精品解析：重庆市巴南区重庆市实验中学教育集团2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

K12重庆市2023-2024学年下期第二阶段质量检测八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各选项中，是二次根式的是（ ） A 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．本题考查了二次根式的定义，形如叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义． 【详解】A、10不是二次根式；故本选项不符合题意； B、不是二次根式；故本选项不符合题意； C、不是二次根式；故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，之间的距离是， 故选：． 3. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】原式先计算出，确定出，即可估算出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键． 4. 已知a，b，c分别为的三条边，满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴最大角， ∴不能构成直角三角形， 故C符合题意； D、∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意； B、对角线相等且平分的四边形是矩形，选项错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，选项错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形判定方法．熟练掌握相关图形的判定方法，是解题的关键． 6. 一次函数y＝x﹣1的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据函数图像的性质解决即可. 解析： 的图像经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限. 故选B. 7. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B. 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，数形结合逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意； B、由图可知，小车1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意； C、小车前3小时共行驶，故小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时，选项正确，不符合题意； D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 分为两种情况：斜边是有一条直角边是， 由勾股定理得：第三边长是； 和都是直角边， 由勾股定理得：第三边长是； 即第三边长是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是( ) ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF; A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确； ②延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴FC=EF，故②正确； ③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误； ④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确． 故选C． 点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题的关键． 10. 对五个正整数，，，，，其中，，是三个连续偶数且，同时，是两个连续奇数且，令，那么以下几个结论正确的有（ ）个 ①当时，这五个正整数可以是，，，，； ②无论，取何值，一定能被整除； ③一共有种不同的取值组合使得 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，整式的加减，解题的关键是掌握连续奇数、连续偶数的特点，然后结合所给的条件进行分析即可． 【详解】解：①∵，，，，是正整数，其中，，是三个连续偶数且， ∴当时，，， ∵，是两个连续奇数且， ∴，或，或，或，，…， ∴当时，这五个正整数可以是，，，，，故结论①正确； ②当，，则，，， ∴ ， 此时不能被整除，故结论②不正确； ③设，，则，，， ∴ ， 当时，得：， ∴， ∵，，是三个连续偶数且，，是两个连续奇数且， ∴当时，，则可为，，，，共种组合； 当时，，则n可为，，共种组合； 当时，，则n可为，共种组合． 综上所述，一共有种不同的取值组合使得，故③结论不正确， ∴结论正确的有个． 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 如图，已知，数轴上点对应的数是______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出OB的长度，再根据OA=OB即可得到OA的长度，从而得到A对应的数． 详解】由勾股定理得， ∵， ∴， ∴数轴上点对应的数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理及数轴上的点所对应的实数，解题的关键是掌握勾股定理． 13. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象,正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为， 将代入得 解得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ax+b（a、b为常数且a≠0）和直线l2：y＝mx+n（m、n为常数且m≠0）相交于点A，若点A的坐标是(4，5)，则关于x、y的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像及一次函数与方程组的关系可直接进行求解． 【详解】解：由题意及图像可得： 关于x、y的二元一次方程组的解为直线l1与直线l2的交点坐标，即； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与方程组的关系是解题的关键． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的性质，易得及的度数，然后利用含角的直角三角形的性质，求出的长，进而求得的面积，从而求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， ， 菱形的面积=． 故答案为：． 16. 如图，的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理等知识，根据平行四边形的性质求出，，证明是直角三角形， ，再求出，最后根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴ 故答案为： 17. 如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质；首先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质得出，证明，根据，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由翻折性质可知：，， ， 是等边三角形， ， ，，则 ,， ， 故答案为：6． 18. 已知一次函数与，轴分别交于、两点，若满足，且使得关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，分式方程的根．先根据一次函数图像上点的坐标特征求出、的值，求出的取值范围，然后把分式方程化成整式方程后求出含字母系数的解，根据解为正整数进行分类讨论求出所有符合条件的的值，再求出和即可．掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与，轴分别交于、两点， ∴，， ∴，， ∴， 分式方程两边同乘以，得： ， 解得：， 当时，， 当时，， 当时，， 此时，则是分式方程的增根，舍去， 当时，， ∴在范围内，当，，时，分式方程有正整数根， 此时， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，其中第19题8分，第20-26题每小题10分，共76分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据零指数幂，立方根和绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算； （2）根据二次根式的乘法、除法，绝对值的意义将原式化简，再合并即可． 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，中，对角线，相交于点，于点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作垂线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）小明经过观察发现，当时，四边形是一个特殊的平行四边形，请完成小明的推理证明过程． 证明：四边形是平行四边形， ，① 于点，于点， ② ， 在和中， ， ④ ， ， 四边形是⑤ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤矩形 【解析】 【分析】本题考查作图—作垂线，矩形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求过点作的垂线交于点即可； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：①；②；③；④；⑤矩形． 21. 已知与成正比例，与成正比例，．当时，；当时，． （1）求与的函数解析式； （2）已知点在（1）所求出函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，求函数值，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据正比例定义可设设 ，，则,再把两组对应值分别代入得到关于的方程组，然后解方程组即可得到y与x的关系式； （2）把的坐标代入即可求出a的值． 【小问1详解】 解：设 ，， 由题意得：， ∵当时，；当时，， ，解得， ∴； 【小问2详解】 将代入得：， ． 22. 如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论； （）由（）得：，，再由平行线的性质得，然后证，则可由求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架用于放置新购进的绿植，调查发现，甲种花架的单价是乙种花架的单价的1.5倍，用2160元购买甲花架的数量比用2160元购买乙花架的数量少10个． （1）甲、乙两种花架的单价分别是多少元？ （2）该校计划购进这两种规格的花架共28个，要求甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为元，甲种花架购买个，求与之间的函数关系式，并求出当为何值时，费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）甲种花架每个的价格为108元，乙种花架每个的价格为72元 （2）；当时w取最小值，最少费用为2520元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用： （1）设乙种花架的单价格为x元，根据甲种花架的单价是乙种花架的单价的1.5倍，用2160元购买甲花架的数量比用2160元购买乙花架的数量少10个，列出方程进行求解即可； （2）根据甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种花架的数量不少于10个，列出不等式组，求出的范围，根据总费用等于两种花架的费用之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设乙种花架的单价格为x元，则甲种花架的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：甲种花架每个的价格为108元，乙种花架每个的价格为72元； 【小问2详解】 ∵甲种花架购买a个，则乙种花架购买个， ∵甲种花架的数量不少于乙种花架的数量， 且乙种花架的数量不少于10个， ∴ ∴ 根据题意得： ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取最小值， 最少费用为（元） 24. 如图，矩形中，，，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着方向运动到点停止，连接，，，设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围（注意：三角形的面积不能为零）； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2）函数图象见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得到，当时，根据，，运用三角形面积公式得到；当时，根据，，运用梯形面积公式和三角形面积公式得到； （2）在线段 与 线段 中，计算出端点，，，描点、连线即可画出图象，再观察y的图象，可以写出函数的增减性； （3）当时，在中，得到 ，在 中， 得到，综合得到． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴，,, ∵， ∴， 当时， ∵，， ∴； 当时， ∵，， ∴ ； ∴； 【小问2详解】 在中， 令，得， 令，得， 描出并连接点和点，即得函数在时的图象； 在中， 令，得， 描出，连接点和点，即得函数在时的图象，如图； 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 当时， 在中， ， ∴ ； 在中， ， ∴， ∴； 综上，． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，面积法求一次函数解析式，描点法画一次函数图象，一次函数的增减性，分段函数，是解题的关键． 25. 如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为． （1）求直线的解析表达式． （2）点在轴上，且，求点坐标． （3）将直线向右平移3个单位得到直线，直线与直线的交点为点，点是直线上的动点，当时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来． 【答案】（1） （2）或 （3）或，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、直线的平移等，综合性强，难度适中． （1）由待定系数法即可求解； （2）首先求出，，然后由，即，即可求解； （3）当，则点、符合题意，即可求解． 【小问1详解】 当时，，即点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的解析表达式为：； 【小问2详解】 设点， ∵直线 当时， ∴ ∴ 当时，，解得 ∴ ∴ ，即， 即， 解得：或6， 即点或； 【小问3详解】 将直线向右平移3个单位得到直线，直线的表达式为：， 由直线的表达式知，， 过点作轴， 当， 则点、符合题意， 当时，，即点， 综上，点的坐标为：或． 26. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． （1）若的长度比少4，，求的面积； （2）求证：； （3）已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】（1）24 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）过点E作交于H，证明，得出，根据，即可求出结论； （3）过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，根据旋转得出，，，，根据勾股定理得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∵中，， ∴， 即 解得（负值舍去） ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点E作交于H，如图所示： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，旋转的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ K12重庆市2023-2024学年下期第二阶段质量检测八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各选项中，是二次根式的是（ ） A. 10 B. C. D. 2. 如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 已知a，b，c分别为的三条边，满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 一次函数y＝x﹣1图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B. 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 8. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 9. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是( ) ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF; A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对五个正整数，，，，，其中，，是三个连续偶数且，同时，是两个连续奇数且，令，那么以下几个结论正确的有（ ）个 ①当时，这五个正整数可以是，，，，； ②无论，取何值，一定能被整除； ③一共有种不同的取值组合使得 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 12. 如图，已知，数轴上点对应的数是______ 13. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ax+b（a、b为常数且a≠0）和直线l2：y＝mx+n（m、n为常数且m≠0）相交于点A，若点A的坐标是(4，5)，则关于x、y的二元一次方程组的解为_____． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为______． 16. 如图，的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，，则的长为______． 17. 如图，矩形纸片对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为_____． 18. 已知一次函数与，轴分别交于、两点，若满足，且使得关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 三、解答题（本大题共8个小题，其中第19题8分，第20-26题每小题10分，共76分） 19. 计算： （1）； （2）． 20 如图，中，对角线，相交于点，于点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）小明经过观察发现，当时，四边形是一个特殊的平行四边形，请完成小明的推理证明过程． 证明：四边形是平行四边形， ，① 于点，于点， ② ， 在和中， ， ④ ， ， 四边形是⑤ ． 21. 已知与成正比例，与成正比例，．当时，；当时，． （1）求与的函数解析式； （2）已知点在（1）所求出函数的图象上，求的值． 22. 如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 23. 某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架用于放置新购进的绿植，调查发现，甲种花架的单价是乙种花架的单价的1.5倍，用2160元购买甲花架的数量比用2160元购买乙花架的数量少10个． （1）甲、乙两种花架的单价分别是多少元？ （2）该校计划购进这两种规格花架共28个，要求甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为元，甲种花架购买个，求与之间的函数关系式，并求出当为何值时，费用最少，最少费用是多少？ 24. 如图，矩形中，，，点在边上，，动点以每秒1个单位长度速度从点A出发，沿着方向运动到点停止，连接，，，设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围（注意：三角形的面积不能为零）； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 25. 如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为． （1）求直线的解析表达式． （2）点在轴上，且，求点坐标． （3）将直线向右平移3个单位得到直线，直线与直线的交点为点，点是直线上的动点，当时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来． 26. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． （1）若的长度比少4，，求的面积； （2）求证：； （3）已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$