精品解析：广东省揭阳市普宁市普师高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期中考试试卷 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 2. 已知命题，则（ ） A. B. C. D. 时，为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】命题， 故，所以A选项和C选项错误，B选项正确； 当时，方程 的，所以方程有解， 为假命题，故D选项错误. 故选：B 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 4. 在中，角的对边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 设，，，所以. 故选：A 5. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得. 【详解】由向量，，两两的夹角相等，得或， 当时，， 当时， . 故选：C 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且, 则青铜器的体积为， 故选：D 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的等式可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，，得， 因此，则， 当且仅当，即时取等号，由，解得， 所以当时，取得最小值. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助垂直定义计算数量积即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：与向量平行的单位向量有、；对D：借助投影向量公式计算即可得. 【详解】对A：，，所以，故A正确； 对B：，所以，故B正确； 对C：，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对D：向量在向量上的投影向量为， 故D正确． 故选：ABD． 10. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象的对称轴为直线 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的部分图象求出、和、的值，写出的解析式，利用图象平移得出的解析式，再逐项判断即可. 【详解】由函数的部分图象知，，且， 所以，解得，又， 所以，即，，解得，， 又，所以，所以. 将函数的图象向左平移个单位长度后， 得的图象， 所以，不满足，所以不是奇函数，A错误； 的最小正周期为，B正确； 令，解得，， 所以图象的对称轴为直线，，C错误； 令，解得，， 所以的单调递增区间为，D正确. 故选：BD. 11. 如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解． 【详解】解：对于A，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则， 所以、、、四点共面， 同理可证，即、、、四点共面， 平面，故A错误； 对于B，如图所示，为正方体的一个顶点，则，， 平面，平面，所以平面，同理可证平面 又，、平面， 平面平面， 又平面， 平面，故B正确； 选项C，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面， 平面， 平面，故C正确； 对于D，连接，则， ，，，四点共面， 平面，与平面相矛盾，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求，结合向量共线的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：， 若B，C，D三点共线，可知， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知函数（且）的图象恒过定点M，则点M的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． 【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． 故答案为： 14. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 【答案】38.3 【解析】 【分析】设，则，在中利用正弦定理求解即可. 【详解】设，在中，，则， 在中，由正弦定理得，所以， 结合，，解得.所以泉标的高度约为38.3米. 故答案为：38.3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、结合同角的三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）根据同角三角函数关系式中的平方和关系、商关系进行求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由，显然， . 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量平行关系和模长公式得到方程组，求出或； （2）根据向量垂直关系得到方程，求出，进而利用夹角余弦公式得到夹角. 【小问1详解】 设，根据，可得， 又，解得或， 当时，，当时，， 故或； 【小问2详解】 ， ，故，即， 故， ，故， 故与的夹角. 17. 在中，设角所对的边长分别为，且． （1）求角； （2）若的面积，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和三角函数值与角的关系可求出； （2）由三角形的面积公式得到，再由余弦定理求出，最后再利用正弦定理求出外接圆半径，求得最后结果. 【小问1详解】 因为，整理得 又由余弦定理得，所以，即 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得，因为的面积，所以，所以， 由于，所以， 又由余弦定理：，所以． 所以， 所以由正弦定理得，所以． 18. 在正方体中，分别是和的中点，求证 （1） （2）平面． （3）平面平面． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理进行证明即可； （2）利用线面平行的判定定理进行证明即可； （3）利用平行四边形的判定定理和性质，结合面面平行的判定定理进行证明即可. 【小问1详解】 连接， 因为底面是正方形，且点是中点， 所以，即点也是中点， 又因为点是中点， 所以由三角形中位线定理可得； 【小问2详解】 由（1），因为平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 连接， 因为分别是和的中点， 所以由正方体的性质可知：， 所以四边形是平行四边形，所以有，而， 所以，因为平面，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面. 19. 已知函数． （1）若的解集为或，求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据不等式与方程的关系，结合根的定义，可得答案； （2）根据一元二次不等式的解法，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知：的根为或，且， 将代入方程，解得. 【小问2详解】 由题意可得，分解因式可得， 当时，化简可得，不等式解集为； 当时，由方程，解得或， 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为. 综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中考试试卷 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知命题，则（ ） A. B. C. D. 时，为真命题 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或5 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象的对称轴为直线 D. 函数的单调递增区间为 11. 如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______． 13. 已知函数（且）的图象恒过定点M，则点M的坐标为______． 14. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 17. 在中，设角所对的边长分别为，且． （1）求角； （2）若的面积，，求的值． 18. 在正方体中，分别是和的中点，求证 （1） （2）平面． （3）平面平面． 19. 已知函数． （1）若的解集为或，求的值； （2）求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $