2025届高考数学一轮复习-第2课时球的切、接问题课件

第2课时　球的切、接问题 目 录 CONTENTS 1 2 课时 跟踪检测 考点 分类突破 2 PART 1 考点 分类突破 精选考点 典例研析 技法重悟通 课堂演练 目录 几何体的外接球 【例1】　（1）（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、 下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表 面积为（　　） A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分 别为 ×3 ＝3， ×4 ＝4.设该棱台上、下底面的 外接圆的圆心分别为 O 1， O 2，连接 O 1 O 2，则 O 1 O 2＝1，其外 接球的球心 O 在直线 O 1 O 2上.设球 O 的半径为 R ，当球心 O 在线 段 O 1 O 2上时， R 2＝32＋ O ＝42＋（1－ OO 1）2，解得 OO 1＝ 4（舍去）；当球心 O 不在线段 O 1 O 2上时， R 2＝42＋ O ＝32 ＋（1＋ OO 2）2，解得 OO 2＝3，所以 R 2＝25，所以该球的表面 积为4π R 2＝100π.故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）（2024·全国乙卷16题）已知点 S ， A ， B ， C 均在半径为2的球 面上，△ ABC 是边长为3的等边三角形， SA ⊥平面 ABC ，则 SA ＝ ⁠. 2　 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：法一　如图，设△ ABC 的外接圆圆心 为 O 1，连接 O 1 A ，因为△ ABC 是边长为3的 等边三角形，所以其外接圆半径 r ＝ O 1 A ＝ ×3＝ .将三棱锥 S - ABC 补形为正三 棱柱 SB 1 C 1- ABC ，由题意知 SA 为侧棱，设球心为 O ，连接 OO 1， OA ，则 OO 1⊥平面 ABC ，且 OO 1＝ SA . 又球的半径 R ＝ OA ＝2， OA 2＝ O ＋ O 1 A 2，所以4＝ SA 2＋3，得 SA ＝2. 目录 高中总复习·数学（提升版） 法二　如图，设△ ABC 的外接圆圆心为 O 1，连接 O 1 A ，因为△ ABC 是边长为3的等边三角形，所以其外 接圆半径 r ＝ O 1 A ＝ ×3＝ .设三棱锥 S - ABC的外接球球心为 O ，连接 OO 1，则 OO 1⊥平面 ABC . 又 SA ⊥平面 ABC ，所以 OO 1∥ SA ，连接 OS ， OA ，由题意知 OS ＝ OA ＝2.过 O 作 SA 的垂线，设垂 足为 H ，则四边形 AO 1 OH 为矩形，所以 OO 1＝ AH ，由 OS ＝ OA 可知 H 为 SA 的中点，则 OO 1＝ AH ＝ SA . 所以在Rt△ OO 1 A 中，由勾股定理可得 OA 2＝ O ＋ O 1 A 2，即4＝ SA 2＋3，得 SA ＝2. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 1. 求几何体外接球半径的方法 （1）补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用 它们外接球半径公式求解； （2）性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点 的连线与弦垂直. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 确定球心的常用结论 （1）长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； （2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； （3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的 中点； （4）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角 三角形运用勾股定理计算得到. 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. （2024·菏泽一模）已知三棱锥 P - ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂 直，且 PA ＝1， PB ＝2， PC ＝3，则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面 积为（　　） A. π B. 14π C. 56π D. π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　以线段 PA ， PB ， PC 为相邻三条棱 的长方体PAB'B-CA'P'C'被平面 ABC 所截的三棱 锥 P - ABC 符合要求，如图，长方体PAB'B- CA'P'C'与三棱锥 P - ABC 有相同的外接球，其外 接球直径为长方体体对角线PP'，设外接球的半径为 R ，则（2 R ）2＝PP'2＝ PA 2＋ PB 2＋ PC 2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积 S ＝ 4π R 2＝π·（2 R ）2＝14π. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2021·全国甲卷11题）已知 A ， B ， C 是半径为1的球 O 的球面上 的三个点，且 AC ⊥ BC ， AC ＝ BC ＝1，则三棱锥 O - ABC 的体积为 （　　） A. B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　如图所示，因为 AC ⊥ BC ，所以 AB 为截面圆 O 1的直 径，且 AB ＝ .连接 OO 1，则 OO 1⊥面 ABC ， OO 1＝ ，所以三棱锥 O - ABC 的体 积 V ＝ S △ ABC × OO 1＝ ×1×1× . 目录 高中总复习·数学（提升版） 几何体的内切球 【例2】　（1）（2024·全国甲卷15题）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 AB ， C 1 D 1的中点.以 EF 为直径的球的球面与该正 方体的棱共有 个公共点； 12 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：不妨设正方体棱长为2， EF 中点 为 O ，取 CD ， BB 1中点 G ， M ，侧面 BB 1 C 1 C 的中心 N ，连接 FG ， EG ， OM ， ON ， MN ，如图，由题意可知， O 为球心，在正方 体中， EF ＝ ＝2 ，即 R ＝ ，则球心 O 到 BB 1的距离为 OM ＝ ，所以球 O 与棱 BB 1相切，球面与棱 BB 1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以 EF 为直径的球与每一条棱都相切，所以共有12个公共点. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的 球的体积为 ⁠. 解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆 锥 PE 及其内切球 O 如图所示，设内切球的半径为 R ，则 sin ∠ BPE ＝ ，所以 OP ＝3 R ，所以 PE ＝4 R ＝ ＝2 ，所以 R ＝ ，所以内切球的体积 V ＝ π R 3＝ π，即该圆锥内半径最大的球的体积为 π. π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 内切球问题的处理思路 　　通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，解题 思路如下： （1）定球心：内切球中球心到切点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包 含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到 空间问题平面化的目的； 目录 高中总复习·数学（提升版） （3）求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球 半径的方程，并求解. 提醒　求解多面体内切球问题，一般是将多面体分割为以内切 球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的 体积等于分割后各棱锥的体积之和，求内切球的半径. 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. 如图，已知球 O 是棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的内切球， 则平面 ACD 1截球 O 的截面面积为（　　） A. B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　平面 ACD 1截球 O 的截面为△ ACD 1的内切圆，∵正方体 棱长为1，∴ AC ＝ CD 1＝ AD 1＝ .∴内切圆半径 r ＝tan 30°· AE ＝ .∴ S ＝π r 2＝π× ，故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 已知三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥底面 ABC ， AC ＝4， BC ＝3， AB ＝ 5， PA ＝3，则该三棱锥的内切球的体积为 ⁠. 解析：因为 AC ＝4， BC ＝3， AB ＝5，所以 AC 2＋ BC 2＝ AB 2，所 以△ ABC 为直角三角形.因为 PA ⊥底面 ABC ，所以 PA ⊥ AC ， PA ⊥ AB ， PA ⊥ BC ，所以 PC ＝ ＝5.因为 BC ⊥ PA ， BC ⊥ AC ， PA ∩ AC ＝ A ，所以 BC ⊥平面 PAC ，所以 BC ⊥ PC . 所以三棱 锥 P - ABC 的表面积 S ＝ ×4×3＋ ×4×3＋ ×5×3＋ ×5×3＝27， ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 且三棱锥 P - ABC 的体积 VP - ABC ＝ ×4×3×3＝6.设三棱锥 P - ABC 的内切球的半径为 R ，则由 VP - ABC ＝ SR ＝9 R ＝6，解得 R ＝ ，所 以三棱锥 P - ABC 的内切球的体积 V ＝ R 3＝ ×（ ）3＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 与球切、接有关的最值问题 【例3】　（1）（2022·全国乙卷9题）已知球 O 的半径为1，四棱锥的 顶点为 O ，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积 最大时，其高为（　　） A. B. C. D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：法一（特殊法）　不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为 a ，底面正方形外接圆的半径为 r ，则 r ＝ a ，四棱锥的高 h ＝ ，所以四棱锥的体积 V ＝ a 2 ，当且仅当 ＝1－ ，即 a 2＝ 时等号成立，此时四棱锥的高 h ＝ ，故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 法二（导数法）　设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接 圆的半径为 r ，四棱锥的高为 h ，则 r 2＋ h 2＝1， r ＝ ， 正方形的边长为 r ＝ ，所以四棱锥的体积 V ＝ Sh ＝ （1－ h 2） h ＝ （－ h 3＋ h ）.令 f （ h ）＝－ h 3＋ h （0＜ h ＜1），则f'（ h ）＝－3 h 2＋1，令f'（ h ）＝－3 h 2＋1＝0，得 h ＝ ，所以 f （ h ）在 上单调递增，在 上单调 递减，所以当 h ＝ 时， f （ h ）取得最大值，所以当四棱锥的 体积最大时，其高为 ，故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 法三（转化法）　该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点 O 组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为 h （0＜ h ＜1），底面半径为 r ， 则圆锥的体积 V ＝ π r 2 h ＝ π（1－ h 2） h ，则 V '＝ π（1－3 h 2）， 令 V '＝ π（1－3 h 2）＝0，得 h ＝ ，所以 V ＝ π（1－ h 2） h 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 h ＝ 时，四棱锥的 体积最大，故选C. 目录 高中总复习·数学（提升版） （2）（2024·全国甲卷16题）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝ 4， O 为 AC 1的中点，若该正方体的棱与球 O 的球面有公共点， 则球 O 的半径的取值范围是 ⁠. [2 ，2 ] 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶 点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方 体，导致球面和棱没有交点，设正方体的外接球直径为2 R ，则 2 R ＝ AC 1＝ ＝4 ，即 R ＝2 .分别取侧棱 AA 1， BB 1， CC 1， DD 1的中点 M ， H ， G ， N ，显然四边形 MNGH 是边长为4的正方形，且 O 为正方形 MNGH 的对角线交 点，连接 MG ，则 MG ＝4 ，当球的一个大圆恰好是四边形 MNGH 的外接圆时，球的半径最小，即R'＝2 .综上，球 O 半 径的取值范围为[2 ，2 ]. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解题技法 处理与球切、接有关最值问题的解题策略 （1）截面法：①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且 为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；② 作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. （2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方 法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次 函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如 三角函数等）及导数法等. 目录 高中总复习·数学（提升版） 1. 设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ ABC 为等 边三角形且其面积为9 ，则三棱锥 D - ABC 体积的最大值为 （　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 54 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　由等边△ ABC 的面积为9 ，可得 AB 2＝9 ，所以 AB ＝6，所以等边△ ABC 的外接圆的半径为 r ＝ AB ＝2 .设球的 半径为 R ，球心到等边△ ABC 的外接圆圆心的距离为 d ，则 d ＝ ＝2.所以三棱锥 D - ABC 高的最大值为2＋4＝ 6，所以三棱锥 D - ABC 体积的最大值为 ×9 ×6＝18 . 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. （2024·长沙检测）在封闭的直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1内有一个体积 为 V 的球.若 AB ⊥ BC ， AB ＝6， BC ＝8， AA 1＝3，则 V 的最大值 是 ⁠. 解析：易知 AC ＝10.设△ ABC 的内切圆的半径为 r ，则 ×6×8＝ × （6＋8＋10）· r ，所以 r ＝2.因为2 r ＝4＞3，所以球的最大直径2 R ＝3，即 R ＝ ，此时球的体积 V ＝ π R 3＝ . 　 目录 高中总复习·数学（提升版） PART 2 课时 跟踪检测 关键能力 分层施练 素养重提升 课后练习 目录 1. 正方体的外接球与内切球的表面积之比为（　　） A. B. 3 C. 3 D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设正方体的外接球的半径为 R ，内切球的半径为 r ，棱长 为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2 R ＝ ，所以 R ＝ ，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2 r ＝ 1，即 r ＝ ，所以 ，正方体的外接球与内切球的表面积之比 为 ＝3. 目录 高中总复习·数学（提升版） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（　　） A. π B. C. D. 解析：　如图，画出圆柱的轴截面 ABCD ， O 为球心.球半径 R ＝ OA ＝1，球心到底面圆的距离为 OM ＝ .∴底面圆半径 r ＝ ，故圆柱体积 V ＝π· r 2· h ＝π·（ ）2×1＝ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 3. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个 球的表面积为（　　） A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　如图所示，在正四棱锥 P - ABCD 中， O 1为底面对角线的交点， O 为外接球的球心. V 四棱锥 P - ABCD ＝ × S 正方形 ABCD ×3＝6，所以 S 正方形 ABCD ＝ 6，即 AB ＝ .因为 O 1 C ＝ .设正四棱锥外接球的半径为 R ，则 OC ＝ R ， OO 1＝3－ R ，所以（3－ R ）2＋（ ）2＝ R 2，解得 R ＝2.所以外接球的表面积为4π×22＝16π. 目录 高中总复习·数学（提升版） 4. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯 结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完 全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来.