精品解析：江西省吉安市遂川县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

二〇二四年上半年期末考试 八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 在式子，，，，中，分式的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如果，那么下列各式中正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若要使代数式能进行因式分解，则单项式应（ ） A. B. C. D. 5. 如图，周长为32的中，交于点，点是的中点，若，则的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 23 D. 25 6. 上午八点二十五分，钟表上时针与分针夹角度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正六边形的内角和为___度． 8. 不等式正整数解的个数是______个． 9. 点在直线上，则点关于原点对称点的坐标是______． 10. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_____ 11. 如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则______． 12. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，当为直角三角形时，的长为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）分解因式：； （2）如图，在中，，是的角平分线，，，求点到的距离． 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 15. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 16. 先化简，在求值：，其中，． 17. 如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某村一片山地种植一种果树，原果树共有180棵，该果树品种产量是平均每棵200斤，现种植一种新品种，产量比原树种每棵多50斤，根据村计划新果树成熟后这片山地总产量要不少于原来的1.5倍，求新种植的果树最少应达棵数． 19. 对多项式进行因式分解时，有时可把多项式分成若干组，先分别分解，然后整体分解，其中合理分组是实现完全分解的关键．请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： （1）； （2）． 20. 如图，将沿平移，得到，连接，． （1）若，垂足，求证：； （2）若，，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了落实“双减”政策措施，增强学生的体质，西安市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球是足球数量的2倍． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过12000元，那么学校最少购入多少个足球？ 22. 如图，在中，，，垂足为，，垂足为，点是的中点，，交于点．（相关知识点提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．） （1）如图1，，求证：是等边三角形； （2）如图2，，试猜想是不是等边三角形？如果是等边三角形，请加以证明；如果不是等边三角形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长度． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程： 【操作体验】 如图，是等腰直角三角形，是的中点，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，连接与直线交于点． 【操作发现】 在图1中，当点与点重合时，求证：； 【特例求解】 在图2中，连接，若，求的长； 【素养体现】 连接，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点的运动路程长及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二四年上半年期末考试 八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 在式子，，，，中，分式的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，这3个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于分母中是否含有未知数． 2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质：1、不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；2、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，则，则，原计算错误，不符合题意； B、如果，则，正确，符合题意； C、如果，则，原计算错误，不符合题意； D、如果，则，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合， ∴选项A的图形是中心对称图形； 故选：A． 4. 若要使代数式能进行因式分解，则单项式应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式，选择答案即可，熟练掌握利用完全平方公式因式分解是解题的关键． 【详解】解：当单项式为选项D．时，， 单项式为B、C、D选项时，不能进行因式分解， 故选：D． 5. 如图，周长为32的中，交于点，点是的中点，若，则的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 23 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长． 【详解】解：的周长为32， ，则， 四边形是平行四边形，对角线相交于点，， ， 点是的中点， 是的中位线，， ， 的周长， 即的周长为15． 故选：A． 6. 上午八点二十五分，钟表上时针与分针的夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了钟面角，求出时针与分针相差大格个数是解题的关键． 【详解】解：∵钟表上个数字，每相邻两个数字之间，即一大格的夹角， 上午八点二十五分，钟表上时针与分针相差大格有， ∴夹角度数， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正六边形的内角和为___度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2）， 所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720 8. 不等式的正整数解的个数是______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用．解不等式求出的范围，从而可求出的正整数解． 【详解】解：， 解得， ∴的正整数解：3，2，1，共3个； 故答案为：3． 9. 点在直线上，则点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点和关于原点对称的点的坐标特征．先由点在直线上求出m的值，然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 10. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解：去分母得， ∵关于x的分式方程无解， ∴，即增根， 把增根代入得， 解得， 故答案为：． 11. 如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式．直接利用三角形的面积可求得，采用割补法“用大的矩形面积减去三个小三角形的面积”可求得，据此求解即可． 【详解】解：由网格图可得， ， 故有． 故答案为：8． 12. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，①当时，连接，由旋转得，求得，即可求得；②当时，连接，，过点作交于点，连接，则，证明，得到，，利用勾股定理求得；③当，连接，，过点作交于点，证明，则，，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ①如图，时，连接， ∵，， ∴点、和在同一直线上， ∴， ∴； ②当时，连接，，过点作交于点，连接，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ③当，过点作交于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的长6或或， 故答案为：6或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）分解因式：； （2）如图，在中，，是的角平分线，，，求点到的距离． 