第23节 圆的有关性质及相关计算（word练习）-【卓文中考·加速度】2024年内蒙古中考数学复习

第23节　圆的有关性质及相关计算 命题点1：圆周角定理及其推论的相关计算 1.[2022包头，7]如图，AB，CD是☉O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE.若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（　　） 第1题图 A.22°　 B.32°　 C.34°　 D.44° 2.[2022呼和浩特，20]如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE. 第2题图 （1）求证：BD＝CD； （2）若tan C＝，BD＝4，求AE. 命题点2：三角形的外接圆 3.[2023包头，9]如图，☉O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　:　） 第3题图 A.8　 B.4　 C.3.5　 D.3 4.[2023呼和浩特，14]如图，△ABC内接于☉O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD.若AB＝5，AC＝4，则BD＝　，CD＝　. 第4题图 命题点3：圆内接四边形 5.[2023赤峰，10]如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是（　:　） 第5题图 A.25°　 B.30°　 C.35°　　 D.40° 6.[2021包头，24]如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的☉O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF. 第6题图 （1）求证：∠GAD＋∠EDF＝180°； （2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长. 7.[2023包头，22]如图，AB是☉O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP. 第7题图 （1）多解设问求证：∠ADC－∠BAC＝90°；（请用两种证法解答） （2）若∠ACP＝∠ADC，☉O的半径为3，CP＝4，求AP的长. 命题点4：圆内接正多边形 8.数学文化[2021呼和浩特，8]如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形， 第8题图 则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（　　） A.d＝，π≈8sin 22.5° B.d＝，π≈4sin 22.5° C.d＝，π≈8sin 22.5° D.d＝，π≈4sin 22.5° 1.如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E.若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　） 第1题图 A.21.9°＜α＜22.3° B.22.3°＜α＜22.7° C.22.7°＜α＜23.1° D.23.1°＜α＜23.5° 2.如图①，在☉O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2 cm，BE＝6 cm，DE＝3 cm，则CE＝　 　cm；学以致用：如图②，点P是直径为10的☉Q中的一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于　　. 第2题图 学科网（北京）股份有限公司 第23节　圆的有关性质及相关计算 【中考真题分点练】 1.C 2.（1）证明：如答图，连接AD. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝CD. （2）解：∵CD＝BD＝4，∴CB＝BD＋CD＝8. 在Rt△ADC中，tan C＝， ∴AD＝CD·tan C＝4×＝2， ∴AC＝＝＝2. ∵AB是☉O的直径， ∴∠AEB＝90°. ∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CDA∽△CEB，∴＝， ∴＝，∴CE＝， ∴AE＝CE－AC＝， ∴AE的长为. 第2题答图 3.B 4.　　【解析】∵△ABC内接于☉O且∠ACB＝90°，∴AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC＋∠DBC＝180°，∵弦CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝5，AC＝4，∴CB＝3，AD＝BD＝，∴如答图，把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBE，∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，∴∠DBC＋∠DBE＝180°，∴C，B，E三点共线，∴△DCE为等腰直角三角形，∴CE＝AC＋BC＝7，∴CD＝DE＝. 第4题答图 5.A 6.（1）证明：∵FG⊥AB， ∴∠AGF＋∠GAE＝90°. ∵AD为☉O的直径， ∴∠ADF＋∠FAD＝90°. 又∵∠AGF＝∠ADF， ∴∠GAE＝∠FAD， ∴∠GAE＋∠DAE＝∠FAD＋∠DAE， 即∠GAD＝∠EAF. ∵四边形AEDF是圆的内接四边形， ∴∠EAF＋∠EDF＝180°， ∴∠GAD＋∠EDF＝180°. （2）解：如答图，连接OF. ∵AD是☉O的直径，且AD是△ABC的高，FG⊥AB， ∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴＝. 第6题答图 ∵tan∠ABC＝＝2， ∴＝2. ∵∠ACB＝45°， ∴∠DAC＝∠ADF＝45°， 又∵OA＝OF， ∴∠AFO＝∠OAF＝45°， ∴∠AOF＝90°. ∵在Rt△AHM与Rt△FOM中，∠AMH＝∠FMO， ∴△AHM∽△FOM， ∴＝＝2. ∵AD＝4， ∴FO＝OA＝2， ∴OM＝1，AM＝OA－OM＝1. 设HM＝x，则AH＝2x， 在Rt△AHM中，AH2＋HM2＝AM2， 即（2x）2＋x2＝1， 解得x1＝，x2＝－（舍去）， ∴AH＝. 在Rt△AOF中， ∵OF＝OA＝2， ∴AF＝2. 在Rt△AHF中，AH2＋HF2＝AF2， 即＋HF2＝（2）2， 解得HF＝（负值已舍去）， ∴HF的长为. 7.（1）证明：方法一：如答图①，连接BD， ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC， ∴∠ADC－∠BAC＝90°. 方法二：如答图②，连接BC， ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB， ∴∠PBC－∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD为☉O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∵∠PBC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠PBC， ∴∠ADC－∠BAC＝90°. （2）解：由答图②可得∠ADC＝∠PBC， ∵∠ACP＝∠ADC， ∴∠PBC＝∠ACP， 即∠PBC＝∠PCA， ∵∠BPC＝∠CPA， ∴△PBC∽△PCA，∴＝， ∴PC2＝PA·PB， ∵☉O的半径为3， ∴AB＝6，∴PA＝PB＋6， ∵CP＝4，∴42＝（PB＋6）·PB， 解得PB＝2或PB＝－8（舍去）， ∴AP＝2＋6＝8. 第7题答图 8.C　【解析】如答图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥CD于点P，则PC＝PD，且∠COP＝22.5°.设正八边形的边长为a，已知正方形边长为4，则a＋2×a＝4，解得a＝4（－1），∴PC＝2（－1）.在Rt△OCP中，OC＝＝，∴d＝2OC＝.由πd≈8CD，得π≈8×4（－1），∴π≈8sin 22.5°.故选C. 第8题答图 【核心素养创新练】 1.B　2.4　21 学科网（北京）股份有限公司 $$