精品解析：广东省江门市新会区葵城中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

2024年中考模拟考试数学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个等形式． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：C． 2. 如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层左起第3个位置是一个小正方形， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图． 3. 电影《热辣滚烫》深受人们喜欢，根据猫眼数据显示，截止到2024年4月10日，累计总票房达到34.6亿，则数据34.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：34.6亿， 故选：D． 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：C． 5. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方的数大于等于0列式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键． 6. 如图，直线，C在直线m上，过点C作，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质，设与相交于点E，先利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点E，如下图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 先计算根的判别式，得到，由，得到，故，因此该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由与位似可得出与相似，根据相似比就等于位似比，求出结果即可． 【详解】解：与位似， ， ， ， 的周长为6， 的周长为3． 故选：C． 9. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ， ， 解得， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点D的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2025秒后点的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转，说明旋转2025秒后点在x轴下方，且，再求出点的坐标即可． 【详解】解：将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转， …1， ∴点在x轴下方，且， 过点D作轴于点E，过点D作轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故选：D 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 12. 已知点关于x轴的对称点为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键，关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变，即可得出答案． 【详解】解：点关于x轴的对称点为， ， ， 故答案为：． 13. 正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，先根据正n边形每个内角的度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，进而利用外角和求出n． 【详解】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为，根据题意，得 ， 解得：， 所以 即这个多边形的边数为12边． 故答案为：12． 14. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ， 点在以为直径的上， ， ， 当点、、共线时最小， ， ， ， 的最小值为16， 故答案为：16． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算： （2）先化简，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别化简计算算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，再进行加减运算即可； （2）先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算，由于分母不为0，故只能代入来求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 由分母不为0得且， ∴当时，原式． 17. 如图，在平行四边形中，平分，交对角线于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交对角线于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分和， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，基本作图，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义可证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且，经测量，米，米，斜坡的坡角，求立柱的高．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点H，过点D作于点G，证明四边形是矩形，，，进一步求出，，，即可得到立柱的高． 【详解】解：过点D作于点H，过点D作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，米，斜坡的坡角， ∴米，米， ∴米，米， 在中，米，米， ∴米， ∴米, 即立柱的高为米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 （1）有以下三种调查方案： 方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是______； 二、收集整理数据 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 三、分析数据，解答问题 （2）调查视力数据的中位数所在类别为______类； （3）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数； （4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议． 【答案】（1）方案三 （2） （3）该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人 （4）该校学生近视程度为中度及以上占，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性即可得； （2）根据类和类的占比，以及中位数的定义即可得； （3）利用1600乘以类与类所占的百分比之和即可得； （4）根据类与类所占的百分比为，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控即可． 【小问1详解】 解：由抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的． 故答案为：方案三． 【小问2详解】 解：因为类的占比为，类和类的占比之和为， 所以调查视力数据的中位数所在类别为类， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人． 【小问4详解】 解：该校学生近视程度为中度及以上占比为， 说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了抽样调查、中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 20. 综合与实践 【发现问题】 当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响与赛车行驶速度存在某种函数关系．以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据： 0 1 2 3 4 0 3 12 27 48 （1）请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接． （2）【猜想验证】 观察图象并猜测：是的 　 函数．请你据此求出关于的函数表达式，并验证所求表达式的合理性． （3）【实际应用】 2005年某车队搭载引擎的赛车马力达到了接近1000匹，在某赛道跑出的极速．利用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少？ 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 二次，理由如下： 函数图象经过点， 设函数表达式为，将，代入得： ， 解得： ， 函数表达式为， 时，， 所求表达式合理； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用， （1）根据表中给出的数据，作出图象即可； （2）观察图象并猜测：是的二次函数；设函数表达式为，代入数据求解验证即可； （3）把数据代入，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 撞击影响是． 21. 