若正四棱 柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容 器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结 果保留π）（　　） A. 96π B. 84π C. 42π D. 16π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球 体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即2 R ＝ ＝2 ，所以 R ＝ ，球形容器的表面积 S ＝4π R 2＝84π.故选B. 目录 高中总复习·数学（提升版） 5. （多选）已知球 O 的半径为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 球 O 的表面积为6π B. 球 O 的内接正方体的棱长为1 C. 球 O 的外切正方体的棱长为 D. 球 O 的内接正四面体的棱长为2 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　球的表面积为4π×（ ）2＝4π× ＝ 6π，A正确.正方体的体对角线长为2× ，棱 长为 ，B错误.球的外切正方体的棱长为2× ，C错误.将正四面体 A - B 1 CD 1补形为正方体如图所示，正方体的体对角线长为2× ，棱长为 ，所以正四面体的棱长为 ＝2，D正确.故选A、D. 目录 高中总复习·数学（提升版） 6. （多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已 知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点 在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是 （　　） A. 半径是3 B. 体积为18π C. 表面积为27π D. 表面积为18π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　如图，△ PAC 是正四棱锥的对角 面，设球半径为 r ， AC 是半圆的直径，则正四棱 锥底面边长为 r ，棱锥体积为 V ＝ ×（ r ） 2× r ＝ r 3＝18， r ＝3，半球体积为 V ＝ π r 3＝ π×33＝18π，表面积为 S ＝2π×32＋π×32＝27π，故选A、B、C. 目录 高中总复习·数学（提升版） 7. 已知三棱锥 S - ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA ＝1， SB ＝ SC ＝ 2，则三棱锥 S - ABC 的外接球的半径是 ⁠. 解析：如图所示，将三棱锥补为长方体，则该三棱锥的外接球直径 为长方体的体对角线，设外接球半径为 R ，则（2 R ）2＝12＋22＋22 ＝9，∴4 R 2＝9， R ＝ .即三棱锥 S - ABC 的外接球的半径是 . ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 8. 已知正三棱台 ABC - A 1 B 1 C 1的上、下底面面积分别为 ，9 ， 若 AA 1＝ ，求该正三棱台的外接球的表面积. 解：若正三角形的边长为 a ，则其面积为 × a × a × a 2，结合题意，可得 AB ＝3， A 1 B 1＝6. 如图，取△ ABC ，△ A 1 B 1 C 1外接圆的圆心 O ， O 2，正三棱台 ABC - A 1 B 1 C 1外接球的球心 O 1，连接 OA ， OO 2， O 1 A ， O 1 A 1， O 2 A 1，设点 A 在底面上的射影为 M ，连接 AM ， 目录 高中总复习·数学（提升版） 易知 M 在 O 2 A 1上， OA ＝ O 2 M ＝ ， O 2 A 1＝2 ，则 MA 1＝ ，由 AA 1＝ ，可得 OO 2＝ MA ＝ ＝3 . 设正三棱台外接球的半径为 R ，则 O 1 A ＝ O 1 A 1＝ R ， 可得 解得 所以该正三棱台的外接球的表面积 S ＝4π R 2＝60π. 目录 高中总复习·数学（提升版） 9. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆 柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相 传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大 发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面 积之比说法正确的是（　　） A. 体积之比 B. 体积之比 C. 表面积之比 D. 表面积之比2 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设球的半径为 R ，则圆柱的底面半径为 R ，高为2 R ， ∴ V 圆柱＝π R 2×2 R ＝2π R 3， V 球＝ π R 3.∴ ； S 圆柱＝2π R ×2 R ＋2×π R 2＝6π R 2， S 球＝4π R 2.∴ ，故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） 10. （2021·天津高考6题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶 点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为1∶3，则 这两个圆锥的体积之和为（　　） A. 3π B. 4π C. 9π D. 12π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　如图所示，由球的体积为 ，可得该球 的半径 R ＝2，由题意得，两个圆锥的高 O ' S ， O ' P 分别为1和3，∵ PS 为球 O 的直径，∴△ PAS 为直角 三角形，又∵ O ' A ⊥ PS ，∴可得截面圆半径 O ' A ＝ ，∴这两个圆锥的体积之和为 V ＝ π·（ ） 2·（3＋1）＝4π，故选B. 目录 高中总复习·数学（提升版） 11. 已知 A ， B ， C 为球 O 的球面上的三个点，☉ O 1为△ ABC 的外接 圆.