第13节 二次函数的图象与性质（word练习）-【卓文中考·加速度】2024年内蒙古中考数学复习

第13节　二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象与性质 1.[2023通辽，12]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论： ①abc＜0；②a＋b＋c＞0；③2b＋3c＜0；④不等式ax2＋bx＋c＜－x＋c的解集为0＜x＜2.其中正确结论的个数是（　　） 第1题图 　　　　 　　　　 　　　　 A.1　 B.2　 C.3　　 D.4 2.一题多解法[2021呼和浩特，10]已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数）.若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（　 ）　　　　 　　　　 　　　　 A.0＜ab＜ B.0＜ab＜ C.0＜ab＜ D.0＜ab＜ 3.[2023呼和浩特，10]关于x的二次函数y＝mx2－6mx－5（m≠0）的结论： ①对于任意实数a，都有x1＝3＋a对应的函数值与x2＝3－a对应的函数值相等. ②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，－13），则当x1＞x2＞时，＜0. ③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则－＜m≤－或≤m＜. ④当m＞0且n≤x≤3时，－14≤y≤n2＋1，则n＝1. 其中正确的结论有（　　） A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 4.[2023包头，14]已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为　　. 5.多解题[2022呼和浩特，16]在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（－1，－1）和（4，－1），抛物线y＝mx2－2mx＋2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是　　. 6.多解题[2023赤峰，18]如图，抛物线y＝x2－6x＋5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 　　　　　. 第6题图 7.[2021呼和浩特，24]已知抛物线y＝ax2＋kx＋h（a＞0）. （1）通过配方可以将其化成顶点式为　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴　　（填上方或下方），即4ah－k2　　0（填“＞”或“＜”）时，该抛物线与x轴必有两个交点； （2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A，B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）； （3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a＋c）（a＋b＋c）＜0时，（b－c）2＞4a（a＋b＋c）. 命题点2 二次函数与方程、不等式的关系 8.[2023呼和浩特，24]探究函数y＝－2｜x｜2＋4｜x｜的图象和性质，探究过程如下： 第8题图 （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … － －2 － －1 － 0 1 2 … y … － 0 m 0 2 0 － … 其中，m＝　　.根据如表数据，在图①所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质； （2）点F是函数y＝－2｜x｜2＋4｜x｜图象上的一动点，点A（2，0），点B（－2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标； （3）在图②中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝－2x2＋4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点.当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 第13节　二次函数的图象与性质 【中考真题分点练】 1.C　【解析】∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正确.∵当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，∴②错误.∵抛物线过点（2，0），∴4a＋2b＋c＝0，∴b＝－2a－，a＝－b－c，∵a＋b＋c＜0，∴a－2a－＋c＜0，∴2a－c＞0，∴－b－c－c＞0，∴－2b－3c＞0，∴2b＋3c＜0，∴③正确.如答图，设y1＝ax2＋bx＋c，y2＝－x＋c，由图可知，当y1＜y2时，0＜x＜2，∴④正确.故选C. 第1题答图 2.C　【解析】解法1：由题意知，该二次函数图象的开口向上，开口大小一定，且抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），0＜m＜n＜2，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵（a－b）2＝a2＋b2－2ab≥0（a＝b时取等号），即a2＋b2≥2ab（当a＝b时取等号），∴当a＝b时，ab最大，∵抛物线过A（0，b），B（3，a）两点，∴当a＝b时，点A，B关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x＝1.5，∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，当抛物线与x轴只有一个交点时，此时m＝n＝，∴抛物线的解析式为y＝＝x2－3x＋，∴a＝b＝，∴ab＜＝，∴0＜ab＜.故选C. 解法2：∵二次函数的二次项系数为1，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），∴可设交点式y＝（x－m）（x－n），分别代入（0，b），（3，a），∴ab＝mn（3－m）（3－n）＝（3m－m2）（3n－n2）＝[－＋][－＋].∵0＜m＜n＜2，∴0＜－（m－）2＋≤，0＜－（n－）2＋≤，∵m＜n，∴ab不能取，∴0＜ab＜.故选C. 3.B　【解析】①二次函数y＝mx2－6mx－5的对称轴为x＝－＝3，∵x1＝3＋a和x2＝3－a关于直线x＝3对称，∴对于任意实数a，都有x1＝3＋a对应的函数值与x2＝3－a对应的函数值相等，∴①符合题意；②将点C（2，－13）代入y＝mx2－6mx－5，得－13＝4m－12m－5，解得m＝1.∴函数的解析式为y＝x2－6x－5，当x＞3时，y随x的增大而增大.∴当x1＞x2＞时，y1＞y2，∴＞0.∴②不符合题意；③∵y＝mx2－6mx－5＝m（x－3）2－5－9m，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝3时，y＝－5－9m，当x＝6时，y＝－5，∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，则－9＜－5－9m≤－8，∴≤m＜；若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，则－2≤－5－9m＜－1，∴－＜m≤－，∴－＜m≤－或≤m＜.∴③符合题意；④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，∵－14≤y≤n2＋1，∴－5－9m＝－14，解得m＝1，∴n2－6n－5＝n2＋1，解得n＝－1，∴④不符合题意.综上所述，正确结论有①③，共2个.故选B. 4.2 5.m＝3或－1＜m≤－　【解析】由题意得抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，当x＝0时，代入得y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2－m），直线CD的表达式为y＝－1，当m＞0且抛物线过点D（4，－1）时，16m－8m＋2＝－1，解得m＝－（不符合题意，舍去）；当抛物线经过点（－1，－1）时，m＋2m＋2＝－1，解得m＝－1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2－m＝－1，解得m＝3；当m＜0且抛物线过点D（4，－1）时，16m－8m＋2＝－1，解得m＝－；当抛物线经过点（－1，－1）时，m＋2m＋2＝－1，解得m＝－1.综上所述，m的取值范围为m＝3或－1＜m≤－. 6.（，）或（，－）　【解析】如答图①，根据D点坐标，得m＝22－6×2＋5＝－3，∴D点坐标（2，－3），设BC所在直线解析式为y＝kx＋b，其过点C（0，5），B（5，0）， 解得∴BC所在直线的解析式为y＝－x＋5，当E点在线段BC上时，设E（a，－a＋5），∵∠DEB＝∠DCE＋∠CDE，且∠DEB＝2∠DCB，∴∠DCE＝∠CDE，∴CE＝DE，∵E（a，－a＋5），C（0，5），D（2，－3），∴＝，解得a＝，－a＋5＝，∴E点的坐标为（，），当点E在CB的延长线上时，在△BDC中，∵BD2＝（5－2）2＋32＝18，BC2＝52＋52＝50，DC2＝（5＋3）2＋22＝68，∴BD2＋BC2＝DC2，∴BD⊥BC.如答图②，延长EB至点E'，取BE'＝BE，则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'，∴∠DEE'＝∠DE'E，又∵∠DEB＝2∠DCB，∴∠DE'E＝2∠DCB，则E'为符合题意的点.∵OC＝OB，∴∠OBC＝45°，E'的横坐标为5＋（5－）＝，纵坐标为－.综上E点的坐标为（，）或（，－）. 第6题答图 7.解：（1）y＝a＋　下方　＜ （2）由题意得a＞0，∴该抛物线开口向上.设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标，则A，B两点的位置可能有以下三种情况： 当A，B两点都在对称轴左侧时，如答图①， ∵a＞0，∴在对称轴左侧时，函数值随x的增大而减小， 又∵x1＜x2，∴点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方， ∴抛物线顶点必在x轴下方. 当A，B两点都在对称轴右侧时，如答图②， ∵a＞0，∴在对称轴右侧时，函数值随x的增大而增大. 又∵x1＜x2，∴点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方， ∴抛物线的顶点必在x轴下方. 当A，B在对称轴两侧时，由于A，B两点分布在x轴两侧， ∴不论A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，如答图③，当点A，B在对称轴两侧时，此时过对称轴作点A的对称点，即为点A'，此时易得点M在x轴下方.同理可证答图④.综上所述，当点A，B分布在x轴两侧时，抛物线顶点必在x轴下方. （3）证明：令抛物线y＝ax2＋（b－c）x＋（a＋b＋c），a＞0， 当x1＝0时，y1＝a＋b＋c； 当x2＝－1时，y2＝2（a＋c）. 而（a＋c）（a＋b＋c）＜0，∴y1·y2＜0. ∴抛物线y＝ax2＋（b－c）x＋（a＋b＋c）上存在两点（－1，2a＋2c），（0，a＋b＋c）分别位于x轴两侧， ∴由（1）（2）可知，抛物线y＝ax2＋（b－c）x＋（a＋b＋c）顶点在x轴下方，即＜0. 又∵a＞0，∴4a（a＋b＋c）－（b－c）2＜0， 即（b－c）2＞4a（a＋b＋c）. 第7题答图 8.解：（1）m＝2；函数图象如答图①；由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜－1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当－1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小. （2）当x＜0时，y＝－2x2－4x， 当x≥0时，y＝－2x2＋4x， ∵A（2，0），B（－2，0），∴AB＝4， ∵S△FAB＝3，∴×4｜yF｜＝3，∴yF＝±， 当yF＝时，若x＜0，则－2x2－4x＝， 解得x＝－或－， 若x≥0，则－2x2＋4x＝，解得x＝或， ∴F（－，）或（－，）或（，）或（，）； 当yF＝－时，若x＜0，则－2x2－4x＝－， 解得x＝－1－或x＝－1＋（舍去）， 若x≥0，则－2x2＋4x＝－， 解得x＝1－（舍去）或x＝1＋， ∴F（－1－，－）或（1＋，－）. 综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（－，）或（－，）或（，）或（，）或（－1－，－）或（1＋，－）. 第8题答图 （3）PM与PN的和是定值. 如答图②，连接直线PQ，∵抛物线y＝－2x2＋4x交x轴于O，A两点，∴O（0，0），A（2，0）， ∵y＝－2x2＋4x＝－2（x－1）2＋2， ∴抛物线y＝－2x2＋4x的顶点为（1，2）， ∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，∴点P的坐标为（1，4），由点P，O的坐标可得，直线OP的表达式为y＝4x①， 同理可得，直线AP的表达式为y＝－4x＋8②， 设直线l的表达式为y＝tx＋n（t≠0）， 联立y＝tx＋n和y＝－2x2＋4x； 整理得2x2＋（t－4）x＋n＝0， ∵直线l与抛物线只有一个公共点， ∴Δ＝（t－4）2－8n＝0，解得n＝（t－4）2， ∴直线l的表达式为y＝tx＋（t－4）2③， 联立①③并解得xM＝－（t－4）， 同理可得xN＝－（t－12）， ∵射线PO，PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α， 则sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sin α， ∴PM＋PN＝＋＝（xN－xM）＝为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$