精品解析：上海市嘉定区安亭高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023学年第二学期期中考试 高一数学 试卷命题人：蔡雷霆 审核人：陈春霞 （本试卷共21题，闭卷，满分150分，考试时间120分钟） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 已知向量，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的坐标运算求解即可. 【详解】向量， 所以. 故答案为：. 2. 化简_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，及是锐角，结合平方关系可得． 【详解】由反余弦函数定义得，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查反余弦函数的定义，考查平方关系，属于基础题． 3. 设向量，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两向量垂直公式即可得到答案. 【详解】，， ，. 故答案为：. 4. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由二倍角公式和同角三角函数关系即可求解. 【详解】. 故答案为：. 5. 已知，则的单位向量坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求，在根据单位向量的公式求解. 【详解】. 故答案为： 6. 若，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的性质求解即可. 【详解】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 故答案为： 7. 在中，．记，用表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】 . 故答案为： 8. 始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解． 【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点， 则， 故． 故答案为：． 9. 已知向量在上的投影向量为，且，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由投影向量的定义得到，对平方即可求解. 【详解】在上的投影向量为，得，， ，. 故答案为：. 10. “南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲乙两人离底面高度相等，即甲乙关于摩天轮初始位置所在的直线对称，列出等式即可求解. 【详解】1分钟，甲乙相差，当甲乙离地面高度相等时， 乙转了，即12分钟 故答案为：. 11. 已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量数量积的运算可得，即可得到结果. 【详解】 由题意可得，，则， 由可得， ， 当时，取得最大值为. 故答案为： 12. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知向量，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算计算即可． 【详解】由题意可知：． 故选：D. 14. 函数是由（ ）得到的 A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向右平移 D. 向右平移 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 15. 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 16. 下列定义在上的函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】，，所以为奇函数，故A对； ，，所以为偶函数，故B错； ，，所以为偶函数，故C错； ，，所以为偶函数，故D错. 故选：A. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 在中，，， （1）求的值； （2）若的长为11，求的面积. 【答案】（1）；（2）66. 【解析】 【分析】（1）根据求出、，再根据结合和差公式即可求解；（2）根据正弦定理求、，再根据即可求解. 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵ ∴. （2）由正弦定理得： ， . 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式化简，后用周期公式计算即可． （2）由范围，得到范围，再得到范围，最后得到范围即可． 【小问1详解】 ，，则的最小正周期为． 【小问2详解】 ，则，，． 所以在上的最大值为，最小值为． 19. 已知向量 （1）若，求的值； （2）若求的值. 【答案】（1）（2），或 【解析】 【详解】试题分析：（1）由向量平行得到坐标满足的关系式，整理可得（2）代入向量模的计算公式可得到角的方程，解方程求解角的大小 试题解析：（1） 3分 ． 5分 （2） 8分 所以，, ． 10分 考点：1．向量的坐标运算；2．三角函数式的化简 20. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） （1）用表示的长； （2）若，求如图中阴影部分的面积； （3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【小问1详解】 连接，过作，则， 所以. 【小问2详解】 ． ， ， 所以， 【小问3详解】 ， 则 ， 令，则， 则，当时，. 21. 已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 【答案】（1） （2） （3）；该常数为 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积求出，余弦定理求的长度； （2）由，得，设，余弦定理求，由，可得的值； （3）由，可求得，则有，代入中判断值为常数的条件. 【小问1详解】 设，则，得， 所以. 【小问2详解】 由已知，则， 设，则， 所以，则有，得. 【小问3详解】 由可得，由（1）知， ，， ， ， ， ， 又，所以， 所以， 若为常数，则，即，此时该常数为. 【点睛】关键点点睛： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出内角的余弦值，由，在各直角三角形中利用的边长和三角函数求出，找到与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期中考试 高一数学 试卷命题人：蔡雷霆 审核人：陈春霞 （本试卷共21题，闭卷，满分150分，考试时间120分钟） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 已知向量，则__________． 2. 化简_______. 3. 设向量，若，则__________． 4. 若，则__________． 5. 已知，则的单位向量坐标为__________． 6. 若，且满足，则的最小值为__________． 7. 在中，．记，用表示__________． 8. 始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________. 9. 已知向量在上的投影向量为，且，则__________． 10. “南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则__________． 11. 已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为__________． 12. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为__________． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知向量，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 0 14. 函数是由（ ）得到的 A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向右平移 D. 向右平移 15. 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（ ） A. B. C. D. 16. 下列定义在上的函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 在中，，， （1）求的值； （2）若的长为11，求的面积. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 19. 已知向量 （1）若，求的值； （2）若求的值. 20. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） （1）用表示的长； （2）若，求如图中阴影部分的面积； （3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 21. 已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $