22.3 实际问题与二次函数（2）抛物线型问题 （题型专练） 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

抛物线型问题 （题型专练） 一．选择题 1．如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足y＝﹣x2+2x+3，有下列结论： ①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为3m； ②水珠在其距离喷头的水平距离为1m时，达到最大高度，最大高度为4m； ③水珠在空中两次到达到竖直高度2m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 3．物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m； ②h与t之间的函数关系式为； ③小球的运动时间为6s； ④小球的高度h＝20m时，t＝1.5s．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 5．一个小球从地面上一点O处以一定的方向弹出，落在斜坡OM上的点A处，小球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）表示，斜坡所在直线可以用yx（x≥0）表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离x为2m时，其飞行高度y达到最大值5m（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①a，b＝5； ②小球在斜坡上的降落点A距地面的高度为3.6m； ③若小球飞行高度y（m）与飞行时间t（s）满足关系式y＝﹣5t2+vt，则v＝10． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为20m，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱OM，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心4m处到达最大高度为6m，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合．小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2．则OM的高度是（　　） A．3m B． C． D．4m 7．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为：.有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m； ③铅球落地时的水平距离为10m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝4cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣30）2+k的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣2（x﹣15）2+30 10．如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线，点C是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度y（单位：厘米）与水平距离x（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度CM是4米，跨度AB是8米，在线段AB上离中心M处1米的地方，桥的高度是　 　 米． 12．小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数yx+2，则小徐此次的实心球成绩为 　 　 米． 13．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝9cm．如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液体最大深度为 　 　 ． 14．如图，P是抛物线y＝x2﹣3x﹣4在第四象限的图象上一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 　 　 ． 15．某同学在学校运动会中投掷的铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知此次投掷的成绩是　 　 m． 16．小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示（P为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 　 　 m． 三．解答题 17．如图所示，某运动员站在点O处推铅球时，铅球在点A处出手，点A在点O的正上方，以地面OB为x轴，运动员站立的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知铅球经过的路线满足抛物线．（单位：米） （1）铅球出手时的高度OA是多少米？ （2）在铅球运动过程中，最高点到地面OB的距离是多少？此时铅球距离运动员的水平距离为多少？ 18．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 19．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分． （1）抛物线C1的最高点坐标为 　 　 ； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　 　 ． 20．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为 　 　 ； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为 　 　 ． 21．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m． 现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数解析式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 　 　 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 22．2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当k时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23．如图，一小球（看作一个点）从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线可以用抛物线yx2+bx刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA可以用直线yx刻画，若小球到达的最高点M的坐标为（4，m），解答下列问题： （1）求b和m的值． （2）小球落点为A，求点A的坐标． （3）在斜坡OA上的点B处有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），点B的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C B C B A A 二．填空题 11．． 12．10． 13．2cm． 14．16． 15．7． 16．9． 三．解答 17．解：（1）在中，令x＝0，则y， ∴A（0，）， ∴OA， 答：铅球出手时的高度OA是米； （2）（x2﹣6x﹣11）（x﹣3）2+2 答：在铅球运动过程中，最高点到地面OB的距离是2米，此时铅球距离运动员的水平距离为3米． 18．解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O（0，0）代入函数表达式， 解得：a， ∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4， 即yx2+2x（0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1， ∴将x＝1代入yx2+2x， 解得：y1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 19．解：（1）由题意，∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴抛物线 C1 的最高点坐标为的（3，2）． 故答案为：（3，2）． （2）由题得，B（6，1）． 将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴． ∴抛物线C1：y（x﹣3）2+2． ∴当x＝0时，y＝c＝1． （3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是（5，1）～（7，1）， 当经过（5，1）时，1255+1+1， 解得：n． 当经过（7，1）时，1497+1+1， 解得：n， ∴n， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 20．解：（1）由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6， ∴a， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y（x﹣2）2+1.6， 当y＝0时，0（x﹣2）2+1.6， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.4）的对称点为（4，1.4）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）； （3）∵OB＝2，OC＝6，DE＝3， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为2≤d≤3， 故答案为：2≤d≤3． 21．解：（1）∵8﹣6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3， 把点A（8，0）代入得：36a+3＝0， 解得a， ∴抛物线的函数解析式为：y（x﹣2）2+3； （2）当x＝0时，y4+32.44， ∴球不能射进球门． （3）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y（x﹣2﹣m）2+3， 把点（0，2.25）代入得：2.25（0﹣2﹣m）2+3， 解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 故答案为：1． 22．解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，k），A（2，3）， 又∵k， ∴可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2， 则3＝a（2﹣3）2， 解得：a， 故抛物线解析式为：y（x﹣3）2； （2）根据题意，抛物线解析式为：y（x﹣3）2， 令y＝0，则0（x﹣3）2， 解得：x1＝3，x2＝3（舍去）． ∴运动员落水点与点C的距离为（3）米； （3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k， 将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k 若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水， 则当x时，ya+k≥0，即（3﹣k）+k≥0， 解得：k， 当x＝6时，y＝9a+k≤0，即9（3﹣k）+k≤0， 解得：k， 故k． 23．解：（1）由题意，得 ， ∴b＝4． ∴抛物线的解析式为 ． ∴当x＝4时，． ∴b＝4，m＝8． （2）由题意，得， ∴解得或． ∴点A的坐标为 ． （3）由题意，当x＝6时，代入 ，得 y＝3； 当x＝6 时，代入 ，得 y＝6． ∵3+2＝5，且5＜6， ∴小球能飞过这棵树． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 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