聪和爸爸利用家里的废木板制作一个长方体形状的储物凳，已经将两个面组合在一起，如图所示。 （1）聪聪说根据爸爸目前的制作情况，他已经能想象出这个储物凳的形状和大小了。你知道这是为什么吗？请解释。 （2）如果在储物凳的每条棱上加固木条（衔接处忽略不计），买一根长的木条够用吗？请写出判断过程。 25．为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知工人俱乐部长，宽，高，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？ 26．学校礼堂的形状是一个长方体（如图）。为迎接“十一”国庆节，学校要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长，宽，高。 （1）学校至少要购买多少米彩灯线？ （2）如果彩灯线需要4.5元，一共需要多少钱？ 27．一根长方体木料长4米，如果把这根木料沿着横截面截成两段一样长的木料，则表面积增加2.4平方分米，你知道这根木料原来的体积是多少立方分米吗？ 28．花灯是汉民族数千年来重要的娱乐文化，是汉民族民俗文化的瑰宝。现有以下四种规格的长方形、正方形纸板若干张。 请你从中选6张，做成一个长方体或正方体花灯，要使这个花灯的容积最大，可以怎么选？做成的花灯容积是多少？（请画出草图，并标上数据，接头处和纸板的厚度忽略不计） 我的选择是：　　。 我的计算是：　　。 29．如图，是一个透明的长方体容器，从里面量长16厘米，宽4厘米，高8厘米，里面装着水，水深6厘米，如果把长方体的右侧面作为底面，放在桌上，那么水深是多少厘米？ 30．李叔叔有甲、乙两块尺寸不同的铁皮，他想将每块铁皮分别沿虚线弯折后焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余）。请你帮忙算一算，哪个铁盒装水更多一些？ 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．【分析】由题意可知：一根长2米的长方体木料沿虚线锯成两段后，表面积增加100平方厘米，表面积增加的是两个截面（底面）的面积，由此可以求出底面积，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答． 【解答】解：2米厘米， （立方厘米）， 答：它的体积是10000立方厘米． 故选：． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 2．【分析】根据容积的意义，物体所能容纳物体的体积叫做它的容积．一个油桶可以装油40升，就是说这个油桶能容纳40升的物体，40升是它的容积． 【解答】解：一个油桶最多能装40升汽油，我们就说这个油桶的容积是40升． 故选：． 【点评】此题是考查容积的意义，注意基础知识的积累． 3．【分析】挖去一个正方体后，减少了正方体的3个面，同时又增加了正方体的3个面，因此后来的表面积就等于原来长方体的表面积；由此选择即可。 【解答】解：由题意可知：挖去一个正方体后，减少了正方体的3个面，同时又增加了正方体的3个面，因此后来的表面积就等于原来长方体的表面积，剩下部分的表面积和原来长方体的表面积一样大；所以选项正确。 故选：。 【点评】明确减少了正方体的3个面，同时又增加了正方体的3个面，是解答此题的关键。 4．【分析】根据题意和图形可知，捆扎礼品盒所需细绳的长度两条长两条宽条高接头用的22厘米，由此列式解答即可。 【解答】解：分析可知，捆扎礼品盒所需细绳的长度两条长两条宽条高接头用的22厘米，所以列式正确的是。 故选：。 【点评】此题考查的目的是掌握长方体的棱的特征，根据题意看需要几条棱的棱长长度，再根据棱长总和的计算方法解答。 5．【分析】通过观察图形可知，这张纸封条的长等于这个礼盒的两条高加上一条宽，根据长方形面积长宽，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方厘米） 或 （平方厘米） 答：这张纸封至少需要164平方厘米的卡纸。 故选：。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征、长方体表面积的意义，长方形的面积公式及应用。 6．【分析】根据正方体展开图的11种情况判断后即可作答。 【解答】解：图形属于正方体展开图的“”型，是一个完整的正方体展开图，排除； 图、图属于正方体展开图“”型少1个面，其中下行的1个正方形为底，上行的4个正方形为侧面，由无盖正方体纸盒中的剪线（粗线）可以看出，底不与侧面一端的正方形齐，由此再排除图形；经验证，号图形正确； 图不是正方体展开图的情况，排除。 即只有选项正确。 故选：。 【点评】本题考查了正方体展开图的应用。 7．【分析】根据正方体的特征，6个面是完全相同的正方形，如图将一个立方体沿虚线切三刀后，表面积增加了216平方厘米，每切一刀就增加两个切面的面积，切三刀就增加了6个切面的面积，也就是这个正方体的表面积是216平方厘米，根据正方体的表面积公式：，首先求出棱长，再根据正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：这个正方体原来的表面积是216平方厘米， （平方厘米） 因为6的平方是36，所以正方体的棱长是6厘米。 （立方厘米） 答：这个正方体的体积是216立方厘米。 