【答案】（1）；（2）点D到距离为． 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，因式分解． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）作于H，根据，，求出，再由角平分线的性质即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）作于H，如图所示： ∵，， ∴， ∵是角平分线，，， ∴， ∴点D到的距离为． 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．首先解出不等式组中每个不等式的解集，然后找出每个不等式的解集的公共部分，求出不等式组的解集；最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴解不等式，得：； 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， 把不等式组的解集在数轴上表示出来为： 15. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本师考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先由得，再证明，得，，继而得，即可由平行四边形判定定理得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 16. 先化简，在求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【详解】解：化简得 = 把 ，代入上式 = 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序. 17. 如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺和旋转的作图、正方形的性质理解、全等三角形的判定与性质的理解，熟练掌握无刻度直尺和旋转的作图、全等三角形的判定与性质的理解是解题的关键． （1）根据无刻度直尺和旋转作图即可； （2）记和交于点，根据旋转、正方形的性质，得出，，结合，利用可证，得出，故射线即为的平分线． 【小问1详解】 解：如图，图形即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图，射线即为所求， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某村一片山地种植一种果树，原果树共有180棵，该果树品种产量是平均每棵200斤，现种植一种新品种，产量比原树种每棵多50斤，根据村计划新果树成熟后这片山地总产量要不少于原来的1.5倍，求新种植的果树最少应达棵数． 【答案】新种植的果树最少应达72棵． 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用．设新种植的果树最少应达棵，根据“新果树成熟后这片山地总产量要不少于原来的1.5倍”列不等式，据此计算即可求解． 【详解】解：设新种植的果树最少应达棵， 依题意得， 解得， 答：新种植的果树最少应达72棵． 19. 对多项式进行因式分解时，有时可把多项式分成若干组，先分别分解，然后整体分解，其中合理分组是实现完全分解的关键．请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，将沿平移，得到，连接，． （1）若，垂足为，求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据平移的性质得，根据等量代换得，根据，利用“三线合一”的性质即可得； （2）根据平移的性质得，即可得四边形为平行四边形，求得，，利用三角形的内角和定理即可得． 【小问1详解】 证明：连接， ∵将沿平移，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵沿平移，得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了落实“双减”政策措施，增强学生的体质，西安市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球是足球数量的2倍． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过12000元，那么学校最少购入多少个足球？ 【答案】（1）每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元； （2）学校最少购入100个足球． 【解析】 【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元．由题意：花费7000元购买篮球的数量是花费2500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球．由题意：购买篮球和足球的总费用不超过12000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每个足球售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元， 由题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是所列方程的解且符合题意， ∴x＋20＝70， 答：每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元； 【小问2详解】 设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球， 由题意得：50m＋70（200−m）≤12000， 解得：m≥100， 答：学校最少购入100个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 如图，在中，，，垂足为，，垂足为，点是的中点，，交于点．（相关知识点提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．） （1）如图1，，求证：是等边三角形； （2）如图2，，试猜想是不是等边三角形？如果是等边三角形，请加以证明；如果不是等边三角形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先判定是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而可得是等边三角形； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明； （3）根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，，然后代入数据进行计算即可求解． 【小问1详解】 证明：，， 是等边三角形， ，垂足为，，垂足为， 、分别是、边的中点， 又点是的中点， ，，， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：是等边三角形． 理由如下：，，， ， 在中，， 点是的中点，，， ， ，， ， ， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：，，， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程： 【操作体验】 如图，是等腰直角三角形，是的中点，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，连接与直线交于点． 【操作发现】 在图1中，当点与点重合时，求证：； 【特例求解】 在图2中，连接，若，求的长； 【素养体现】 连接，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点的运动路程长及的最大值． 【答案】操作发现：见解析；特例求解：；素养体现：点的运动路程长为，的最大值为． 【解析】 【分析】操作发现：由直角三角形斜边上中线的性质求得，再证明即可推出；； 特例求解：过点E作交于点G，证明，则；在中计算出，由即可求解； 素养体现：当点与点重合时，求得，当点在线段上时，证明，推出，得到点的运动路径是射线，当点与点重合时，可得点的运动路程是线段的长，此时的值最大，据此即可求解． 【详解】操作发现： 证明：∵，D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴； 特例求解: 如图，过点E作交于点G， ∵是等腰直角三角形，， ∴； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形，， ∴； ∵D是的中点，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴； 素养体现： 当点与点重合时，如图，同理，， 当点在线段上时，如图，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的运动路径是射线， 当点与点重合时，如图， 同理，可得点的运动路程是线段的长，此时； 此时的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $