精品解析：湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市第十九中学 命题教师：丁宇寻 审题教师：邱道 考试时间：2024年4月29日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 9 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 384 D. 1440 5. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ） A. 350 B. 140 C. 560 D. 280 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. x项系数为－280 C. 所有项的系数之和为1 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有36种 C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是 D. 11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极小值为 B. 函数在点处的切线方程为 C. D. 若曲线与曲线无交点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____________. 13. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________． 14. 已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 16. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）有3名内科医生和2名外科医生； （2）既有内科医生，又有外科医生； （3）至少有1名主任参加； （4）既有主任，又有外科医生． 17. 某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动． （1）求选到的学生是艺术生的概率； （2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大． 18. 某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中． （1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？ （2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损． 19. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市第十九中学 命题教师：丁宇寻 审题教师：邱道 考试时间：2024年4月29日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式逐项求导验证即可 【详解】因为,所以错, 因为,所以对, 因为,所以错, 因为,所以错. 故选：B 2. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：C. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值 【详解】因为，所以，令，则，， 则，所以. 故选：A. 4. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 384 D. 1440 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法求解. 【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式， 此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式， 由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为， 故选：. 5. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案. 【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小. 设切点为， 所以切线斜率为，由题知，解得或（舍）， ，此时点到直线距离. 故选：D 6. 三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ） A. 350 B. 140 C. 560 D. 280 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数的计算，结合定序问题倍缩法，代入计算，即可求解. 【详解】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果． 【详解】根据二项式定理展开式， 故当时，， 即， 所以，整理得， 故，又， 所以. 故选：C． 8. 若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果. 【详解】设公切线与函数切于点， 由，得，所以公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 设公切线与函数切于点， 由，得，则公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 所以，消去，得， 由，得， 令，则， 所以在上递减， 所以， 所以由题意得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. x项系数为－280 C. 所有项的系数之和为1 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据二项式展开式的特点判断；B选项，写出通项，然后利用通项求项系数；C选项，利用赋值法求所有项的系数和；D选项，根据所有项的二项式系数之和的公式计算. 【详解】由题意得展开式共8项，故A错； 通项为，令，解得， 所以项系数为，故B正确； 令中得， 所以所有项的系数之和为，故C错； 所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：BD. 10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有36种 C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A，将四名志愿者分为2，1，1三组，由分步乘法计数原理即可判断B，分两种情况，有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个和每2个人报名了1个项目，分别计算出项目数，相加即可判断C，先计算出和，利用条件概率求解公式即可判断D. 【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误； 对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种， 由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确； 对于C，四名同学最终只报了两个项目，若有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个项目，此时有种情况， 若每2个人报名了1个项目，此时有种情况，共有种情况， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确； 对于D，事件A：先从4名同学选出2人，组成一组，再进行全排列，故， 事件：甲同学1人报名‘关怀老人’项目，剩余3人分为2组，和剩余的2个项目进行全排列，故， 所以，D正确． 故选：BCD 11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极小值为 B. 函数在点处的切线方程为 C. D. 若曲线与曲线无交点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数讨论的单调性判断A；由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程可判断B；利用的单调性判断C；将问题转化为无解，从而可判断D. 【详解】A：，令， 所以当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递减函数； 则函数的极大小值为，故A错误； B：，又， 则函数在点处的切线方程为，即，故B正确； C：因为在上单调递减， 所以，即， 所以，则，故C正确； D：两曲线无交点等价于方程无解， 显然，即无解，即无解， 因此比函数的最大值还大，即，故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的解决关键，在于将两曲线无交点转化为方程无根，再利用选项A中的结论即可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____________. 【答案】2或6 【解析】 【分析】根据组合数性质即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 又或， 解得或. 故答案为：2或6 13. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断是否为函数的零点，从而得到方程有两个根，令，问题转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数说明在上的单调性，即可得到的图象，再数形结合即可得解. 【详解】因为，则， 对于函数，所以，显然不是函数的零点， 当时函数恰好有两个零点， 所以方程有两个根， 令， 则函数与函数的图象有两个交点， 当时，，则， 所以当时，，函数在上为增函数， 当时，，函数在上为减函数，又， 当时，，函数在上为减函数， 由此可得函数的图象如下： 当即时，函数与函数的图象恰有两个交点， 所以. 故答案为：. 14. 已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】同构变形得，设，根据导数得到其单调性则，再分离参数得，设，利用导数求出最值即可. 【详解】由题意，原不等式可变形为， 即，设，则当时，恒成立， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则，所以，， 因为在上单调递增， 所以要使，只需， 在上恒成立，取对数，得， 因为，所以．令，，因为， 所以在上单调递增，所以， 所以，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构思想得到， 在上恒成立，再分离参数，利用导数求出最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【小问1详解】 函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，解得：或.列表得： x 1 3 + + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 16. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）有3名内科医生和2名外科医生； （2）既有内科医生，又有外科医生； （3）至少有1名主任参加； （4）既有主任，又有外科医生． 【答案】（1）120 （2）246 （3）196 （4）191 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理进行计算即可； （2）分内科医生去人四类情况进行考虑，相加即可； （3）分两类：选1名主任和选2名主任进行考虑，相加即可； （4）分选外科主任和不选外科主任两类情况进行考虑，相加即可. 【小问1详解】 先选3名内科医生共有种选法， 再选2名外科医生共有种选法， 故选派方法共有种. 【小问2详解】 既有内科医生，又有外科医生包括四种情况： 内科医生去人，易得选派方法为： . 【小问3详解】 分两类： 一是选1名主任有种方法； 二是选2名主任有种方法， 故至少有1名主任参加的选派方法共种. 【小问4详解】 若选外科主任，则其余可任意选， 共有种选法； 若不选外科主任，则必选内科主任， 且剩余四人不能全选内科医生，有种选法， 故既有主任，又有外科医生的选派种数为. 17. 某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动． （1）求选到的学生是艺术生的概率； （2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大． 【答案】（1） （2）来自丙班的可能性最大 【解析】 【分析】（1）依据题意根据全概率公式计算即可； （2）根据条件概率公式分别计算，即可判断. 【小问1详解】 设“任选一名学生恰好是艺术生”， “所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”, “所选学生来自丙班”．由题可知： ，，， ，， . 【小问2详解】 ； 所以其来自丙班的可能性最高． 18. 某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中． （1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？ （2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求导，解即可求出结果； （2）该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，参变分离得到，构造函数，求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，所以，令，即，又因为，因此，所以该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在； 【小问2详解】 令，该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立， 所以，即，设，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故， 因此当时，该企业加工生产将不会出现亏损. 19. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； （2）①； ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 【解析】 【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【小问1详解】 由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； 【小问2详解】 ①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②略 【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $