第3章 位置与坐标 中档题拓展训练【7个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第3章 位置与坐标 中档题拓展训练【7个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．点的坐标 二．坐标确定位置 三．坐标与图形性质 四．两点间的距离公式 五．关于x轴、y轴对称的点的坐标 六．坐标与图形变化−对称 七．关于原点对称的点的坐标 考点精讲精练 一．点的坐标 · 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 1．（2023秋•东河区期末）若点在轴上，则点所在象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•南岸区期末）在平面直角坐标系中，点，位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023秋•漳州期末）下列各点在第二象限的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•衢江区期末）在平面直角坐标系中，点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024春•北辰区期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 　　． 6．（2024•东莞市模拟）在平面直角坐标系中，点在第 　　象限． 二．坐标确定位置 · 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 7．（2024春•路北区期中）如图，是一个教室平面示意图，我们把嘉嘉的座位“第3列第2排”记为．以下四个座位中，与嘉嘉相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是　　 A． B． C． D． 8．（2024•岳麓区校级模拟）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•龙华区期末）如图是某学校的示意图，以办公楼所在位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则教学楼的坐标是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•成都期末）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为轴的正方向，以正北方向为轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是和则食堂的坐标是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•任城区期末）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲的坐标为黑棋（乙的坐标为，则白棋（甲的坐标是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•河源期末）“歼”是我国自主研制的第五代战斗机，属于单座双发隐形战斗机，具备高隐身性、高态势感知、高机动性的特点．如图，小静将一张“歼”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 13．（2024•泰山区校级二模）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用有序数对表示“炮”的位置，表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是　　 A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬 C．电影院中18座 D．北偏西方向 15．（2024•平遥县二模）住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为 　　． 16．（2023春•台州期中）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： （1）请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． （2）若一个点的坐标是，描述它的位置． （3）若东门的坐标是，请在图中描出坐标系． （4）若望春亭的坐标是，它是以谁为坐标原点呢？ 17．（2023秋•化州市期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上、两颗棋子的坐标分别为，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出、两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子的坐标为，请在图中画出黑色棋子． 三．坐标与图形性质 · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 18．（2024春•长沙期中）已知轴，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 19．（2024春•武汉期中）已知平面直角坐标系内的不同点，，则下列说法中正确的是　　 A．若点在第一、三象限的角平分线上，则 B．若点在第二、四象限的角平分线上，则 C．若直线平行于轴，则且 D．若直线平行于轴，且，则， 20．（2024•河北模拟）如图，平面直角坐标系中直线轴于点，直线轴于点，点的坐标为，根据图中点的位置判断，下列关系正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 21．（2024春•荔湾区期中）若点，轴，且，则点坐标为　　 A． B．或 C． D．或 22．（2024春•上饶月考）如图，将一个标准的五角星放置在平面直角坐标系中，点恰好在轴上，与轴互相平行，若点的坐标为，则的长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 23．（2024•阳新县一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，且，则点的坐标为　　 A． B． C．或 D．或 24．（2023秋•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为1，则点的坐标为 　　． 25．（2024春•连江县期中）在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上一点，当线段的长度最短时，其长度为 　　． 26．（2024春•西城区校级期中）平面直角坐标系中，从点分别向轴、轴作垂线，两条垂线分别与坐标轴交于点，，与一、三象限角平分线交于，，则记点的长度差为，例如． （1）请直接写出：　　，　　； （2）若点的长度差，则　　； （3）若整点的长度差，且，，则所有满足条件的整点共有 　　个． 27．（2024•宿豫区一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段的最小值是 　　． 28．（2024春•江汉区期中）已知直线轴，点到轴的距离等于7．若点，则点的坐标是 　　． 29．（2024•杭州四模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，分别以，两点为圆心，长为半径作弧，在右侧交于点，若点的纵坐标为3，则点的纵坐标为 　　． 30．（2023秋•芝罘区期末）如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，和的坐标分别是和，点在轴正半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是 　　． 31．（2024•扬州三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，是正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 　　． 32．（2024春•天津期中）已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为 　　时，线段有最小值． 33．（2023春•肇庆期末）如图，已知、、 （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 34．（2023春•灵川县校级期中）已知平面直角坐标系内有一点． （1）当点在轴上时，求点的坐标； （2）当点在第一象限且到轴的距离为3时，求点的坐标； （3）若点在第四象限且到轴的距离是2，求的值． 35．2023年6月30日，兴城西站正式投入使用，方便了广大市民的出行．如图是从北京站始发，途径兴城西站，开往沈阳南站的次列车的部分列车时刻表．请你仔细观察，完成下列问题： （1）兴城西站和海城西站之间的车票一共有 　　种； （2）如图所示，小明用数轴上的点，，，分别表示兴城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中原点表示盘锦站，若点表示的数为，点表示的数为5； ①当点是线段的三等分点（点离点较近），点在线段上时，已知，求线段的长度； ②如果将次列车看作数轴上的一点，动点从点出发，向轴正方向匀速运动，若点是线段的中点，且，求点所表示的数． 36．（2024春•增城区期中）已知平面直角坐标系中一点． （1）当点在轴上时，求出的值； （2）当平行于轴，且，求出点的坐标； （3）当点到两坐标轴的距离相等时，求出点的坐标． 37．（2023秋•嵊州市期末）已知点． （1）当点在轴上时，求的值． （2）当点在第二象限时，求的取值范围． （3）当点到轴的距离是4时，求的值． 38．（2023春•路南区期中）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若到轴的距离为2，求的值； （2）若点的横纵坐标相等，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在坐标系内有一点，使直线轴，且线段，求点的坐标． 39．（2024•开福区校级开学）已知，实数，，满足． （1）求，，的值； （2）如图，在平面直角坐标系中，，都是轴正半轴上的点，，都是轴正半轴上的点（点在上面），，． ①如图（1），若点与重合，，求点的坐标； ②如图（2），若点与不重合，，，求的面积． 40．（2023秋•五华县期中）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点，且直线轴，求线段的长． 41．（2023秋•莲湖区期末）已知平面直角坐标系． （1）在图中描出点，，． （2）写出图中点，的坐标． 四．两点间的距离公式 · 两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 42．（2023秋•泗洪县期末）已知点，点，若轴，则线段的长为 　　． 43．（2024春•安庆期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点 　　的距离之和．（填写点的坐标） （2）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点 　　、点 　　的距离之和．（填写点，的坐标） （3）求出代数式的最小值． 44．（2023春•泸州期中）已知平面内两点，，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． （1）已知点、，试求、两点间的距离； （2）点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离． 五．关于x轴、y轴对称的点的坐标 · 关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 45．（2023秋•洛阳期末）若点的坐标是，点的坐标是，则与满足　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．轴 D．轴 46．（2023秋•沂水县期末）在平面直角坐标系中， 点关于轴对称点的坐标为　 　． 47．（2023秋•金湾区期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　 　． 六．坐标与图形变化−对称 · 坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 48．（2024•梅州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，点关于的对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 49．（2024春•襄都区月考）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴，垂足为，点关于直线的对称点为，连接，，，已知，． （1）点的坐标为 　　； （2）若点，请判断的形状，并说明理由． 七．关于原点对称的点的坐标 · 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 50．（2023秋•于都县期末）如图，在直角坐标系内，已知点． （1）图中点的坐标是 　　； （2）点关于原点对称的点的坐标是 　　；点关于轴对称的点的坐标是 　　； （3）四边形的面积是 　　； （4）在轴上找一点，使．那么点的坐标为 　　． 第3章 位置与坐标 中档题拓展训练【7个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．点的坐标 1．（2023秋•东河区期末）若点在轴上，则点所在象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】先根据的位置确定的值，再求出的坐标，进行求解． 【解答】解：由题意得：， ，， 在第二象限， 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握点与坐标的关系是解题的关键． 2．（2023秋•南岸区期末）在平面直角坐标系中，点，位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据一个数的平方是非负数，得到，从面判断出点位置． 【解答】解：， ， 点在第二象限， 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，关键确定出点坐标中两个数的正负再判断位置． 3．（2023秋•漳州期末）下列各点在第二象限的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】熟知在第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正是解题的关键． 【解答】解：在第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正， 四个选项中，只有选项中的在第二象限， 故选：． 【点评】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知在第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正是解题的关键． 4．（2023秋•衢江区期末）在平面直角坐标系中，点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据坐标系不同象限点坐标的特点判断，第一象限坐标，第二象限坐标，第三象限坐标，第四象限坐标． 【解答】解：点在第四象限， 故选：． 【点评】此题考查了坐标系象限中点的坐标的特点，熟练掌握不同象限点的坐标的特点是解题的关键． 5．（2024春•北辰区期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据轴上点的纵坐标等于0得出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：因为点的坐标为，且点在轴上， 所以， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查的是点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2024•东莞市模拟）在平面直角坐标系中，点在第 　二　象限． 【答案】二． 【分析】直接利用第二象限内的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案． 【解答】解：点的坐标为， 点在第二象限． 故答案为：二． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键． 二．坐标确定位置 7．（2024春•路北区期中）如图，是一个教室平面示意图，我们把嘉嘉的座位“第3列第2排”记为．以下四个座位中，与嘉嘉相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用点的坐标特点得出与嘉嘉相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置． 【解答】解：如图所示：与嘉嘉相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是． 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 8．（2024•岳麓区校级模拟）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据平面内点的平移规律可得， 把“帅”向右平移3个单位，向上平移3个单位得到“马”的位置， “马”的横坐标：， “马”的纵坐标：， 棋子“马”所在的点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握平面内点的坐标平移规律是解题的关键． 9．（2023秋•龙华区期末）如图是某学校的示意图，以办公楼所在位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则教学楼的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系内点的坐标可得答案． 【解答】解：教学楼的坐标是， 故选：． 【点评】本题考查坐标确定位置，根据题意建立平面直角坐标系是解决此题的关键． 10．（2023秋•成都期末）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为轴的正方向，以正北方向为轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是和则食堂的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据食堂的位置在教学楼的左边3格上，则横坐标减3；根据食堂的位置在综合楼的上面4格上，则纵坐标加4，最后得到食堂的坐标． 【解答】解： ， ， 所以食堂的坐标， 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据位置来确定点的坐标． 11．（2023秋•任城区期末）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲的坐标为黑棋（乙的坐标为，则白棋（甲的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用已知两点的坐标画出直角坐标系，然后可写出白棋（甲的坐标． 【解答】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系： 由坐标系知白棋（甲的坐标是， 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征． 12．（2023秋•河源期末）“歼”是我国自主研制的第五代战斗机，属于单座双发隐形战斗机，具备高隐身性、高态势感知、高机动性的特点．如图，小静将一张“歼”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，得出点的坐标即可． 【解答】解：点的坐标为，点的坐标为， 坐标原点在点左侧两个单位处，建立如图所示的平面直角坐标系， 点的坐标为，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据已知点的坐标，建立平面直角坐标系． 13．（2024•泰山区校级二模）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用有序数对表示“炮”的位置，表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】以有序数对表示“炮”的位置，表示“土”的位置，建立平面直角坐标系，然后写出将的坐标即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，将． 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，准确确定出坐标原点是解题的关键． 14．（2023秋•武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是　　 A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬 C．电影院中18座 D．北偏西方向 【答案】$B$ 【分析】根据坐标的定义逐个判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 离小明家3千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故不符合题意， 东经，北纬，能确定位置，故符合题意， 电影院中18座，没说明哪行的，不固定，故不符合题意， 北偏西方向没说明长度及观测点，不固定，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查根据坐标确定物体位置，熟练掌握坐标的确定是关键． 15．（2024•平遥县二模）住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】由题意可在图中作出坐标系，然后问题可求解． 【解答】解：由骑手点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系： 小明家点的坐标为； 故答案为． 【点评】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． 16．（2023春•台州期中）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： （1）请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． （2）若一个点的坐标是，描述它的位置． （3）若东门的坐标是，请在图中描出坐标系． （4）若望春亭的坐标是，它是以谁为坐标原点呢？ 【答案】（1）西门坐标，中心广场坐标为，音乐台坐标为． （2）该点在湖心亭向右1个单位，再向下3个单位的位置． （3）见解答内容． （4）以西门为原点． 【分析】（1）确定坐标系后，根据各象限内点的坐标特征，即第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，，即可作答． （2）根据题意和该点的坐标，即可解答． （3）根据东门的坐标是，先找到原点的位置，即原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，再描出坐标系即可． （4）望春亭的坐标是，所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置． 【解答】解：（1）以公园的湖心亭为原点，即以湖心亭为点即为平面直角坐标系原点， 以正东、正北方向为轴、轴正方向建立平面直角坐标系， 所以根据图片可知，西门在第三象限，其坐标为， 中心广场在第四象限，其坐标为， 音乐台在第一象限，其坐标为． （2）根据题意可知，以湖心亭为点即为平面直角坐标系原点，以正东、正北方向为轴、轴正方向建立平面直角坐标系， 所以一个点的坐标是，则该点在湖心亭向右1个单位，再向下3个单位的位置． （3）若东门的坐标是，原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，据此作图如下： ． （4）因为望春亭的坐标是，所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置， 即这个点为西门． 【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 17．（2023秋•化州市期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上、两颗棋子的坐标分别为，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出、两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子的坐标为，请在图中画出黑色棋子． 【答案】（1）见解答； （2）点的坐标，点的坐标； （3）见解答． 【分析】（1）利用、点坐标画出对应的直角坐标系； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）根据点的坐标作出点的位置即可． 【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系； （2）点的坐标，点的坐标； （3）如图，点即为所求． 【点评】本题考查坐标确定位置，解题关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 三．坐标与图形性质 18．（2024春•长沙期中）已知轴，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可求出的值，进而求出点的坐标． 【解答】解：轴，且点坐标为， ， 解得， ， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 19．（2024春•武汉期中）已知平面直角坐标系内的不同点，，则下列说法中正确的是　　 A．若点在第一、三象限的角平分线上，则 B．若点在第二、四象限的角平分线上，则 C．若直线平行于轴，则且 D．若直线平行于轴，且，则， 【答案】 【分析】根据所给，两点坐标的表达式，结合四个选项中所给条件，依次进行判断即可． 【解答】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， 则点的横纵坐标相等， 所以， 解得． 故选项不符合题意． 当点在第二、四象限的角平分线上时， 则点的横纵坐标互为相反数， 所以， 解得． 故选项不符合题意． 当直线平行于轴时， 则，两点的纵坐标相等， 所以， 解得． 又因为点和点是不同的两点， 所以， 则， 所以且． 故选项符合题意． 当平行于轴时， 则，两点的横坐标相等， 所以， 解得． 又因为， 所以或， 解得或． 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知第一、三和第二、四象限角平分线上点的特征及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 20．（2024•河北模拟）如图，平面直角坐标系中直线轴于点，直线轴于点，点的坐标为，根据图中点的位置判断，下列关系正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先根据已知条件求出直线与直线的交点的坐标，再根据点所处的位置，求出答案即可． 【解答】解：如图所示：线轴于点，直线轴于点， 直线与直线的交点， 点在点的左侧和下方， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查了根据点的位置确定点的坐标，解题关键是熟练掌握各个象限点的坐标特征． 21．（2024春•荔湾区期中）若点，轴，且，则点坐标为　　 A． B．或 C． D．或 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出点的纵坐标，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解． 【解答】解：，轴， 点的纵坐标为6， 点在点的左边时，， 此时点的坐标为， 点在点的右边时，， 此时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，难点在于分情况讨论． 22．（2024春•上饶月考）如图，将一个标准的五角星放置在平面直角坐标系中，点恰好在轴上，与轴互相平行，若点的坐标为，则的长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】 【分析】根据五角星是轴对称图形，根据点坐标，求出点坐标，根据，求出的长即可． 【解答】解：由题意，得：，两点关于轴对称，， 点的坐标为， 点的坐标为， ； 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，解答本题的关键是数形结合的运用． 23．（2024•阳新县一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，且，则点的坐标为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】根据轴，，可得点的纵坐标为3，又知，可以得到点位于左右两边的两个坐标点． 【解答】解：轴，， 点的纵坐标和点的纵坐标相同为3， ， 在直线上可以找到两个到点距离为4的点， 一个在点左边为，一个在点右边为， 点坐标为或， 故选：． 【点评】本题考查了直角坐标系和图形性质，易错点在于只找到一个点，考虑不全面． 24．（2023秋•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为1，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半来加以解答． 【解答】解： 如图：过点作于垂直于轴， ， ， 在中， ， 在中， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，关键根据直角三角形中直角边与斜边的数量关系来解答． 25．（2024春•连江县期中）在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上一点，当线段的长度最短时，其长度为 　5　． 【答案】5． 【分析】根据长度最短可知轴，再结合点坐标即可解决问题． 【解答】解：，点为轴上一点，且长度最短， 轴． 又点到轴的距离为5， 线段的长度为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知点到轴的距离为其纵坐标的绝对值是解题的关键． 26．（2024春•西城区校级期中）平面直角坐标系中，从点分别向轴、轴作垂线，两条垂线分别与坐标轴交于点，，与一、三象限角平分线交于，，则记点的长度差为，例如． （1）请直接写出：　1　，　　； （2）若点的长度差，则　　； （3）若整点的长度差，且，，则所有满足条件的整点共有 　　个． 【答案】（1）1，1；（2）；（3）36． 【分析】（1）先证明出，再根据新定义即可求解； （2）根据新定义得到，分类讨论解方程即可； （3）分类讨论，根据，且，这些范围，列举出所有的情况即可． 【解答】解：（1）如图， 直线是第一、三象限角平分线， ， 点向轴作垂线， ， ， ， ， ， 同理， 故答案为：1，1． （2）由题意得：， 则或 解得或（舍， ， 故答案为：． （3）当点在第一象限及坐标轴时，则，， 由得：， 满足题意得点有，，，，，，， ，，，，，，共12个； 当点在第二象限及坐标轴时，则，， 由得：， 满足题意的点有，，，，，，，，，共9个； 当个点在第三象限及坐标轴时，则， 由得：， 满足题意的点有，，，，，，， ，共9个； 当个点在第四象限及坐标轴时，则， 由得：， 满足题意的有：，，，，，共6个， 共计36个， 故答案为：36． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，两点之间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 27．（2024•宿豫区一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】连接、、、，分别取、、、的中点并连接得到四边形，连接、，根据已知条件可得出四边形为平行四边形， 再根据，得出四边形为矩形，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，，再根据当、、三点共线时，线段取得最小值，最小值为的长度，根据勾股定理得出的长度即可求出答案． 【解答】解：连接、、、，分别取、、、的中点并连接得到四边形，连接、， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， 当、、三点共线时，线段取得最小值，最小值为的长度， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考四边形的应用，转化思想是解题的关键． 28．（2024春•江汉区期中）已知直线轴，点到轴的距离等于7．若点，则点的坐标是 　或　． 【答案】或． 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可得出点的纵坐标，再根据点到轴的距离可得出点的横坐标，进而可解决问题． 【解答】解：因为轴，且， 所以点的纵坐标为． 又因为点到轴的距离等于7， 所以点的横坐标为7或， 所以点的坐标为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征及点到轴的距离是其横坐标的绝对值是解题的关键． 29．（2024•杭州四模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，分别以，两点为圆心，长为半径作弧，在右侧交于点，若点的纵坐标为3，则点的纵坐标为 　　． 【答案】． 【分析】在轴上分别取点和，使得，构造出全等三角形即可解决问题． 【解答】解：在轴上分别取点和，使得， 由题知， 是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ， ． 过点作轴的垂线，垂足为， 在中， ， ， ． 又点的坐标为， ， ． 在中， ， ， 点的纵坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与性质，通过一线三等角构造出全等三角形是解题的关键． 30．（2023秋•芝罘区期末）如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，和的坐标分别是和，点在轴正半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件和平面直角坐标，求出的长度；再根据勾股定理求出的长度；最后根据等腰三角形两腰相等求出的长度．则计算出的长度，即可表示出点的坐标． 【解答】解：和的纵坐标都是1， 平行于轴， ， ， ． 在直角三角形中， ， 又是的平分线， ， ， ． 则， 即点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是根据图形的性质和坐标的特征来解答． 31．（2024•扬州三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，是正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作轴，交的延长线于点，证得，得到，结合，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，求得，进而得到的最小值为． 【解答】解：如图，过点作轴，交的延长线于点， ， ． ， ，， ， 又，， ， ， ， 点在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，根据题意准确找到当、、共线时，的值最小是解题的关键和难点． 32．（2024春•天津期中）已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为 　4　时，线段有最小值． 【答案】4． 【分析】根据点坐标可知点在轴上，再根据取得最小值，结合垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：点坐标为， 点在轴上， 又线段有最小值， 当轴时，取得最小值， 点坐标为， 点的横坐标为4， 即． 故答案为：4． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知垂直于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 33．（2023春•肇庆期末）如图，已知、、 （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）点的纵坐标的绝对值就是点到轴的距离解答； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （3）设点的坐标为，根据的面积为6，、，所以，即，所以或，即可解答． 【解答】解：（1）， ， 点到轴的距离为3； （2）、、 ，点到边的距离为：， 的面积为：． （3）设点的坐标为， 的面积为6，、， ， ， 或， 点的坐标为或． 【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想． 34．（2023春•灵川县校级期中）已知平面直角坐标系内有一点． （1）当点在轴上时，求点的坐标； （2）当点在第一象限且到轴的距离为3时，求点的坐标； （3）若点在第四象限且到轴的距离是2，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据点在轴上得到纵坐标为零，列式求解即可； （2）点到轴的距离为3，即横坐标的绝对值为3列式求出，再根据点在第一象限取舍，继而得到结果； （3）点到轴的距离为2，即纵坐标的绝对值为2列式求出，再根据点在第四象限取舍，继而代入计算即可． 【解答】解：（1）点在轴上， ， ， ； （2）点到轴的距离为3， ， 解得：或， 或， 点在第一象限， ； （3）点到轴的距离是2， ， 解得：或， 或， 点在第四象限， ，， ． 【点评】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键． 35．2023年6月30日，兴城西站正式投入使用，方便了广大市民的出行．如图是从北京站始发，途径兴城西站，开往沈阳南站的次列车的部分列车时刻表．请你仔细观察，完成下列问题： （1）兴城西站和海城西站之间的车票一共有 　12　种； （2）如图所示，小明用数轴上的点，，，分别表示兴城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中原点表示盘锦站，若点表示的数为，点表示的数为5； ①当点是线段的三等分点（点离点较近），点在线段上时，已知，求线段的长度； ②如果将次列车看作数轴上的一点，动点从点出发，向轴正方向匀速运动，若点是线段的中点，且，求点所表示的数． 【答案】（1）12；（2）①；②点表示的数为或11． 【分析】（1）兴城西站到海城西有3种车票，凌海南到海城西2种车票，盘锦到海城1种车票，往返票再乘2即可； （2）①点表示的数为，点表示的数为5，，，，，，则； ②点是线段的中点，，，设点表示的数为，在的左侧时，根据题意得：，解得；在的右侧侧时，根据题意得：，解得． 【解答】解：（1）兴城西站到海城西有3种车票，凌海南到海城西2种车票，盘锦到海城1种车票， 兴城西站和海城西站之间的车票一共有：， 故答案为：12； （2）①点表示的数为，点表示的数为5， ， 点是线段的三等分点， ， ， ， ， ； ②点是线段的中点，， ， 设点表示的数为，在的左侧时，根据题意得：，解得； 在的右侧侧时，根据题意得：，解得， 综上所述，点表示的数为或11． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握数轴上两点之间的距离计算是解答本题的关键． 36．（2024春•增城区期中）已知平面直角坐标系中一点． （1）当点在轴上时，求出的值； （2）当平行于轴，且，求出点的坐标； （3）当点到两坐标轴的距离相等时，求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）点的坐标为或． 【分析】（1）根据轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据到两坐标轴距离相等的点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：（1）因为点在轴上， 所以， 解得． （2）因为平行于轴， 所以直线上所有点的纵坐标相等． 又因为点的坐标为， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． （3）因为点到两坐标轴的距离相等， 所以或． 当时， 解得， 所以． 此时点的坐标为． 当时， 解得， 所以，． 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知坐标轴及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 37．（2023秋•嵊州市期末）已知点． （1）当点在轴上时，求的值． （2）当点在第二象限时，求的取值范围． （3）当点到轴的距离是4时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或6． 【分析】（1）根据在轴上的点纵坐标是0，可得，求出的值即可； （2）根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）根据到轴的距离是横坐标的绝对值得到或，即可得到答案． 【解答】解：（1）当点在轴上时， ， 解得， 即的值为； （2）点在第二象限时， ， 解得； 即的取值范围为； （3）当点到轴的距离是4时， 则或， 或6． 【点评】此题考查坐标轴上及各象限内点的特征、点到坐标轴的距离等知识，熟练掌握平面直角坐标系的特征是解题的关键． 38．（2023春•路南区期中）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若到轴的距离为2，求的值； （2）若点的横纵坐标相等，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在坐标系内有一点，使直线轴，且线段，求点的坐标． 【答案】（1）或； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据题意得到，解方程即可求解； （2）根据题意得到，解方程即可求解； （3）根据过点且与轴垂直的直线为，即可求解． 【解答】解：（1）点到轴的距离为2， ， 或； （2）点的横纵坐标相等， ， ， ； （3）过点且与轴垂直的直线为， ， 或． 【点评】此题考查了点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的点的坐标特点，解一元一次方程，正确理解坐标与图形的关系是解题的关键． 39．（2024•开福区校级开学）已知，实数，，满足． （1）求，，的值； （2）如图，在平面直角坐标系中，，都是轴正半轴上的点，，都是轴正半轴上的点（点在上面），，． ①如图（1），若点与重合，，求点的坐标； ②如图（2），若点与不重合，，，求的面积． 【答案】（1），，． （2）①，②4． 【分析】（1）依据题意，由，从而，，，进而计算可以得解； （2）①依据题意，由，，，从而，再设，可得，又过点作于，的反向延长线交轴于点，，可得，进而可得，从而，又，则，最后可得，进而可以得解． ②依据题意，过作于，并延长交轴于点，又，，从而，故，再证得，从而．又，结合，，可得，故，此时设，又，借助得方程，求出，故可得计算得解． 【解答】解：（1）． ，，， 解得：，，． （2）①，，， ． 设， ， ． ． ． 如图，过点作于，的反向延长线交轴于点． ， ． ． 又由题意，， ． ． ． 又， ． 又， ． ． ②如图，过作于，并延长交轴于点． ，， ． ． ，， ． 又， ． ． ，，， ． ，， ． ． 设， 又， ， ． ． ，即． ． 【点评】本题主要考查了配方法的应用、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 40．（2023秋•五华县期中）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点，且直线轴，求线段的长． 【答案】（1）；（2）6． 【分析】（1）根据点在轴上，得到求的值即可． （2）根据点，且直线轴，得到，求线段的长． 【解答】解：（1）点在轴上， ， 解得． （2）点，且直线轴， ， 解得． 故， 线段的长为． 【点评】本题考查了点的坐标的特点，根据特点，列式计算是关键． 41．（2023秋•莲湖区期末）已知平面直角坐标系． （1）在图中描出点，，． （2）写出图中点，的坐标． 【答案】（1）图形见解析过程； （2）点坐标为，点坐标为． 【分析】（1）按要求在平面直角坐标系中描出点，，即可． （2）由所给平面直角坐标系即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示，点，，即为所求作的点， （2）由所给平面直角坐标系可知， 点坐标为，点坐标为． 【点评】本题考查坐标与图形性质，能在平面直角坐标系中描出给定坐标的点及由给定的点求其坐标是解题的关键． 四．两点间的距离公式 42．（2023秋•泗洪县期末）已知点，点，若轴，则线段的长为 　4　． 【答案】4． 【分析】根据平行于轴的直线上点的特征可得点与点的纵坐标相等，求得，，即可求解． 【解答】解：， 点与点的纵坐标相等， ， 解得：， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，点的坐标特征，熟练运用平行于轴的直线上点的特征求得点的坐标是解题的关键． 43．（2024春•安庆期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点 　或　的距离之和．（填写点的坐标） （2）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点 　　、点 　　的距离之和．（填写点，的坐标） （3）求出代数式的最小值． 【答案】（1），； （2），； （3）10． 【分析】（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【解答】解：（1）原式化为的形式， 代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点或的距离之和， 故答案为：，； （2）原式化为的形式， 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， 故答案为：，． （3）如图所示：设点关于轴的对称点为，则， 的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线段距离最短， 的最小值为线段的长度， ， ，，， ， 代数式的最小值为10． 【点评】题属于几何变换综合题，考查的是轴对称最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． 44．（2023春•泸州期中）已知平面内两点，，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． （1）已知点、，试求、两点间的距离； （2）点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离． 【答案】（1）、两点间的距离为13； （2）、两点间的距离为6． 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得； （2）因为点在第一三象限角平分线上，所以，解得的值，可得点坐标，因为轴，所以、两点间的距离，可得、两点间的距离． 【解答】解：（1）， 答：、两点间的距离为13； （2）点在第一三象限角平分线上， ， 解得：， ， 轴， ， 答：、两点间的距离为6． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，关键是掌握并运用两点间的距离公式． 五．关于x轴、y轴对称的点的坐标 45．（2023秋•洛阳期末）若点的坐标是，点的坐标是，则与满足　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．轴 D．轴 【答案】 【分析】根据两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可知两点关于轴对称即可． 【解答】解：点的坐标是，点的坐标是， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 这两个点关于轴对称， 故选：． 【点评】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键． 46．（2023秋•沂水县期末）在平面直角坐标系中， 点关于轴对称点的坐标为　　． 【分析】根据关于轴对称的点， 纵坐标相同， 横坐标互为相反数， 可得答案 ． 【解答】解： 点关于轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了关于轴的对称的点的坐标， 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： 关于轴对称的点， 横坐标相同， 纵坐标互为相反数；关于轴对称的点， 纵坐标相同， 横坐标互为相反数；关于原点对称的点， 横坐标与纵坐标都互为相反数 ． 47．（2023秋•金湾区期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　． 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：由点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 六．坐标与图形变化−对称 48．（2024•梅州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，点关于的对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点和点关于点对称，得出它们横纵坐标之间的关系，结合点和点的坐标即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点和点关于点对称， ． 又点坐标为，点坐标为， ，， 则点的坐标诶． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形变化对称，能根据点和点关于点对称，得出它们横纵坐标之间的关系是解题的关键． 49．（2024春•襄都区月考）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴，垂足为，点关于直线的对称点为，连接，，，已知，． （1）点的坐标为 　　； （2）若点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）为等腰直角三角形．理由见解析． 【分析】（1）根据，即可求出点的坐标； （2）设直线与交于点．由轴对称的性质得，求出点的坐标为，可得，从而，然后求出，可证为等腰直角三角形． 【解答】解：（1）轴，，， 点的坐标为． 故答案为：； （2）为等腰直角三角形． 理由：如图．设直线与交于点． 点关于直线的对称点为， ，． ． 点的坐标为， 点的坐标为， ， ． ． ， ． 为等腰直角三角形． 【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形的性质，以及等腰三角形的判定与性质． 七．关于原点对称的点的坐标 50．（2023秋•于都县期末）如图，在直角坐标系内，已知点． （1）图中点的坐标是 　　； （2）点关于原点对称的点的坐标是 　　；点关于轴对称的点的坐标是 　　； （3）四边形的面积是 　　； （4）在轴上找一点，使．那么点的坐标为 　　． 【答案】（1）； （2），； （3）8； （4）或． 【分析】（1）根据坐标的意义即可得出点的坐标； （2）根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点关于原点对称的点的坐标，同理根据关于轴对称的两个点坐标之间的关系得出点关于对称点的坐标； （3）平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，根据坐标可求出三角形的面积； （4）三角形的面积等于平行四边形面积的一半，也等于三角形的面积，根据面积公式求出的长即可． 【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足所对应的数为，因此点的横坐标为， 过点作轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点的纵坐标为4， 所以点； 故答案为：； （2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数， 所以点关于原点对称点， 由于关于轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变， 所以点关于轴对称点， 故答案为：，； （3）， 故答案为：8； （4）设点的坐标为， 因为， 所以， 解得或1， 所以点或， 故答案为：或． 【点评】本题考查点的坐标，关于轴、轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$