若☉ O 1的面积为4π， AB ＝ BC ＝ AC ＝ OO 1，则球 O 的表面积 为（　　） A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　如图所示，设球 O 的半径为 R ，☉ O 1 的半径为 r ，因为☉ O 1的面积为4π，所以4π＝π r 2，解得 r ＝2，又 AB ＝ BC ＝ AC ＝ OO 1，所以 ＝2 r ，解得 AB ＝2 ，故 OO 1＝2 ，所 以 R 2＝ O ＋ r 2＝（2 ）2＋22＝16，所以球 O 的表面积 S ＝4π R 2＝64π.故选A. 目录 高中总复习·数学（提升版） 12. （多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M ， N ， 若线段 MN 的最小值为 －1，则下列说法中正确的是（　　） A. 正方体的外接球的表面积为12π B. 正方体的内切球的体积为 C. 正方体的棱长为2 D. 线段 MN 的最大值为2 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：　设正方体的棱长为 a ，则正方体外接球的半径为体对 角线长的一半，即 a ；内切球的半径为棱长的一半，即 . ∵ M ， N 分别为外接球和内切球上的动点，∴ MN min＝ a － a ＝ －1，解得 a ＝2，即正方体的棱长为2，∴正方体外接 球的表面积为4π×（ ）2＝12π，内切球体积为 ，则A、B、C 正确；线段 MN 的最大值为 ＋1，则D错误. 目录 高中总复习·数学（提升版） 13. 一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六 棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长 为3，则这个球的体积为 ⁠. 解析：设正六棱柱底面边长为 a ，正六棱柱的高为 h ，球的半径为 R ，则 a ＝ ，底面积为 S ＝6× ×（ ）2＝ ， V 柱＝ Sh ＝ h ＝ ，解得 h ＝ ，∴ R 2＝（ ）2＋（ ）2＝1， R ＝1，球的体 积为 V ＝ . ​ 目录 高中总复习·数学（提升版） 14. 若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为 ，当该圆锥体积取最小值时，求该圆锥的表面积. 解：法一　因为圆锥的内切球的体积为 ，所以 该内切球的半径为1.如图，设圆锥底面半径为 R ， 高为 h .由△ AOF ∽△ ACE 可得 ，即 ，则 R 2＝ （ h ＞2），所以圆锥的体积为 V ＝ π R 2 h ＝ π· π·［（ h －2）＋ ＋4］. 目录 高中总复习·数学（提升版） 因为 h －2＞0，所以 h －2＋ ≥4，当且仅当 h －2＝ ，即 h ＝4时取等号，此时圆锥体积最小，且圆锥的底面半径为 R ＝ ，圆锥的母线长 l ＝ ＝3 ，所以此时该圆锥的表面积为 S ＝π Rl ＋π R 2＝π× ×3 ＋π×（ ）2＝8π. 目录 高中总复习·数学（提升版） 法二　由法一得圆锥的体积为 V ＝ π R 2 h ＝ π· . 令 f （ h ）＝ （ h ＞2），则f'（ h ）＝ . 当2＜ h ＜4时，f'（ h ）＜0；当 h ＞4时，f'（ h ）＞0. 所以 f （ h ）在（2，4）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增， 所以 f （ h ）min＝ f （4）＝8，即 h ＝4时，该圆锥的体积最小.后 同法一. 目录 高中总复习·数学（提升版） 15. （2024·南昌调研）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有 两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且 与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ⁠. 5－ 目录 高中总复习·数学（提升版） 解析：由题意可知大球的半径 R ＝2，设小球的半径为 r （0＜ r ＜2），大球的球心为 O ，小球的球心为 C ， E 为小球与上底面的切点，如图所示，连接 CO ， CE ，过点 O 作 OD ⊥ CE 交 EC 的延长线于点 D ，由题 意可知， OD ＝2 r ， CD ＝4－ r ， CO ＝2＋ r ，由 CO 2＝ CD 2＋ OD 2，得（2＋ r ）2＝（4－ r ）2＋（2 r ）2，即 r 2－10 r ＋10＝0， r ∈（0，2），解得 r ＝5－ . 目录 高中总复习·数学（提升版） 16. 如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为5 cm，该纸片上的等边三角 形 ABC 的中心为 O . D ， E ， F 为圆 O 上的点，△ DBC ，△ ECA ， △ FAB 分别是以 BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开 后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起△ DBC ，△ ECA ，△ FAB ， 使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥.当△ ABC 的边长 变化时，求所得三棱锥体积（单位：cm3）的最 大值. 目录 高中总复习·数学（提升版） 解：如图，连接 OD ，交 BC 于点 G ，由题意，知 OD ⊥ BC ， OG ＝ BC . 设 OG ＝ x ，则 BC ＝2 x ， DG ＝5－ x ，三 棱锥的高 h ＝ ， S △ ABC ＝ ×2 x ×3 x ＝3 x 2， 则三棱锥的体积 V ＝ S △ ABC · h ＝ x 2· · . 目录 高中总复习·数学（提升版） 令 f （ x ）＝25 x 4－10 x 5， x ∈（0， ），则f'（ x ） ＝100 x 3－50 x 4. 令f'（ x ）＝0得 x ＝2.当 x ∈（0，2）时，f'（ x ）＞ 0， f （ x ）单调递增， 当 x ∈（2， ）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减， 故当 x ＝2时， f （ x ）取得最大值80，则 V ≤ ＝4 . 所以三棱锥体积的最大值为4 cm3. 目录 高中总复习·数学（提升版） 感 谢 观 看! $$