精品解析：北京市鲁迅中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷

北京市鲁迅中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷 第一部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某运动员射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，恰好命中一次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件，连续射击3次，恰好命中一次的概率，即可求解. 【详解】因为每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立， 所以连续射击3次，恰好命中一次的概率， 故选：B. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】求导函数， 当时，， ∴曲线在点处的切线方程为：， 即. 故选：A. 3. 在等差数列中，若，则为（ ） A. 20 B. 27 C. 29 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，求解即可求. 【详解】设等差数列的公差为，由， 可得，解得， 所以. 故选：D. 4. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用导数的运算法则，直接计算即可 【详解】， 故选：C 5. 线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下： 支付金额（元） 支付方式 大于1000 仅使用A 20人 8人 2人 仅使用B 10人 6人 4人 从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据，分析事件后，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由表格数据可知，仅使用的有30人，其中支付金额多于元的有10人， 仅使用的有20人，其中支付金额多于元的有10人， 则仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率. 故选：D 6. 已知数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用公式求出，再由第k项满足可得答案． 【详解】时，， ，， 由得，解得， 因为，所以， 故选：C. 7. 已知，则“，，，为等比数列”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及充分性，必要性知识即可求解. 【详解】充分性：当“，，，为等比数列”时，可得，故充分性满足； 必要性：当“”时，不妨设，，此时“，，，为，，，不是等比数列”，故必要性不满足； 所以“，，，为等比数列”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 8. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 结合图象，可得，所以. 故选：A. 9. 数列为公差为2的等差数列，，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式列式求出，得到等差数列的通项公式，从而得到，利用裂项相消即可求得. 【详解】数列为公差为2的等差数列，，设公差为， 由，则， 所以， 则， 设数列的前100项和为， 所以. 故选：C. 10. 现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，的最大值为这8个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果 【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列， 所以， 的最大值为这8个圆的直径之和， 由等比数列前项和公式可得，的最大值为. 故选：B. 第二部分（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸指定的位置上. 11. 已知随机变量的概率分布如下：则__________，___________. 0 2 3 6 0.1 0.3 【答案】 ①. ## ②. 3 【解析】 【分析】根据分布列中概率之和为1求，再由期望公式求解即可. 【详解】由，解得， 所以. 故答案为：；3 12. 已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】 根据导数符号与原函数单调性之间的关系结合导函数的图象可得出函数的单调递减区间. 【详解】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数的单调递减区间为和. 故答案为：，. 【点睛】本题考查利用导函数的图象求原函数的单调区间，要结合导函数符号与原函数单调性之间的关系来解答，属于基础题. 13. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数大于甲骰子点数的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出总的事件数目，再求出符合的事件数目，即可求出概率. 【详解】甲投掷股子可能出现的点数为：， 乙投掷股子可能出现的点数为：， 则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）： ， ，一共有种， 乙骰子的点数大于甲骰子点数的情况有：，共有种， 则在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数在于甲骰子点数的概率为. 故答案为：##. 14. 已知为等差数列，其公差，且成等比，则__________，______________. 【答案】 ①. 4 ②. 420 【解析】 【分析】由成等比，可求出；可以看成以为首项，8为公差的等差数列，则由等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意，成等比，得，则， 代入，解得或，因为，所以， 则， 所以可以看成以为首项，8为公差的等差数列， 所以. 故答案为：4，420. 15. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 ①. 48 ②. 384 【解析】 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知数列是等差数列，其前项和为，.再从下列三个条件中任选一个作为已知，进行作答. 条件①：； 条件②：； 条件③：； （1）判断2024是否数列中的项，并说明理由； （2）求的最值以及相应的的取值. 【答案】（1）选①③，2024不是数列中的项；选②，2024是数列中的项； （2）选①，有最小值，最小值为，此时，无最大值；选②，有最小值，最小值为，此时或6，无最大值；选③，有最大值，最大值为，此时或，无最小值. 【解析】 【分析】（1）选①，根据等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，进而得到方程，求出，不是正整数； 选②，根据等差数列通项公式基本量计算出首项和公差，从而得到方程，求出； 选③，根据等差数列通项公式基本量计算出首项和公差，得到方程，求出，作出判断； （2）选①，由得到时，，当时，，从而得到最值； 选②，，当时，，当时，，从而得到最值； 选③，，当时，，当时，，从而得到最值. 【小问1详解】 选①，，2024不是数列中的项，理由如下： 故，解得， 故， 令，解得，不是正整数，故2024不是数列中的项； 选②：，2024是数列中的项，理由如下： 故，解得， 故， 令，解得，满足要求，2024是数列中的项； 选③：，2024不是数列中的项； 故，解得， 故， 令，解得，不是正整数，故2024不是数列中的项； 【小问2详解】 选①，， 由（1）得，当时，，当时，， 故有最小值，最小值为，此时，无最大值； 选②，， 由（1）得，当时，，当时，， 故有最小值，最小值为，此时或6，无最大值； 选③，， 由（1）知，，当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，此时或，无最小值. 17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】（1）人 （2）分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. 【小问1详解】 ， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； 【小问2详解】 从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； 【小问3详解】 ，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 18. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合和的解集和定义域，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. 【小问2详解】 解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 19. 已知数列满足，且. （1）求的值并证明是等比数列； （2）求数列的通项公式和数列的前项和； （3）求. 【答案】（1）， 因为， 又，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）；数列的前项和为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据递推公式求出的值，再利用即可得的值；由等比数列定义去证明数列为等比数列； （2）依据等比数列的通项公式，结合，即可得数列的通项公式；数列的前项和,先分组，再按等比、等差数列的求和公式计算即可； （3）由，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，则由等比数列的求和公式计算可得. 【小问1详解】 由，，得， 又，所以； 因为， 又，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，又， 所以，所以； 设数列的前项和为， 则 . 【小问3详解】 由（1）可知，则， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 20. 某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示． 疱疹面积（单位：） 第1组（只） 3 4 1 2 0 第2组（只） 1 3 2 3 1 （1）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率； （2）从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望； （3）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）分别求出，，，，从而求出、，即可比较. 【小问1详解】 记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件， 其中从第1组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为， 从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为， 所以. 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、， 且，，， 所以的分布列为： 所以. 【小问3详解】 依题意可得，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 所以. 21. 已知函数，其中. （1）若，求此时的值； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由. 【答案】（1）2 （2）增区间，减区间 （3）当且时，， 证明如下： 令，则， 设， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，即， 所以的单调递增区间为. 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当且时，. 【解析】 【分析】（1）求出导数，由，即可解得的值； （2）利用导数的正负，求得的单调区间； （3）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系. 【小问1详解】 函数，则， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 的定义域为，， 所以在区间和上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的递增区间为，递减区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤，（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市鲁迅中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷 第一部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某运动员射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，恰好命中一次的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，若，则为（ ） A. 20 B. 27 C. 29 D. 32 4. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 5. 线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下： 支付金额（元） 支付方式 大于1000 仅使用A 20人 8人 2人 仅使用B 10人 6人 4人 从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“，，，为等比数列”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 9. 数列为公差为2的等差数列，，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 10. 现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸指定的位置上. 11. 已知随机变量的概率分布如下：则__________，___________. 0 2 3 6 0.1 0.3 12. 已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是__________． 13. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数大于甲骰子点数的概率为____________. 14. 已知为等差数列，其公差，且成等比，则__________，______________. 15. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知数列是等差数列，其前项和为，.再从下列三个条件中任选一个作为已知，进行作答. 条件①：； 条件②：； 条件③：； （1）判断2024是否数列中的项，并说明理由； （2）求的最值以及相应的的取值. 17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 18. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 19. 已知数列满足，且. （1）求的值并证明是等比数列； （2）求数列的通项公式和数列的前项和； （3）求. 20. 某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示． 疱疹面积（单位：） 第1组（只） 3 4 1 2 0 第2组（只） 1 3 2 3 1 （1）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率； （2）从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望； （3）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明） 21. 已知函数，其中. （1）若，求此时的值； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $