精品解析：安徽省合肥市包河区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 （满分100分 考试时间100分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＜4 B. x≥4 C. x＞4 D. x≥0 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. a＝1，b＝2，c＝2 B. a＝2，b＝3，c＝4 C. a＝3，b＝4，c＝6 D. a＝1，b＝1，c＝ 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（ ） A. 10cm B. 12cm C. 16 cm D. 24 cm 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 5 14 a b 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ） A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，众数 D. 众数，方差 9. 随着“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2022年学生数比2021年增长了，2023年新学期开学统计，该校学生数又比2022年增长了，设2022、2023这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是______． 12. 如图，平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______． 13. 《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程________． 14. 如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为________． 15. 如图，菱形的边长为4，，点E是的中点，点M是上一动点，则的最小值是________． 16. 已知：中，，，点E为中点，，则的面积为________． 三、（本题共2小题，每题5分，满分10分） 17. 计算：． 18 解方程：3x2+5x﹣2=0． 四、（本题满分8分） 19. 已知点，是的对边，上的点，且，连接，与相交于点，． （1）如图，求证：； （2）如图，若，连接，，求证：四边形是菱形． 五、（本题满分10分） 20. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．平谷区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月—4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．桶前职守时长的频数分布表 时长x/小时 频数 频率 0 ≤ x < 10 8 0.16 10 ≤ x < 20 10 020 20 ≤ x < 30 16 b 30 ≤ x <40 12 0.24 40 ≤ x <50 a 0.08 b．桶前职守时长的频数分布直方图 c．其中，时长在20≤ x < 30这一组的数据是：20 20 21 21 22 24 24 26 26 27 27 28 28 28 29 29．请根据所给信息，解答下列问题： （1）a= ，b= ； （2）请补全频数分布直方图； （3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ； （4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守时长不低于30小时的有 人． 六、（本题满分12分） 21. 过程学习】对于代数式，我们可作如下变形： ，，当时，代数式的最小值为为．这种方法叫做配方法求最值． 【初步应用】对于代数式可变形为，对于代数式，当________时，最小值为1． 【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台，根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台． ①五月份该专卖店想将销售额提高，求这种机床每件的售价； ②求五月份销售额最大值是多少？ 七、（本题满分12分） 22. 已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作于点H，直线FH与直线DB交于点M． （1）依题意补全图1； （2）若，请直接写出____________（用含的式子表示）； （3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明． 附加题：（本题满分5分，记入总分，但满分不超过100分） 23. 已知M是边长为1的正方形内一点，若，，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 （满分100分 考试时间100分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＜4 B. x≥4 C. x＞4 D. x≥0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，进而得出答案． 【详解】解： 在实数范围内有意义，则 解得：x≥4． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确利用x-4是非负数是解题关键． 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A、是最简二次根式，此项符合题意； B、，不是最简二次根式，此项不符题意； C、，不是最简二次根式，此项不符题意； D、，不是最简二次根式，此项不符题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式定义，熟记最简二次根式的定义，通过化简进行验证是解题关键． 3. 下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. a＝1，b＝2，c＝2 B. a＝2，b＝3，c＝4 C. a＝3，b＝4，c＝6 D. a＝1，b＝1，c＝ 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、12+22=5≠22，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、22+32=13≠42，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、32+42=25≠62，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、12+12=2=（）2，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减法，根据二次根式的性质，以及二次根式的加减法则，进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 5. 如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（ ） A. 10cm B. 12cm C. 16 cm D. 24 cm 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD=BC，BO=DO，由三角形的中位线定理可得AD=2OM=6cm，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC，BO=DO， 又∵点M是AB的中点， ∴AD=2OM=6cm， ∴菱形ABCD的周长=4×6=24cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的的对角线互相平分是解题的关键． 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，根据根与系数关系可得，，代入即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程，即的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：D 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形判定方法可判断A、根据矩形判定方法可判断B、根据菱形判定方法可判断C、根据正方形的判定定理可判断D即可． 【详解】解：A、两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，为此有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，选项A不正确； B、有三个是直角的四边形是矩形，为此有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故选项B不正确； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，为此对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项C错误； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．解决此题的关键是牢记判定定理 8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 5 14 a b 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ） A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，众数 D. 众数，方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数和众数、方差的定义进行判断即可； 【详解】解：由题意可知报名2个项目和3个项目的一共有30-5-14=11(人)， 14>11， ∴无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，都少于报名1个项目的人数， 故众数为1不变, 共有30名学生则中位数为第15，16个数据的平均数， 由于5+14=19>16， 故中位数为， 则无论报名2个项目和3个项目的学生各有多少人中位数不变， 综上所述不会发生改变的是众数和中位数， 故选：A 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9. 随着“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2022年学生数比2021年增长了，2023年新学期开学统计，该校学生数又比2022年增长了，设2022、2023这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这两年该校学生数平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这两年该校学生数平均增长率为，列方程为， 故选：C． 10. 如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（ ） A B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，延长交的延长线于点G，连接．求出,得到，证明，得到，则，求出，证明设，由勾股定理解得，即可得到答案. 【详解】延长交的延长线于点G，连接． ∵矩形中，， ∴， ∵E为边的中点， ∴, ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，由得方程 解得 即 故选：B 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：6． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______． 【答案】20° 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=70°，又由于DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=70°；再根据CE⊥BD，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BCD=∠A=70° ∵DB=DC， ∴∠DBC=∠DCB=70° ∵CE⊥BD ∴∠CEB=90° ∴∠BCE=90°-∠DBC=20°． 故填20°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 13. 《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形和平行四边形．熟练掌握平行四边形的判断和性质，三角形全等的判断和性质，三角形中位线性质，是解决问题的关键． 延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，根据中点性质证明四边形是平行四边形，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，得到，推出，得到，根据，，得到，． 【详解】延长交于点F，延长到点G，使，连接，，， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，菱形的边长为4，，点E是的中点，点M是上一动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，则，在中，求出，，在中，求出，则可求的最小值． 【详解】解：连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于， 菱形， 与关于对称，， ， ， 当点B、M、E三点共线时，取得最小值，且为 ，点是的中点， ， ∵，， ， 在中，，， ∴ ，由勾股定理得， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∴的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，菱形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，灵活运用菱形的对称性，将所求的最小值转化为求的长是解题的关键． 16. 已知：中，，，点E为中点，，则的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行四边形的性质，推出，等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据的面积等于，进行求解即可． 【详解】解析：连接交于O， 四边形是平行四边形， ，，， E为边的中点， ， ∴， ∵， ， ， ， 的面积． 三、（本题共2小题，每题5分，满分10分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘法和加法运算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：3x2+5x﹣2=0． 【答案】x1=，x2=﹣2． 【解析】 【详解】3x2+5x﹣2=0， 因式分解得：（3x﹣1）（x+2）=0， ∴3x﹣1=0或x+2=0， 解得：x1=，x2=﹣2． 【点睛】本题目是一道一元二次方程的求解题目，主要是利用因式分解法解方程，首先将方程转化为一般式，再利用十字相乘法因式分解降次即可． 四、（本题满分8分） 19. 已知点，是的对边，上的点，且，连接，与相交于点，． （1）如图，求证：； （2）如图，若，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，进而由即可证明； （）由得是菱形，即得，，可证，得到，同理可得，，再证明，得到，即得，即可求证； 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键 ． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， 由（）得，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 五、（本题满分10分） 20. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．平谷区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月—4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．桶前职守时长的频数分布表 时长x/小时 频数 频率 0 ≤ x < 10 8 0.16 10 ≤ x < 20 10 0.20 20 ≤ x < 30 16 b 30 ≤ x <40 12 0.24 40 ≤ x <50 a 0.08 b．桶前职守时长的频数分布直方图 c．其中，时长在20≤ x < 30这一组的数据是：20 20 21 21 22 24 24 26 26 27 27 28 28 28 29 29．请根据所给信息，解答下列问题： （1）a= ，b= ； （2）请补全频数分布直方图； （3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ； （4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的有 人． 【答案】（1）4， 0.32；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）25；（4）160． 【解析】 【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得； （2）根据（1）中a值，即可将频数分布直方图补充完整； （3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得； （4）用总人数乘以样本中参加桶前职守的时长不低于30小时的人数所占比例即可得． 【详解】解：（1）a＝0.08×50＝4，b＝16÷50＝0.32， 故答案为：4，0.32； （2）补全直方图如下： （3）随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为24、26， 所以随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是 ＝25； 故答案为：25； （4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的约有500× ＝160（人）， 故答案为：160． 【点睛】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数、中位数的概念及利用样本估计总体思想的运用． 六、（本题满分12分） 21. 【过程学习】对于代数式，我们可作如下变形： ，，当时，代数式的最小值为为．这种方法叫做配方法求最值． 【初步应用】对于代数式可变形，对于代数式，当________时，最小值为1． 【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台，根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台． ①五月份该专卖店想将销售额提高，求这种机床每件的售价； ②求五月份销售额最大值是多少？ 【答案】初步应用：；1 问题解决：①这种机床每件的售价为3万元或5万元；②五月份销售额的最大值为160万元 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，列一元二次方程解决实际问题． （1）根据过程学习中的方法即可解答； （2）①设五月份这种机床每件的售价为x元，则销售量为台，根据“月份该专卖店想将销售额提高”即可列出方程，求解即可； ②设五月份这种机床每件的售价为n元，销售额为y万元，列出y关于x的函数解析式，根据过程学习中的方法即可求出y的最大值． 【详解】解：初步应用： ∵ ∴代数式可变形， ∵ ∴对于代数式，当时，最小值为1． 故答案为：；1 问题解决： ①设五月份这种机床每件的售价为x元．根据题意，得 ， 整理，得， 解得，， 答：这种机床每件的售价为3万元或5万元． ②设五月份这种机床每件的售价为n元，销售额为y万元，则 ， ∵， ∴当时，销售额y有最大值，为． 答：五月份销售额最大值是160万元． 七、（本题满分12分） 22. 已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作于点H，直线FH与直线DB交于点M． （1）依题意补全图1； （2）若，请直接写出____________（用含的式子表示）； （3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）BM=CF； 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）由正方形的对角线平分对角可得∠BDC=45°，于是可得∠BDH，再根据Rt△MDH中两锐角互余即可解答； （3）在CD上取点G使CG=CE，连接GE，由正方形的性质和对称的性质可得BC-FC=CD-CG，由同角的余角相等和对顶角相等可得∠BFM=∠GDE，由等腰直角三角形的性质和补角的定义可得∠MBF=∠DGE，于是△BMF≌△GED（ASA），BM=GE即可解答； 【小问1详解】 解：补全图形如下， 【小问2详解】 解：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDC=45°， ∴∠BDH=∠BDC+∠CDE=， Rt△MDH中，∠MHD=90°， ∴∠DMH=90°-∠MDH=， ∴∠DMF=； 【小问3详解】 解：如图，在CD上取点G使CG=CE，连接GE， ∵ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠DBC=45°，∠BCD=90°， 由对称的性质可得FC=CE， ∴FC=CE=CG， ∴BC-FC=CD-CG， ∴BF=GD， ∵∠CDE+∠CED=90°，∠EFH+∠HEF=90°， ∴∠CDE=∠EFH， ∵∠BFM=∠EFH， ∴∠BFM=∠GDE， ∠ECG=90°，CE=CG， ∴△ECG是等腰直角三角形， ∴GE=，∠CGE=45°， ∴∠DGE=135°，GE=CF， ∵∠DBC=45°， ∴∠MBF=135°， BF=GD，∠BFM=∠GDE，∠MBF=∠DGE， ∴△BMF≌△GED（ASA）， ∴BM=GE， ∴BM=CF； 【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识；正确作出辅助线是解题关键． 附加题：（本题满分5分，记入总分，但满分不超过100分） 23. 已知M是边长为1的正方形内一点，若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了正方形性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，过点M作边的平行线交于Q，交于P，证明四边形、是矩形，则，，证明，又由，即可求出答案． 【详解】解：过点M作边的平行线交于Q，交于P， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴四边形、是矩形， ∴，， 由勾股定理得， 即， 同理可得 由， ∴ 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$