第10讲 成比例线段（10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第10讲 成比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法； 2. 理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题. 一、比例线段 1. 线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2. 成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成。 二、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 三、比例的基本性质 ①基本性质： ②变形： 核心内容： ③合、分比性质： 【注意】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： ④等比性质：如果， 那么 四、黄金分割 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1. 黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2. 一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3. 数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4. 边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 【考点一 成比例线段的概念辨析】 1．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）已知三个数3，4，6，如果再添加一个数使得这四个数成比例，那么这个数可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 2．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若a，b，b，c是成比例线段，其中，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 3．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知四条线段a，3，，4是成比例线段，则a的值为(   ) A．4 B．3 C． D．或 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，且． (1)求、的值； (2)若是、的比例中项，，求的值． 【考点二 成比例线段与比例尺的结合】 1．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川达州·期中）达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为，在一张比例尺为的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）的长度 A．一根火柴 B．一根筷子 C．一支钢笔 D．一支铅笔 3．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）地图上某城市面积为，实际该城市面积为．这地图的比例尺为 ． 5．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）在比例尺为的地图上量得A、B两地相距，则A、B两地的实际距离是 ． 【考点三 成比例线段的实际应用】 1．（22-23九年级上·山东滨州·期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（    ）m A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？    3．（20-21六年级上·上海静安·课后作业）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？ 【考点四 根据比例的性质判定式子正误】 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点五 利用比例的性质求字母的值】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，且，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知，线段a，b，c，且． (1)求的值． (2)设，线段a，b，c满足，求k的值． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【考点六 利用比例的性质求代数式的值】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如果，那么的值等于（　　） A．0 B．3 C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，若，则 ． 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则＝ ． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）若，且，求的值． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知线段、、，满足．且，求的值． 【考点七 利用比例的性质进行证明】 1．（22-23九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求证：． 2．（20-21八年级上·重庆渝中·期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 3．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）已知：，求证：b是a与c的比例中项． 4．（19-20九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知 (1)求： (2)求证： 【考点八 比例的性质在阅读理解中的运用】 1．（22-23八年级上·山西阳泉·期末）若a，b，c，d均不为0，且式子成立，则称a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10这四个数成比例． (1)当a，b，c，d成比例，即成立时，分式与分式相等吗？请举例说明． (2)阅读下列推理过程，解决相应问题： 均不为0， 对于式子．① 两边同乘以，得．② 在式子的两边都除以，得．③ 问题1：从①式变形到②式的依据是：______． 问题2：若，则______，______． 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值． 解：设， 则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a） 于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0， 依照上述方法解答下列问题： 已知：（x+y+z≠0），求的值． 3．（21-22八年级下·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【考点九 黄金分割的概念辨析】 1．（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为 ． 4．（2024·江苏泰州·二模）已知点P是线段的黄金分割点，．若，则 ．（结果保留根号） 5．（2024九年级下·江苏·专题练习）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【考点十 黄金分割的实际应用】 1．（2024·广东中山·二模）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ） A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称 2．（2023·云南昆明·模拟预测）在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2023·浙江衢州·模拟预测）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西榆林·三模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）． 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·三模）已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）若线段的长为，点是线段的黄金分割点，，则较长的线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·内蒙古乌海·期末）已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 6．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）是线段上一点，若满足，则称点是线段的黄金分割点．如图，一片树叶的叶柄与叶脉的总长（）为，为的黄金分割点，求叶脉的长度．设，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（   ） A． B．3 C．30 D．300 8．（2023九年级下·全国·专题练习）如图已知线段，点C，D是它的黄金分割点，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 9．（2023·广东佛山·一模）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 10．（2024·宁夏银川·一模）已知，则的值是 ． 11．（2024·湖南益阳·二模）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 12．（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 14．（2023·山东济南·模拟预测）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台长米，主持人张颖站在舞台的一端处，她要想站在舞台的黄金分割点处，她应从向前至少走 米．（结果精确到米，） 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 16．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 17．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 成比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法； 2. 理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题. 一、比例线段 1. 线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2. 成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成。 二、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 三、比例的基本性质 ①基本性质： ②变形： 核心内容： ③合、分比性质： 【注意】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： ④等比性质：如果， 那么 四、黄金分割 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1. 黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2. 一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3. 数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4. 边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 【考点一 成比例线段的概念辨析】 1．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）已知三个数3，4，6，如果再添加一个数使得这四个数成比例，那么这个数可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“在比例里，两个内项的积等于两个外项的积”，即可解答． 【详解】解：A、，添加的数不可以是4，故A不符合题意； B、，添加的数不可以是3，故B不符合题意； C、，添加是数可以是2，故C符合题意； D、，添加是数不可以是5，故D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若a，b，b，c是成比例线段，其中，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．直接根据成比例线段的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是成比例线段，其中， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， 故选：C． 3．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知四条线段a，3，，4是成比例线段，则a的值为(   ) A．4 B．3 C． D．或 【答案】B 【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），这四条线段是成比例线段，简称比例线段，列出比例式，求解即可． 【详解】解：∵四条线段a，3，，4是成比例线段， ∴， 解得：； 故选B． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，且． (1)求、的值； (2)若是、的比例中项，，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据平方根的定义求解； 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴． 【考点二 成比例线段与比例尺的结合】 1．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．根据比例尺图上距离实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，则：， 解得， 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川达州·期中）达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为，在一张比例尺为的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）的长度 A．一根火柴 B．一根筷子 C．一支钢笔 D．一支铅笔 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：∵， 根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是：． 大约相当于一支铅笔的长度． 故选：D． 3．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）地图上某城市面积为，实际该城市面积为．这地图的比例尺为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段中的比例尺，本题单位换算容易出错，需要特别注意．根据面积的比等于比例尺的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴比例尺的平方， ∴比例尺． 故答案为：． 5．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）在比例尺为的地图上量得A、B两地相距，则A、B两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：， ∴A、B两地的实际距离是， 故答案为：． 【考点三 成比例线段的实际应用】 1．（22-23九年级上·山东滨州·期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（    ）m A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 2．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？    【答案】 【分析】根据题意，得到，代入比例式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，，宽，， 由， 得 即 ∴ 开平方，得， （舍去）． 【点睛】本题考查了比例式的计算，求算术平方根，熟练掌握比例式的计算是解题的关键． 3．（20-21六年级上·上海静安·课后作业）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？ 【答案】45cm 【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答． 【详解】解：设书的高度是x厘米， 25：10 = x：18 x= 45 所以，书的高度是45cm． 【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可． 【考点四 根据比例的性质判定式子正误】 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断． 【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意； B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意； C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意； D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，由题意得出是解题的关键．根据，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：线段，满足， ∴，，， 故A、B正确； 若， 则， ∴， 由已知无法得出，故C不一定正确； 若， 则， ∴， 故D正确， 故选：C． 【考点五 利用比例的性质求字母的值】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查比例的性质，设，则，，根据，建立关于的等式并求解，即可解题． 【详解】解：， 设，则，， ， ，解得， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】或2 【分析】本题考查的是比例的基本性质，分两种情况讨论：当，当，再进行计算即可．掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【详解】解：若，则，，， 即： 则，此时，， 若，则， ∴或2． 故答案为：或2． 3．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知，线段a，b，c，且． (1)求的值． (2)设，线段a，b，c满足，求k的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握其性质，以及换元法； （1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）根据，则，利用求出k的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：设， 则， ， ． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【答案】（1）；（2）1或 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，k的值为1或． 【考点六 利用比例的性质求代数式的值】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设， ， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如果，那么的值等于（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】考查了比例的性质，比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．由比例的性质得到．代入求值即可． 【详解】解：， ， ． ． 故选：A． 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由可得，，，再根据可得，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及代数式求值，由得，，，代入化简求值即可得到结论 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）若，且，求的值． 【答案】372 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握设k法是解题的关键． 设，则，，，代入求出k值，从而求得x、y、z的值，即可代入求解． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知线段、、，满足．且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例线段及比例的性质，代数式求值．设，则，，，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， ，，， ， ，解得， ． 【考点七 利用比例的性质进行证明】 1．（22-23九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】设，可得，，然后分别代入和进行化简，即可得证． 【详解】解：设， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简，解题的关键是设出． 2．（20-21八年级上·重庆渝中·期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析 【分析】（1）根据计算即可； （2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可； 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键． 3．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）已知：，求证：b是a与c的比例中项． 【答案】详见解析 【分析】根据比例中项的定义进行计算证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴b是a与c的比例中项． 【点睛】本题考查了比例中项及二次根式的计算，熟记比例中项的定义是解题的关键． 4．（19-20九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知 (1)求： (2)求证： 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解. (2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证. 【详解】(1)解：由 可设a=2k，b=3k ∴. (2)证明：由(1)得，=， ∴ 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键. 【考点八 比例的性质在阅读理解中的运用】 1．（22-23八年级上·山西阳泉·期末）若a，b，c，d均不为0，且式子成立，则称a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10这四个数成比例． (1)当a，b，c，d成比例，即成立时，分式与分式相等吗？请举例说明． (2)阅读下列推理过程，解决相应问题： 均不为0， 对于式子．① 两边同乘以，得．② 在式子的两边都除以，得．③ 问题1：从①式变形到②式的依据是：______． 问题2：若，则______，______． 【答案】(1)相等，说明见解析 (2)等式的基本性质；3，3 【分析】（1）仿照题干举例即可； （2）根据材料中的变形可得依据，根据结果进行计算． 【详解】（1）解：分式与分式相等， 如：，，，， 则，且； （2）问题1： 从①式变形到②式的依据是：等式的基本性质； 问题2： 若， 则； ． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是读懂材料，掌握基本知识并熟练运用． 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值． 解：设， 则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a） 于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0， 依照上述方法解答下列问题： 已知：（x+y+z≠0），求的值． 【答案】． 【分析】设，根据比例的性质得到x=y=z，计算即可． 【详解】解：设， 则y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk， ∴2（x+y+z）=k（x+y+z）， 解得，k=2， ∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z， 解得，x=y=z， 则． 【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 3．（21-22八年级下·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 【考点九 黄金分割的概念辨析】 1．（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 2．（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键． 根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一． 【详解】解：实际路程为， 当比例尺为时，图示距离为， 当比例尺为时，图上距离为， ∴， 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 4．（2024·江苏泰州·二模）已知点P是线段的黄金分割点，．若，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入计算即可；此题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，， ， 故答案为：． 5．（2024九年级下·江苏·专题练习）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】是；见解析 【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案． 【详解】解：是，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点F是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴矩形是黄金矩形． 【考点十 黄金分割的实际应用】 1．（2024·广东中山·二模）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ） A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得点为的黄金分割点，即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，各部分长度的比满足 ， ∴点为的黄金分割点， 故选：． 2．（2023·云南昆明·模拟预测）在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割比的应用，根据下部与全部的高度比等于进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A 3．（2024·山东聊城·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 由黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ∴， ， ①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A． 4．（2023·浙江衢州·模拟预测）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：根据已知条件得下半身长是， 设需要穿的高跟鞋是， 根据黄金分割的定义得： 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 5．（2024·陕西榆林·三模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）． 【答案】3.8 【分析】本题考查黄金分割及近似数和有效数字，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 设主持人站的位置距离点的距离为米，根据黄金分割的定义，建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：设主持人站的位置与点的距离为米， 则， 解得， 所以（米， 故主持人站的最佳位置时至少要走3.8米． 故答案为：3.8． 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段成比例的运用，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据线段成比例，进行即可比较即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，线段成比例，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C ． 2．（2024·四川南充·三模）已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．由可得，再代入要求值的分式中，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解． 【详解】解：， ， ． ， ， 故选：B． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）若线段的长为，点是线段的黄金分割点，，则较长的线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，， ， 故选：C． 5．（22-23八年级上·内蒙古乌海·期末）已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例．熟练掌握比例的定义，比例的基本性质，是解决问题的关键．比例的定义：在四个数中，如果两个数的比等于另外两个数的比，就叫做这四个数成比例；比例的基本性质：两内项之比等于两外项之比． 根据比例的定义，写出比例式，运用比例的基本性质解答． 【详解】∵四个数，9，2，d成比例 ∴， ∴， 解得，． 故选：D． 6．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）是线段上一点，若满足，则称点是线段的黄金分割点．如图，一片树叶的叶柄与叶脉的总长（）为，为的黄金分割点，求叶脉的长度．设，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，以及由实际问题抽象出一元二次方程，根据黄金分割点的特征，代入数据即可解题． 【详解】解：由题可得： ，，， （）， ， 即， 故选：B． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（   ） A． B．3 C．30 D．300 【答案】C 【分析】本题考查比例，比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，也叫缩尺，其公式为：比例尺图上距离/实地距离． 【详解】解：设两地间的实际距离是厘米， 根据题意得， 解得， 所以两地间的实际距离是30千米． 故选：C． 8．（2023九年级下·全国·专题练习）如图已知线段，点C，D是它的黄金分割点，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的黄金分割点．熟练掌握黄金分割法，线段的和差计算，是解决问题的关键， 根据线段点C，D是的黄金分割点，求出线段，的长，而后运用线段的和差关系计算线段的长 【详解】∵点C是的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵点D是的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．（2023·广东佛山·一模）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故错误的是选项B， 故选B． 二、填空题 10．（2024·宁夏银川·一模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，设，代入原式即可得出答案． 【详解】解：设，， 则原式 ． 故答案为：． 11．（2024·湖南益阳·二模）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，，则，即，整理得，，可求满足要求的解，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 12．（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及解一元一次方程，根据题意，得到，转化成一元一次方程求解即可得到答案，熟记比例性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，则，解得， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查了比的性质，利用比的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又的周长是，即， ∴， 即的周长是， 故答案为：． 14．（2023·山东济南·模拟预测）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台长米，主持人张颖站在舞台的一端处，她要想站在舞台的黄金分割点处，她应从向前至少走 米．（结果精确到米，） 【答案】3.8 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用，熟记黄金比是解题关键．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 【答案】成比例，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答． 【详解】解：成比例．理由如下： ， ， ， ， ∴， ∴， ∴线段、、、成比例． 16．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念． （1）要求的长，只需求得的长，又，，则； （2）根据（1）所求分别求出的值即可证明结论； （3）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是的黄金分割点． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理知： ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴； （3）解：∵， ∴点M是的黄金分割点． 17．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出， ， ，进而得出a、b、c的值是解题关键． 根据题意可设，然后用k的代数式分别表示出a、b、c，再代入可求得k，即可求得答案． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 解得， ∴ ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$