精品解析：上海市洋泾中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市洋泾中学2023学年度第二学期 高二数学期末考试试卷 命题：孙泳涛 审题：马文清 终审：陈丽达 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，若，则实数=____ 2. 不等式的解集为______． 3. 双曲线的渐近线是_____________. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则_____________. 5. 在的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 6. 已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________. 7. 关于的方程的解集为_____________. 8. 将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是_____________. 9. 已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______. 10. 如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_____________. 11. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为__________. 12. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，y的预测值为2.2 C. 样本数据y的第40百分位数为1 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 16. 设集合，，，中至少有两个元素，且满足： ①对于任意，若，都有 ②对于任意，若，则； 下列命题正确的是（ ） A. 若S有4个元素，则有7个元素 B. 若S有4个元素，则有6个元素 C. 若S有3个元素，则有5个元素 D. 若S有3个元素，则有4个元素 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点. （1）证明：； （2）当为线段的中点时，求点到面的距离. 18. 已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆，若直线与圆相切，求点的坐标； 19. 某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）. （1）试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 20. 随着人们收入水平的提高，特色化､差异化农产品的消费需求快速增长，精品农产品获得广大消费者的认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标的水果，再按重量进行分类装箱.现从同批采摘､分拣后堆积的水果堆中随机抽取了30个水果进行称重（为方便称重，按5克为一级进行分级），统计对应的水果重量，得柱状图如下. （1）估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量（精确到整数位）； （2）在样本内，从重量不低于80克的水果中，随机选取2个，记其中选取到水果重量不低于90克的个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取n个水果，若要求其中至少有一个水果的重量不低于80克的概率不低于，求n的最小值. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市洋泾中学2023学年度第二学期 高二数学期末考试试卷 命题：孙泳涛 审题：马文清 终审：陈丽达 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，若，则实数=____ 【答案】3 【解析】 【详解】因为，所以． 2. 不等式的解集为______． 【答案】或, 【解析】 【分析】由分式不等式的解法求解即可. 【详解】不等式等价于：，解即， 解得：或， 所以不等式的解集为或, 故答案为：或 3. 双曲线的渐近线是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程的公式即可求解. 【详解】双曲线的渐近线是， 故答案为： 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 5. 在的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】 的展开式的通项为，取计算得到答案. 【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 6. 已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求出在点处的切线的斜率，然后再根据斜率和倾斜角之间的关系，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以在点切线的斜率为， 所以在点处的切线的倾斜角为. 故答案为：. 7. 关于的方程的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定各个绝对值对应的零点，利用零点分段法分类讨论，分别求出方程的解，即可得解. 【详解】易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：，，，则： ①时，原方程可化为，解得，不符合题意，舍去； ②时，原方程可化为，解得，符合题意； ③时，原方程可化为，即恒成立，故，符合题意； ④时，原方程可化为，解得，此时不符合题意，故舍去， 综上可知，原方程的解集为． 故答案为：． 8. 将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先分析可得表示以坐标原点为圆心，半径的半圆（轴及轴上方部分），即可得到旋转后的几何体，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】由，则，所以， 所以表示以坐标原点为圆心，半径的半圆（轴及轴上方部分）， 将函数的图象绕着轴旋转一周得到一个半径的半球面， 则该几何体的容积. 故答案为： 9. 已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集. 【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称， 由图象可知，在区间递减，； 在区间递增，. 所以的解集. 故答案为： 10. 如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的三角形是直角三角形的方法种数，求比值即可． 【详解】从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有种， 在正六边形中，直角三角形有，共12个， 由古典概型可知以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率 故答案为：． 11. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得出，将问题转化为函数与函数的图象有三个公共点，利用数形结合思想可求得实数的取值范围. 【详解】令，可得出，则函数与函数的图象有三个公共点， 如下图所示： 当时，可知函数与函数的图象只有一个交点； 当时，考查函数与函数的左支相切，即， 整理得，，解得，此时. 结合图象可知，当时，函数与函数的图象有三个交点. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数图象的公共点个数来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 12. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【详解】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先用特殊值判断 推不出，但可以推出．故可以得到两者之间的关系． 【详解】当时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备；当时，显然能推出命题甲“”，∴必要性具备，故选B． 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件. 14. 假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A选项，由，， 可知，故A正确； 对于B选项，成立的条件为是两个独立事件，故B错误； 对于C选项，由，， 故当时才有，故C错误； 对于D选项，若要成立，需要， 即成立的条件为是两个独立事件，故D错误. 故选：A． 15. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，y的预测值为2.2 C. 样本数据y的第40百分位数为1 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 【答案】D 【解析】 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，进一步可得回归方程，由此即可验算B选项，由百分位数的概念即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 对于B，当时，y的预测值为，故B错误； 对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误； 对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确. 故选：D. 16. 设集合，，，中至少有两个元素，且满足： ①对于任意，若，都有 ②对于任意，若，则； 下列命题正确的是（ ） A. 若S有4个元素，则有7个元素 B. 若S有4个元素，则有6个元素 C. 若S有3个元素，则有5个元素 D. 若S有3个元素，则有4个元素 【答案】A 【解析】 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取，则， 此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则， 此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素，故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点. （1）证明：； （2）当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】（1） 平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量， 则，令，则，故， 则点与平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆，若直线与圆相切，求点的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程. （2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案. 【小问1详解】 椭圆的离心率是，解得. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 当时，，解得或（舍），故， 当时，，解得或（舍），故， 故或 19. 某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）. （1）试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】（1） （2） 当时，日产量（万件）时，可获最大利润； 当时，日产量（万件）时，可获最大利润. 【解析】 【分析】（1）由题意，再结合次品率p与日产量x（万件）之间的关系即可求解. （2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，又因为， 因此当时，， 当时，， 所以盈利额y（万元）与日产量x（万件）之间的函数关系式为：. 【小问2详解】 当时，每天的盈利额为0； 因此当时,设，则，且， 则，分以下两种情形讨论： 情形一：当，即时，， 当且仅当，即时，取最大值16，此时. 情形二：当，即时，在上单调递减， 所以当，即时，取最大值. 综上所述，当时，日产量（万件）时，可获最大利润；当时，日产量（万件）时，可获最大利润. 20. 随着人们收入水平的提高，特色化､差异化农产品的消费需求快速增长，精品农产品获得广大消费者的认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标的水果，再按重量进行分类装箱.现从同批采摘､分拣后堆积的水果堆中随机抽取了30个水果进行称重（为方便称重，按5克为一级进行分级），统计对应的水果重量，得柱状图如下. （1）估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量（精确到整数位）； （2）在样本内，从重量不低于80克的水果中，随机选取2个，记其中选取到水果重量不低于90克的个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取n个水果，若要求其中至少有一个水果的重量不低于80克的概率不低于，求n的最小值. 【答案】（1）75克 （2）X的分布列为 0 1 2 ， （3）5 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望； （3）先求出重量低于80克的频率，可得重量低于80克的概率，然后根据独立事件和对立事件的概率公式列不等式可求出n的最小值. 【小问1详解】 根据柱状图可知该批采摘的水果的单个水果的平均重量为 （克）； 【小问2详解】 样本中重量不低于80克的水果有个，其中重量不低于90克的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 0 1 2 所以； 【小问3详解】 由题意得，得， 即， 因为，，且为减函数， 所以当的解集为， 所以n的最小值为5. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【小问1详解】 因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； 【小问2详解】 ，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； 【小问3详解】 函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $