精品解析：湖北省咸宁市崇阳县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年春季期末教学质量监测 七年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列生活现象中，属于平移现象的是（ ） A. 急刹车时汽车在地面滑行 B. 风车的转动 C. 足球在草地上滚动 D. 钟摆的摆动 2. 根据下列表述，能确定某地点其体位置的是（ ） A. ， B. 东风东路 C. 北偏东 D. 大地影院第2排 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 关于下图中各角的说法不正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与对顶角 D. 与是邻补角 5. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 6. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 7. 下列说法中不正确的是（　　） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，，，那么 8. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 1500名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体 9. 已知二元一次方程组用加减消元法解方程组，正确的是（ ） A B. C. D. 10. 平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为_______． 12. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________． 13. 小明在地理课上知道了我国的五大名山（泰山，衡山，华山，恒山，嵩山）的海拔，课后他绘制统计图以便更清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是______统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 14. 窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 15. 如图，把沿着射线方向平移得到，，，则________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 若，，求的平方根． 18. 2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 19. 2024年4月下旬中国将发射神舟十八号载人飞船、迎接神舟十七号乘组返回．为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理，分成五组：A组60分以下；B组分；C组分；D组分；E组分．每个组都含最小值不含最大值，例如B组包括60分，但不包括70分，并绘制了如图所示的条形、扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图． （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角度数为 ． （3）该校要对成绩为E组分的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校1500名学生中获一等奖的学生人数有多少人？ 20. 如图，点在上，已知，平分，平分，请说明的理由： 解：因为（_________） （_________） 所以（_________） 因为平分， 所以_________（_________） 因为平分， 所以_________， 得（_________） 所以（_________） 21. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地的时间t； （2）若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上． ①求玩具抛出前离地面的高度h； ②已知高空物体下落，物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），（单位：），h为高度（单位：m）．根据以上信息，若这处玩具质量为，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 22. 某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是： A型车（满载） B型车（满载） 运货总量 3辆 2辆 38吨 1辆 3辆 36吨 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案： （3）若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案) 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，． （1）如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； （2）如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 24. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ； （2）如图2，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内． ①此时点D横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ； ②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季期末教学质量监测 七年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列生活现象中，属于平移现象的是（ ） A. 急刹车时汽车在地面滑行 B. 风车的转动 C. 足球在草地上滚动 D. 钟摆的摆动 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移运动，掌握定义是解题的关键．“将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动”，根据平移的定义，对选项进行一一分析即可． 【详解】解：A、急刹车时汽车在地面滑行，是平移现象，故本选项符合题意； B、风车的转动，是旋转运动，不属于平移，故本选项不符合题意； C、足球在草地上滚动，方向变化，不符合平移的定义，故本选项不符合题意； D．钟摆的摆动，不沿直线运动，是旋转运动，不属于平移，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 根据下列表述，能确定某地点其体位置是（ ） A. ， B. 东风东路 C. 北偏东 D. 大地影院第2排 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位置的表示方式，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置即可得出答案． 【详解】解：A．，能确定位置，符合题意； B．东风东路不能确定位置，不符合题意； C．北偏东不能确定位置，不符合题意； D．大地影院第2排不能确定位置，不符合题意； 故选：A． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定． 【详解】解：x﹣2≥0， x≥2， 在数轴上表示不等式的解集为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集，难度适中． 4. 关于下图中各角的说法不正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与是对顶角 D. 与是邻补角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同位角、内错角、对顶角和邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分．根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、与不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意； C、与是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、与是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，以及将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，由题意，得： ； 故选B． 6. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 7. 下列说法中不正确的是（　　） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，，，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答． 【详解】解：A、如果，说明，那么，该选项是正确的；故不符合题意； B、如果，当，那么是错误的，该选项是错误的，故符合题意； C、如果，则，那么，该选项是正确的；故不符合题意； D、如果，，，那么，该选项是正确的；故不符合题意； 故选：B 8. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 1500名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．以上调查属于抽样调查，原说法错误，故A不符合题意； B．样本容量是300，说法正确，故B符合题意； C．1500名学生的视力情况是总体，原说法错误，故C不符合题意； D．每名学生的视力情况是一个个体，原说法错误，故D不符合题意； 故选：B． 9. 已知二元一次方程组用加减消元法解方程组，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的加减消元，熟悉掌握加减消元法的运算方式是解题的关键． 寻找系数的最小公倍数，分类讨论逐一判断即可． 【详解】解：若消除，则和的最小公倍数为，且系数都为正数， ∴需要，，即加减消元为或； 若消除，则和的最小公倍数为，且系数为一正一负， ∴需要，，即加减消元为或； 故选：C． 10. 平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．先根据轴得出的值，再由垂线段最短即可得出的值，进而得出结论． 【详解】解：轴，点，， ， 当时，线段最短， ， 即时，线段的长度最小为， 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为_______． 【答案】0或1 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1． 【详解】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1． 故选答案为： 0或1． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，分清算术平方根的概念易与平方根的概念是解决此题关键． 12. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________． 【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可． 【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形， 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。 13. 小明在地理课上知道了我国的五大名山（泰山，衡山，华山，恒山，嵩山）的海拔，课后他绘制统计图以便更清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是______统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 【答案】条形 【解析】 【分析】根据条形统计图，扇形统计图和折线统计图的特点来判断即可． 【详解】解：为了便于清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是条形统计图， 故答案为：条形． 【点睛】本题考查统计图的选择，弄清统计图的特征是解题的关键． 14. 窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，先求得，进而根据平移的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为，则圆弧型“青瓦”的高为 根据平移可得的纵坐标为 ∴， 故答案为：． 15. 如图，把沿着射线方向平移得到，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含算术平方根、立方根的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 17. 若，，求的平方根． 【答案】的平方根为：或没有平方根 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、求代数式的平方根，先由平方根、立方根得出或或，，再分2种情况，分别代入计算即可得出答案． 【详解】解： ，， 或，． 分以下2种情况讨论： 当，时，，的平方根为：， 当，时，，没有平方根． 18. 2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 【答案】供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：供应商购进每个“元元”和“宵宵”进价分别是60元，40元． 19. 2024年4月下旬中国将发射神舟十八号载人飞船、迎接神舟十七号乘组返回．为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理，分成五组：A组60分以下；B组分；C组分；D组分；E组分．每个组都含最小值不含最大值，例如B组包括60分，但不包括70分，并绘制了如图所示的条形、扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图． （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角度数为 ． （3）该校要对成绩为E组分的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校1500名学生中获一等奖的学生人数有多少人？ 【答案】（1）50，见解析 （2） （3）48 【解析】 【分析】（1）由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以组对应百分比求出其人数即可补全图形； （2）乘以组人数所占比例即可； （3）总人数乘以一等奖人数所占比例，再乘以样本中组人数所占比例即可． 【小问1详解】 本次随机抽查的学生人数是（人， 组人数为（人， 补全图形如下： 故答案为：50； 【小问2详解】 扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 （人， 答：估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数为48人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． 20. 如图，点在上，已知，平分，平分，请说明的理由： 解：因为（_________） （_________） 所以（_________） 因为平分， 所以_________（_________） 因为平分， 所以_________， 得（_________） 所以（_________） 【答案】已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义、同角的补角相等、角平分线的定义、平行线的判定；熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平角的定义可得，根据同角的补角相等可得，根据角平分线的定义可得，，推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：因为（已知） （平角定义） 所以（同角的补角相等） 因为平分， 所以（角平分线的定义） 因为平分， 所以， 得（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行． 21. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地的时间t； （2）若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上． ①求玩具抛出前离地面的高度h； ②已知高空物体下落，物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），（单位：），h为高度（单位：m）．根据以上信息，若这处玩具质量为，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【答案】（1）从高空抛物到落地的时间t为3s （2）①玩具抛出前离地面的高度h为；②正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）①将代入计算求出，②将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可． 【小问1详解】 依题意，当时， ； 【小问2详解】 ①当时，， 解得； ②正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下： 高空抛物动能， 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 22. 某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是： A型车（满载） B型车（满载） 运货总量 3辆 2辆 38吨 1辆 3辆 36吨 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案： （3）若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案) 【答案】（1）1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨 （2）租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆 （3）最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆 【解析】 【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键． （1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求； （2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案． （3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可． 【小问1详解】 解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨， 根据题意得：， 解得：， 则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨； 【小问2详解】 ∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆， ， 则有， 解得：， ∵为正整数， ． ∵为正整数， ∴， ∴． ∴满足条件的租车方案一共有3种， 即租用型车4辆，型车9辆， 租用型车9辆，型车6辆， 租用型车14辆，型车3辆． 【小问3详解】 ∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次， 当，租车费用为：元； 当，租车费用为：元； 当，租车费用为：元． ， ∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆． 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，． （1）如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； （2）如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平等公理的推论，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作直线，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数． 【小问1详解】 解：过点作直线，如图1所示： 直线， ∴， ，， ， ， ，， ． 【小问2详解】 解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， 【小问3详解】 解：如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ； （2）如图2，平移线段到线段，使点C在y轴正半轴上，点D在第二象限内． ①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ； ②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；；②， （3）存在点P，其坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）①根据点可得平移规律，即可作答；②连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【小问1详解】 解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； 【小问2详解】 ①点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：， 即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限，点D的纵坐标为y， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，，即点C的纵坐标用y的代数式表示为， 故答案为：，； ②如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； 【小问3详解】 由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$