2025届高三高考数学一轮课时练习：空间位置关系的向量证明

2025届高三高考数学一轮课时练习： 空间位置关系的向量证明 一、单选题 1．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 2．若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（    ） A． B． C． D．与位置关系不确定 3．如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 5．直线的方向向量分别为，，平面的法向量为，则下列正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．设，分别是空间中的直线，的方向向量，，.记甲：，，不共面，乙：与异面，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 7．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A．⊥ B． C．与相交但不垂直 D．或 8．平面的法向量为，平面的法向量为，，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 9．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与的位置关系不能判断 10．已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A．直线与平面平行 B．直线在平面内 C．直线与平面垂直 D．直线与平面不相交 二、多选题 11．如图：三棱锥中，面，，，，，，，分别为棱，，的中点，为棱上的动点，过，，的平面交于．下列选项中正确的有（    ） A．的最小值为2 B．时， C．三棱锥被平面分割成的两部分体积相等 D．当为中点时，，，，，五点在一个球面上，且球的半径为 12．在正方体中，分别为棱的中点，则（   ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 13．平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，如：（1）平面上，过点，且以为方向向量的平面直线的方程为；在空间中，过点，且以为方向向量的空间直线的方程为.（2）平面上，过点，且以为法向量的直线的方程为；空间中，过点，且以为法向量的平面的方程为.现已知平面，平面，，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 15．已知空间向量n＝（2，2，－3）为平面α的一个法向量，点A（1，0，0），B（0，1，0），为平面β的一个法向量，则AB与平面α的位置关系为 ，平面α与平面β的位置关系为 ． 16．如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 17．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 ．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 18．如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 四、解答题 19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点，且，点在直线上运动，在线段上是否存在一定点，使得其满足： （i）直线； （ii）对所有满足条件（i）的平面，点都落在某一条长为的线段上，且．若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 20．正四面体ABCD中，P是AB上靠近点A的三分点，Q是AD上靠近点D的三分点，R是CD的中点，确定平面PQR与BC的交点. 21．如图，正四面体ABCD中，P是AB上一点，，，，R为CD中点，截面PRQ与CB交于点S．确定S的位置． 22．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 答案： 1．C 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 2．A 【分析】 根据方向向量与法向量共线即可判断. 【详解】由于直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,， 由于，所以直线与平面的法向量共线，所以． 故选：A． 3．C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量，   ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C 4．D 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由直线的方向向量是，平面的法向量是， 得，即， 所以或. 故选：D 5．D 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即可求解. 【详解】对于A，若，则，即，故错误； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C，若，则，即，故C错误； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：D. 6．C 【分析】从充分性和必要性的角度，结合异面直线的定义，即可判断和选择. 【详解】对空间中的任意两条直线， 若，，不共面，显然不可能平行或相交，两直线异面，充分性成立； 若是异面直线，根据异面直线的定义，定有，，不共面，必要性成立； 故甲是乙的充要条件. 故选：C. 7．D 【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系. 【详解】因为， 所以，所以或. 故选：D. 8．C 【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解. 【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，解得. 故选：C 9．A 【分析】根据向量共线即可判定. 【详解】由于，故直线的方向向量与平面法向量平行，故， 故选：A 10．C 【分析】根据向量共线即可得是平面的一个法向量求解. 【详解】由， ，可得，所以，故是平面的一个法向量，故直线与平面垂直， 故选：C 11．ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合闵可夫斯基不等式处理A，利用平面的方程处理B，利用截面计算体积为定值处理C，球的方程处理D即可. 【详解】 由题意得，故，又面， 故以为原点建立空间直角坐标系，故，，， ，，设，则， 故， 由闵可夫斯基不等式得， 当且仅当时取等，故A正确， 若，则，而，， 设面的法向量，故，， 则，，令，解得，， 故，设面任意一点坐标为， 可得面的方程为，当时，， 故，显然成立，故B正确， 三棱锥上部分被平面截为三部分，设原体积为1， 设，， ， ， 故， 则三棱锥被平面分割成的两部分体积相等，故C正确， 若为中点，则，， ，，设面的法向量， 则，，则，， 令，解得，，故， 故，则面的方程为， 当时，解得，， 设过，， ，的球方程为，将点代入方程， 可得，， ，解得，，，， 故球的方程为，经检验，也在该球上， 故，，，，五点共球，且球的半径为，故D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后求出关键点的坐标，得到所要求的球的方程，最后得到结果即可． 12．AC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 对于A，，，即有，因此，A正确； 对于B，，向量不共线，直线不平行，而直线平面， 平面，又平面平面，因此直线是异面直线，B错误； 对于C，，设平面的法向量， 则，取，得，显然， 而平面，因此平面，C正确； 对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，D错误. 故选：AC 13．AC 【分析】求出平面、的法向量，以及直线、所过定点坐标及其方向向量，利用空间中线面、面面位置关系与空间向量的关系可得出结论. 【详解】由题可知：平面的法向量，平面的法向量， 直线的方程可化为，直线恒过，方向向量为， 直线的方程可化为，直线恒过，方向向量， 对于A选项，因为，则， 且，故，则，A正确； 对于B选项，，则，所以，，B错； 对于C选项，因为，则，C对； 对于D选项，由，可知与不平行，则与不垂直，D错. 故选：AC. 14．BC 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面的法向量的概念，结合线面位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误； 对于B中，由，可得，则，所以B正确； 对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确； 对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确. 故选：BC. 15． AB∥α或AB⊂α α⊥β 【解析】略 16．1 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论． 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，. 设，则 因为， ，， 即是AD的中点，故， 故选：B. 17．平行或线在面上 【分析】根据方向向量与法向量的数量积判断出线面关系. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以直线与平面平行或直线在平面上， 故答案为：平行或线在面上. 18． 【分析】 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 19．存在，在靠近的三等分点处. 【分析】以为一组基底，用向量证明即可. 【详解】存在，在靠近的三等分点处. 设，则， 因为， 所以 ， 又因为，所以存在，使得， 故， 设 ， 所以 ， 整理得 ， 又点在直线上的充要条件是 ，则， 消去，得，所以， 故， ①当时，； ②当时，， 所以， ，解得. 此时，①中代入(*)不等式成立，故， 所以存在，在靠近的三等分点处. 【点睛】方法点睛：当平面运动时，对于定点，确定动点的存在范围，使之满足所有的题设条件，我们以为一组基向量，利用向量的方法给出本题的一种证法. 20．是线段BC上靠近点C的五等分点 【分析】 令，，，进一步求出设截面PQR与BC交于S，则，，共面，解出，得到点的位置即可. 【详解】 令，，，则， ， 设截面PQR与BC交于S，则，，共面， 应有，记， 有， 所以，，，解得，，， 于是，故S是线段BC上靠近点C的五等分点. 21．点S是BC边上的五等分点，且靠近点 【分析】 首先分析题意进行解析，因截面，则，共面解得，，．最后点S是BC边上的五等分点，即. 【详解】 由题意知，， 因截面，则，共面，进而应有， 记，有， 由此得，，， 解得，，． 于是，点S是BC边上的五等分点，即． 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$