某网店对“老干妈”品牌的甲、乙两种辣椒产品进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种辣椒产品． “老干妈”产品信息 ①2箱甲种产品和2箱乙种产品共需240元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多40元； ③3箱甲种产品和4箱乙种产品共需400元． （1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； （2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以100元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每箱的价格是40元； （2）当甲种产品数量为400时，该店所获总利润最大，最大利润为16000元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元，在①②③中任选2个作为已知条件，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该店购进箱甲种产品，则购进箱乙种产品，根据购进甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该店购进的这批产品全部售完后获得的总利润为元，利用总利润销售每箱甲种产品的利润购进甲种产品的数量销售每箱乙种产品的利润购进乙种产品的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元， 当选择①②时，， 解得：； 当选择②③时，， 解得：； 当选择①③时，， 解得：． 答：甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每箱的价格是40元； 【小问2详解】 设该店购进箱甲种产品，则购进箱乙种产品， 根据题意得：， 解得：． 设该店购进的这批产品全部售完后获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为（元． 答：当甲种产品数量为400时，该店所获总利润最大，最大利润为16000元． 22. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线； （2）【知识迁移】如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点． ①若，则__________； ②若，，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：如图1，过点作于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 又为的半径， ∴点K在上， 是的切线； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据可得，结合正方形的性质可推出，由，，可得，即可证明； （2）①过点作于点，连接，延长交于点，同（1）可得，证明，得到，推出，根据即可求解；②过点作于点，由可得，设，，结合，在中，根据勾股定理求出，得到，，根据等面积法求出圆的半径，最后利用即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图2，过点作于点，连接，延长交于点， 与相切于点， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； ②如图2，过点作于点， ， ， 设，， ， ， ， 在中，， 即， 解得：，负值舍去， ，， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角函数，角平分线的性质，圆的相关性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 23. 如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）①最大为2，点D坐标为；②是，2 【解析】 【分析】（1）由题意知，，将，代入，计算求解的值，进而可得解析式； （2）由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，①当时，，待定系数法求直线的解析式为，则直线的解析式为，待定系数法求解即可；②当过中点时，由题意知，中点坐标为，设直线的解析式为，待定系数法求解即可； （3）①由题意知，，，，，则，，则，根据二次函数的性质求最值，然后求点坐标即可；②由题意知 ，，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等， ①当时， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； ②当过中点时， 由题意知，中点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或； 【小问3详解】 ①解：由题意知，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为2， ∴； ②解：由题意知 ， ， ∴与的面积之和是定值，且定值为2． 【点睛】本题考查了待定系数法解二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考模拟考试数学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《热辣滚烫》深受人们喜欢，根据猫眼数据显示，截止到2024年4月10日，累计总票房达到34.6亿，则数据34.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，C在直线m上，过点C作，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 无法判断 8. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点D的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 12. 已知点关于x轴的对称点为，则___________． 13. 正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则________． 14. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 15. 如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算： （2）先化简，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 17. 如图，在平行四边形中，平分，交对角线于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交对角线于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：． 18. 如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且，经测量，米，米，斜坡的坡角，求立柱的高．（结果精确到米，参考数据：，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 （1）有以下三种调查方案： 方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是______； 二、收集整理数据 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 三、分析数据，解答问题 （2）调查视力数据的中位数所在类别为______类； （3）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数； （4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议． 20. 综合与实践 【发现问题】 当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响与赛车行驶速度存在某种函数关系．以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据： 0 1 2 3 4 0 3 12 27 48 （1）请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接． （2）【猜想验证】 观察图象并猜测：是的 　 函数．请你据此求出关于的函数表达式，并验证所求表达式的合理性． （3）【实际应用】 2005年某车队搭载引擎的赛车马力达到了接近1000匹，在某赛道跑出的极速．利用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少？ 21. 某网店对“老干妈”品牌的甲、乙两种辣椒产品进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种辣椒产品． “老干妈”产品信息 ①2箱甲种产品和2箱乙种产品共需240元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多40元； ③3箱甲种产品和4箱乙种产品共需400元． （1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； （2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以100元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 22. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线； （2）【知识迁移】如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点． ①若，则__________； ②若，，求阴影部分面积． 23. 如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $