22.3 实际问题与二次函数(1)-【同步课时练】2024年九年级数学上册（人教版）

22.3 实际问题与二次函数(1) 运动时间t(单位：s)之间的关系式为h=301 预学先知 一5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要 的时间是 ( 1.如果给你一根长10m的铝合金条. A.6s B.4s (1)你能用它制成一矩形窗框吗？ C.3s D.2s (2)怎样设计才能使窗框的透光面积 2.如图，小明的父亲在相距2米的两棵 最大？ 树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的 秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳 (3)如何验证？ 子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距 较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳 子，则绳子的最低点与地面的距离为 米 2.某商店购进一批单价为20元的日用 商品，如果以单价30元销售，那么半月内可 售出400件，根据销售经验，提高销售单价会 导致销售量减少，即销售单价每提高1元， 销售量相应减少20件.请你帮助分析：如何 提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 3.小汽车刹车距离s(m)与速度v(km 设销售单价为x元(x≥30). (1)销售量可以表示为 件， D之间的函数关系式为8=1O0.一辆小汽 销售额可以表示为 元，所获利润 车速度为100km/h,在前方80m处停放一 可以表示为 元. 辆故障车，此时刹车 有危险（填 (2)当销售单价是 元时， “会”或“不会”) 可以获得最大利润，最大利润是 4.某种火箭被竖直向上发射时，它的高 一元 度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h 一512+150t+10表示.经过 s,火 课堂演练 箭达到它的最高点 5.某商店经营一种小商品，进价为2.5 元/件，据市场调查，销售单价是13.5元时平 1.如图，从地面竖直 均每天销售量是500件，而销售单价每降低 向上抛出一个小球，小球 1元，平均每天就可以多售出100件 的高度h(单位：m)与小球 (1)假设每件商品价格降低x元，商店 之46长 每天销售这种小商品的利润是y元，请你写 (2)销售该品牌彩电每天获得的最大利 出y与x之间的函数关系式，并注明x的取 润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少 值范围。 时，彩电的销售量和营业额均较高？ (2)每件小商品销售价格是多少元时， 商店每天销售这种小商品的利润最大？最 大利润是多少？（注：销售利润=销售收人 一购进成本) 3.某市政府大力扶持大学生创业.李明 在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销 售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可 近似地看作一次函数：y=一10x十500. (1)设李明每月获得利润为（元），当 销售单价定为多少元时，每月可获得最大 能力拓展 利润？ (2)如果李明想要每月获得2000元的 1.某产品进货单价为90元，按100元 利润，那么销售单价应定为多少元？ 一个售出时，能售00个，如果这种商品涨 (3)根据物价部门的规定，这种护眼台 价1元，其销售量就减少10个，为了获得最 灯的销售单价不得高于32元，如果李明想 大利润，其单价应定为 () 要每月获得的利润不低于2000元，那么他 A.130元 B.120元 每月的成本最少需要多少元？ C.110元 D.100元 2.某商场将每台进价为3000元的彩电 以每台3900元的销售价售出，每天可销售 出6台，假设这种品牌的彩电每台降价100.x (x为正整数)元，每天可以多销售出3.x台. (注：利润=销售价一进价) (1)设商场每天销售这种彩电获得的利 润为y元，试写出y与x之间的函数关 系式 47长的 4.如图，某学校拟建一个含内接矩形的 (1)设一天订住的房间数为y个，直接 菱形花坛（花坛为轴对称图形）.矩形的四个 写出y与x的函数关系式及自变量x的取 顶点分别在菱形的四条边上，菱形ABCD 值范围。 的边长AB=4米，∠ABC=60°.设AE=x (2)设宾馆一天的利润为元，求地与 米(0<x<4),矩形EFGH的面积为S平 x的函数关系式 方米。 (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利 (1)求S与x之间的函数解析式. 润最大？最大利润是多少元？ (2)学校准备在矩形内种植红色花草， 在四个三角形内种植黄色花草，已知红色花 草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格 为40元/平方米.当x为何值时，购买花草 所需的总费用最低？并求出最低总费用（结 果保留根号) 前车之鉴 【例】某商场试销一种成本为60元件的 T恤，规定试销期间的单价不低于成本单 价，且获利不高于40%，经试销发现，销售量 y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数 y=k.x十b,且x=70时，y=50,x=80时，y =40. (1)求一次函数y=kx十b的关系式. 5.某宾馆有50个房间供游客住宿，当 (2)若该商场获得的利润为W元，试写 每个房间的房价为每天180元时，房间会全 出利润W与销售单价x之间的关系.销售单 部住满.当每个房间每天的房价每增加10 价定为多少时，商场获得最大利润？最大利 元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客 润是多少？ 居住的每个房间每天支出20元的各种费用 70k+b=50, 【错解】(1)由题意可得 根据规定，每个房间每天的房价不得高于 80k+b=40, 340元.设每个房间的房价每天增加x元(x k=一1， 解得 为10的整数倍). b=120. 48长 所以一次函数关系式为y=一x十120. 元时，一天出售该种手工艺品 (2)W=(x-60)(-x+120)=-x2+ 的总利润y最大. 180.x-7200=-(x-90)2+900. 3.(滨州中考题)某高中为高一新生设 由于函数图象开口朝下即有最大值，因 计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形.其 此当x=90时，W最大维=900， 中，抽屉底面周长为180cm,高为20cm,请 答：当定价为90元时利润最大，最大利 通过计算说明，当底面的宽x(cm)为何值 润为900元. 时，抽屉的体积y(cm3)最大？最大体积为 【正解】(1)略 多少（材质及其厚度等忽略不计）？ (2)W=-(x-90)2十900[60≤x≤60 (1+40%)],即60≤x≤84，由于抛物线开 口向下，所以当x<90时，y随着x的增大 而增大，所以当x=84时，W有最大值 =864. 答：当定价为84元时利润最大，最大利 润为864元. 【错因分析】问题出现在第(2)问，解答二 次函数实际问题未考虑到自变量x的取值 4.(无锡中考题)张经理到老王的果园 范围，x=90恰好不在自变量取值范围之 里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理 内，故x=90时W有最值是不正确的. 的采购价y(元吨)与采购量x(吨)之间函 数关系的图象如图中的折线段ABC所示 新题看台刀 (不包含端点A,但包含端点C). (1)求y与x之间的函数关系式 1.(株洲中考题)某广场有一喷水池，水 (2)已知老王种植水果的成本是2800 从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，以出 元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王 水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空 在这次买卖中所获的利润最大？最大利 中划出的曲线是抛物线y=一x2十4x(单 润是多少？ 位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是 8000 米) 4000.= 20 40 x(米) A.4米B.3米C.2米D.1米 2.(怀化中考题)出售某种手工艺品，若 每个获利x元，一天可售出(8一x)个，则当 →49长22.1二次函数的图象和性质(4) 与轴必有两个交点。 (2)x1十x:-2(m一1)，不r1-m2-2m-3, 【深堂演练】 1 1B2A3y=2(+2-2向上(-2，-2)直 “+-2m”-号 m2一2m-331 解得m一0或m一5. 线r=-2+.15.(1)(1,2)(2)2(3)向上(-1，-2》 ∴二次丙数解析式为y-r十2r一3或y-x2一8x十12. 1y-号-- (226 10.(1)m=6 【能力拓展】 (2)y= 交r+303) C2D答案不唯-如y=一-324立- (3)方程-子产+6-V瓜)r十m一3=0的两根互为相反 5.(1)y=(x-1)1-2(2).x<16.y=-2(x-1)1-3 数（减两根之和为零等 7.(1)。=30m:9g=10m/s2(2)1￥或5s 【新题看台】 【新题看台】 1.C2.B 1.B2B3.B4.C5.C 3.(1)勉物线与x抽没有交点， 22.1二次函数的图象和性质(5) 54<0,博1-2玄<0，解得> 【深堂演炼】 kD2A&B4B或y=-(-)广+华号 (2:c>7>0, “直线y=口+1随的增大而增大。 大 6.一17.(1)y=一2(x+1)十5(2)开口向下，顶点 直线y=c十1经过第一二，三象限 坐标为（一1,5），对称轴是直线x=一1(3)向左平移1个单位，再 4.(1),二次函数y=a.x1一(1-3a).r十2a-1的对你轴是直 向上平移5个单位(4)略 线r--2.-二1-3) 一一2，解得g一一1，经检验一一1是 2 【能力拓展】 原分式方程的解，所以a=一1时，二次函数y=x”一(1一3g)十 1.B2.B3.D4.D5.2w66.y=(x+3)2-8 2a一1的对称轴是x=一2， 7.1y=x+2)+1（-21D(2)图略3=21+2 (2)当a=0时.原方程变为一正一1=0.方程的解为x=一1： 当a≠0时，原方程为一元二次方程ax2一（1一34)x十2a一1=0. 8.（1)A(3,0),B(0.-3)(2)y=x1-2x-3-4 ,4=[-(1-3a)]2-4a(2a-1)=a2-2a+1=(a-1)2≥0. 【新题看台】 ,方程总有实数根 1.B2.B3.B4.D5.① 综上a取任何实数时，方程a.x2一(1-3a)r十2一1-0总有 22.1二次函数的图象和性质(6) 实数根， 【深堂演练】 22.3实际问题与二次函数(1) 1.12.33.y-r2+2a+34.D5.D6.(1)y- 【课堂演练】 号+-32y=-x+3)+4(3y=-(x+3 1.A2.0.53.会4.15 5.(1)降低x元后，所销售的件数是(500十10r),y=一100x -5) +600r+5500(0<r11)(2)y=-100rF+600.r+5500(0<x 【能力拓展】 11)配方得y=一100(x一3)2十6400.当r=3时，y的最大值是 1.e233y=-宁+1-)+9=4女-12 6400元.即降低3元时，利润最大，所以销售单价为10.5元时，最大 利搁为6400元. 5.y=(x十6)(x-2) 【能力拓展】 【新题看台】 1.B 1>号23 2.(1)y=(6+3.x)(3900-100r-3000)=-300r+21D0.x +5400(2)9000元3500元 3.如y= 元y一x+3y=-x2+5停 3.(1)由题意，得：-(x-20)·y=一10r1十700r-1000, 4.(1)y--x2+2r十3(2)(1,4》5.(1)y-x2-4r十3 (2)10+3w2 (2)由画意，-10z2+700x-10000-2000,得：11=30,1 22.2二次函数与一元二次方程 40. (3):a一一10<0，.抛物线开口向下，，当30r≤40时， 【漾堂演练】 1.C2.B3,D+.05.直线r=26,-17.图象路 ≥2000.x≤32，.当30x32时，≥2000. 设成本为P(元)，由题意.得P-20(一10x+500)--200r 10-3<x<-1(2)x<-28.(1)m-1(2》32 +10000. 【能力拓展】 :专=-200<0..P随x的增大而减小..背r=32时，P 1.B2.A3.(3,0)4.直角三角形5.一1<x<3 =3600. 6.k<-3 +.(10S=-5r1+4w5r(2)S=-3(x-2)+45,4 1.由抛物线过点A(一1,0)，且与x抽两个父点之问的距离为 =2时，S路大=4,3，S题w口=8,5，，最低总费用为20×45十 1,得另一个交点为(3,0)或（一5,0），设二次函数解析式为y=a(x 40×4-2403(元). 十1)(x一3)或y=a(x十1)(x+5),又其图象过点B(一3,2)，将坐 标代人即得。一名4一所以解析式为y一-子 5.(1Dy=50-0(0x≤160》(2)w=(180+r-20)y 5 6+34红+800(3)因为如=-6+3+8090.所以当x- 8.(1)(1,-4)(-1,4)(2)当m=0时，直线y=-4x与 云，即一170时，利润最大，此时订房数y一50一。一3.此时 轴必相交：当m≠0时，△一16+4m2>0,抛物线与x轴相交， 的利涧是10890元， 9.(1)”△=4(m-1)3一4(m-2m一3)=4m2-8m十4 【新题看台】 4m2十8m十12-16>0，，不论m取何实数，这个二次函数的图象 1.A2.43.y=-20(x-45)2+40500(0<x<90),∴.当 →141← 底面宽是45cm时，抽屁体积最大，最大体积为40500cm。 4.(1)当0<x≤20时.y=8000:当20<x≤40时，y=-200r十 (2)Sam=15平方米 12000。(2)当0<r≤20时，老王获得的利润为-(8000一2800) 第二十二章测试卷 r一5200.r≤10400.此时老王获得的最大利洞为104000元.当2d <x40时.老王我得的科间为0=（一200r十12000一2800）x= -.1.C2.D3.C4.A5.C6.C7.D8.D 一200(x2-46x)=一200(x-23)2+105800,.当r=23时.利间 二、9.-410.5减1311.y- 12.(2.-6) 和取得最大值，最大值为105800元 13.0减-114.36 105800>104000,.当张经理的采胸量为23吨时，老王在这 次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105800元. 三，15.(1)出表格中数据可知：当T一0时，y一3：当r一4时，y一 22.3实际问题与二次函数(2) 16十h+c=a,解得-3. 3.代入代数式得3. 6=二4表内空备中应填：0 【课堂演练】 0(2)函数y=x一4x十3开口向上，当x=1和x=3时，y= 3 D,期当x<1或x>3时，y>0,也可由图象观察得到结果。(3》把 1.B2.3312.54.0a=,6=32)①y=g1 函数y=x”一4x十3化为顶点式y=(x一2)一1，由函数y=(.x 3:十6(0≤x≤4)西经过3秒后重叠部分的面积等于号平方 2)一1的图象向左平移2个单位得y=x2一1的图象，再向上平移 1个单位得函数y=x的图象. 厘米。 16.(1)令y=0,解方程一x+4.r一3=0，则x1=1,x2=3,则 5。(1)设矩形广场图角的小正方形的边长为x米，根据题意， A(1,0),B(3,0),将y=-r十4.x-3配方得y=-(x-2)2十1. 得：1x2+(100-2r)(80-2x)=5200,整理得x2一45r+350=0, 得顶点P(2,1),(2)图略，当1x<3时，y>0.(3)由超意列方 解得x1=35,x?=10.经检验r1=35,x:=10均符合题意，所以， 程组-二土-3·转化为一元二次方程，得-6十0=0. 要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小 y--2x+6, 正方形的边长为35米或者10米. 由△=0，故方程的两个根相等，方程只有一组解，因此抛物线与直 (2)设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形 线有唯一的公共点. 的边长为x米，则y=30[1r2+(100-2r)(80-2x)]+20[2r(100 17.(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的抽捞量相比每天域 2x)+2.x(80-2.x)].即y=80x2-3600r+240000,配方得y 80(x一22.5)”+199500，当x=22.5时，y的值最小，最小值为 少了10kg。(2)由题意，得y=20(950-10x)一(6-若）950 199500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺 10r)=-2x2+40r+14250.(3)-2<0,y=-2x+40r+ 设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199500元. 14250=一2(r-10)+11450,又1≤+≤20.且r为整数..当16 61当-子5时，S#大-合5.2)S-4-52画 r≤10时，y随r的增大而增大：当10x≤20时，y随x的增大面 减小，当x一10时，即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元 图路 18.(1)抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),可设抛物线 【能力拓展】 解析式为y一u(-1)(r-3),把C(0,-3)代人得3--3.解得 1.A2.C3()根据题意，得S-60,2r-一x+30r 一一1.放抛物线解析式为y一一《x1)(r一3》：即y一一x十4d 2 -3,”y=一x2十4m一3m一(r-2)2十1，顶点坐标为(2.1). 自变量x的取值范围是0<x<30. (2)先向左平移2个单位，冉向下平移1个单位，得到的抛物线的解 (2)当r为15米时，矩形场地面积最大，最大面积是225平 析式为y一一x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)且落在直线y一一r 方米。 上.（容案不唯一） 4.(10y=-0.1x3+0,6x+0,9.(2)1.8米(3)1<1<5 19,根据（长为8可得一次两数中的？的值为8或一8，分类 5.(1D直线AB的解析式为y一一之r十1 时论：①m=8时，易得A(一6，D)如图1，抛物线经过点A,C,且 与轴交点A,B在照点的两侧，抛物线开口向下，则a<D, 1 批物线的解析式为y=-1 AB=16,且A(一6,0)，.B(1D,0),面A,B关于对称轴对称， (2)过P作PM∥y轴，交直线（于点M.则P(m,n),M(m, “对称轴直线工=一610-2，要使y随着，的增大面诚小，则 2 2), 0,r>2, 0=m2+,PM=(n+22.:n=号m-1,即m2 n+4, .PO2=n+4n十4=(m+2)2.即O2=PM,PO=PM. 易知D(-1,号）则OD的长为定值 若△PDO的周长最小，则P)+PD的值最小 P)+PD=PD+PM≥DM,PD+PO的最小值为DM. 即当D,P,M三点共线时PO+PD-PM+PD一DM, 1 图2 此时点P的横坐标为一1，代人抛物线解析式可得P一1， ②m=一8时，易得A(6,0),如图2，：抛物线过A,C两点，且与 r轴交点A,B在原点两侧..抛物线开口向上.则a>0,:AB一16， ）5aa=(c0+PD)Xm=×(2+ 3 且A(6,0),∴，B(一10,0)，而A,B关于对称轴对称，对称轴直线x =6-10 4）×1=号 17 2 一2，要使y随着x的增大而减小，且>0，.<一2 20.在Rt△PMN中.PM-PN.∠P-90°，∠PMN 【新题看台】 ∠PNM=45.延长AD,分别交PM.PN于点G,H,过G作FI 1.B2,483(1)y-30-2r(6≤r<15)(2)i设矩形苗周 MN于点F,过H作HT⊥MN于点T.DC-2cm,.MF-GF 的面积为5，则S=ry=r(30-2r1■-2x+30r,S■一2(r ■2m,TN=HT=2cm,MV=8cmMT=6cm,因此，矩形 7.5)3+112.5.由(1)知.6≤<15.当x-7,5时，S量大鱼-112.5 ABD以1cms的速度由开始向右移动到停止，与Rt△PMN重 平方米， 叠廊分的形状，可分为下列三种情况， 故当矩形苗用垂直于瑞的边长为7.5米时，这个苗周的面积最 (1)在C点由M点运动到F点的过程中(0≤x2),如图①所 大，最大面积为112.5平方米. 示，设(CD与PM交于点E,期重登部分图形是R:△MCE,且MC (3)6x11 -EC-r. 142长