故选：。 【点评】此题解答关键是求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式解答。 8．【分析】根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式分别求出4个容器的容积，然后进行比较即可。 【解答】解：、 、 、 、 所以容积最大的是。 故选：。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．【分析】水面升高的体积就是石头的体积，鱼缸底面边长底面边长底面积，底面积水面上升的高度石头的体积，据此列式计算。 【解答】解： 答：这块石头的体积是。 故选：。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法，结合题意分析解答即可。 10．【分析】根据长方体的特征，除了与棱在同一平面内的棱都与棱是异面的棱，所以与棱异面的棱有：棱、棱、棱、棱，据此选择即可。 【解答】解：因为棱在平面和平面中，所以与棱异面的棱有：棱、棱、棱、棱。 故选：。 【点评】此题主要考查长方体的棱、面的位置关系。 二．填空题（共10小题） 11．【分析】根据长方体的展开图可知：如果20厘米是长方体的长，则（厘米）就是宽与高的和，根据长方体的棱长（长宽高），代入数值进行计算即可。 【解答】解：（厘米） （厘米） 答：这个长方体的棱长之和是180厘米。 故答案为：180。 【点评】本题考查长方体张开图的认识以及长方体棱长的计算。 12．【分析】利用数格子的方法再比较大小即可。 【解答】解：第一个图形露在外面的面有16个，第二个图形露在外面的面有15个，，因此（平方厘米），这两个几何体中涂色部分面积较大的是16平方厘米。 故答案为：16。 【点评】本题考查了正方形面积公式的应用。 13．【分析】根据正方体的棱长总和棱长，正方体的表面积棱长棱长，把数据分别代入公式解答即可。 【解答】解：（分米） （平方分米） 答：至少需要铁丝，至少需要纸板。 故答案为：48，96。 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．【分析】根据题意可知：木块被平均分成两块，应切1次；每切1次，表面增加2个宽是，长是的长方形，切1次则一共增加2个这样的侧面，根据长方形的面积公式，计算出新增的2个侧面面积和即可；切成的小长方体的长是10厘米，宽是3厘米，高是5厘米，据此根据长方体的表面积公式计算即可。 【解答】解：（平方厘米） （厘米） 将木块平均分成两块后，木块的表面积增加了。 （平方厘米） 答：每个小长方体的表面积是。 故答案为：100；190。 【点评】本题侧重考查长方形面积及长方体表面积公式的应用；培养学生的理解能力。 15．【分析】由于大、中、小正方体粘合在一起，每个小正方体、每个中正方体都只求4个侧面的面积，大正方体求出表面积，然后合并起来即可。 【解答】解： （平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是296平方厘米。 故答案为：296。 【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 16．【分析】根据题意，这个苹果的体积等于水上升的体积，首先把6.4升化成6.4立方分米，然后根据长方体的体积公式，求出原来水的深度，再求出把一个苹果放入水中后水上升的高度，结合长方体的体积公式，解答即可。 【解答】解：6.4升立方分米 （分米） （立方分米） 答：这个苹果的体积是0.6立方分米。 故答案为：0.6。 【点评】本题考查了用排水法求实物体积的方法，结合题意分析解答即可。 17．【分析】通过观察图形可知，沿盒子的长可以摆3个小正方体，沿盒子的宽可以摆3个小正方体，沿盒子的高可以摆4个小正方体，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出这个盒子能装小正方体的体积，再根据正方体的体积公式：，把数据代入公式求出一个小正方体的体积，然后再乘装小正方体的个数即可。 【解答】解： （个 （立方厘米） 答：这个长方体盒子能装36个这样的小正方体，长方体盒子的容积是288立方厘米。 故答案为：36，288。 【点评】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．【分析】根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】解： （米 0.6米厘米 答：至少可以铺60厘米厚。 故答案为：60。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 19．【分析】长方体有6个面，其中左、右两个侧面面积相等，是；前、后两个侧面面积相等，都是；上、下两个面的面积相等，都是，把这6个面的面积加起来即是长方体的表面积。 已知这个长方体的底面积是，长是，则它的宽是，高是，长方体的体积底面积高，据此代入数据计算体积。 【解答】解： 宽： 高： 体积： 答：这个长方体的表面积是，体积是。 故答案为：214；210。 【点评】本题考查了长方体的表面积和体积的计算。理解长方体每个面的意义，并求出长方体的宽和高是解题的关键。 20．【分析】通过观察图形可知，把这个长方体木料横截成3段后，表面积比原来增加4个截面的面积，级才可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：1.8米分米 （立方分米） 答：原来这根木料的体积是126立方分米。 故答案为：126。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三．计算题（共2小题） 21．【分析】（1）已知正方体的棱长，求正方体的表面积，用公式：正方体的表面积棱长棱长；求正方体的体积，用公式：正方体的体积棱长棱长棱长，据此列式解答。 （2）要求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积（长宽长高宽高），据此列式解答；要求长方体的体积，用公式：长方体的体积长宽高，据此列式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：正方体的表面积是486平方厘米，体积是729立方厘米。 （2） （平方厘米） （立方厘米） 答：长方体的表面积是952平方厘米，体积是1760立方厘米。 【点评】本题考查了长方体的表面积；正方体的表面积；长方体的体积；正方体的体积公式的应用，结合题意分析解答即可。 22．【分析】通过观察图形可知，从正方体的顶点处挖掉一个小长方体后，表面积不变，体积减少了。根据正方体的表面积公式：，正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是150平方厘米，体积是109立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 四．操作题（共1小题） 23．【分析】根据正方体展开图的特征作图。 【解答】解：（画法不唯一） 【点评】本题主要考查正方体展开图的应用。 五．解答题（共7小题） 24．【分析】（1）根据图示可知，储物凳是一个长为，宽为，高为的长方体，根据“长方体体积长宽高”即可计算出储物凳的体积，即大小。 （2）长方体有12条棱，长宽高棱长各有4条，计算出棱长的总长后即可判断。 【解答】解：（1）因为图示已经知道了储物凳的长、宽、高，故可以推知该储物凳为长方体，根据“长方体体积长宽高”即可计算出储物凳的体积，即大小。 （2） ，即够用。 答：买一根长的木条够用。 【点评】本题考查了长方体特征的应用。 25．【分析】分析题意，要求至少需要多长的彩灯，则实际上是求这个长方体除底面四边不计的所有棱长之和；因为这个俱乐部可视为长，宽，高的长方体，则除底面四边不计，其余的棱长包括4条高，2条长和2条宽；接下来将4条高，2条长和2条宽的长度相加即可得到需要的彩灯的长。 【解答】解： 答：工人叔叔至少需要的彩灯线。 【点评】此题应根据题意，结合长方体的棱长总和的计算进行解答即可。 26．【分析】（1）根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，地面的四边不装，那么彩灯长度包括两条长、两条宽和4条高，据此计算解答。 （2）利用彩灯的总长乘单价即可。 【解答】解： （米 答：学校至少要购买314米彩灯线。 （2）（元 答：一共需要1413元钱。 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法。 27．【分析】如果把这根木料沿着横截面截成两段一样长的木料，则表面积增加两个截面的面积，用一个界截面的面积乘木料的长，求体积即可。 【解答】解：4米分米 （立方分米） 答：这根木料原来的体积是48立方分米。 【点评】本题主要考查长方体体积公式：的应用。 28．【分析】根据题意，要使做成的花灯的容积最大，我选择边长5分米的2张，长6分米，宽5分米的4张，根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：我选择的是：②2张，③4张。 如图： （立方分米） 答：做成华灯的容积最大是150立方分米。 故答案为：②2张，③4张。（立方分米）。 【点评】此题主要考查长方体的体积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 29．【分析】先根据长方体的体积公式，求出长方体内水的体积，由于水的体积不变，把长方体的右面作为底面，所以用水的体积除以右面那个面的底面积就是水面的高度，据此解答． 【解答】解： （厘米） 答：水的高度会是12厘米． 【点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（左面的面积），就是水面的高度． 30．【分析】根据题意，结合图形，先找出每个长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积长宽高，代入数据计算求出体积，再比较结果。 【解答】解：（厘米） （厘米） （立方厘米） （厘米） （厘米） （立方厘米） 因为 所以甲水桶装水多一些。 答：甲水桶装水多一些。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的体积公式及应用，根据题意找出每个长方体的长、宽、高是解答的关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$