2024年贵州省黔东南州从江县贯洞中学中考数学二模试卷

2024年贵州省黔东南州从江县贯洞中学中考数学二模试卷 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1．（3分）﹣的相反数是（　　） A． B．3 C．﹣ D．﹣3 2．（3分）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录．数据10909用科学记数法可表示为（　　） A．0.10909×105 B．1.0909×104 C．10.909×103 D．109.09×102 3．（3分）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，一个立体图形由5个相同的正方体组成，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　） A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130° 7．（3分）下列说法正确的是（　　） A．某种彩票中奖率为1%，买100张这种彩票一定会中奖 B．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 C．小红要调查自己的数学书中有无印刷错误，适合采用抽样调查 D．某学校为了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机抽取100名学生家长进行调查，这一问题中的样本是100 8．（3分）如图，在△ABC中，点D，BC的中点，以点A为圆心，DE＝5，则BF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 9．（3分）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（　　） A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2 10．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 11．（3分）如图，▱ABCD中，∠C＝110°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．（4分）分解因式：2a3﹣8a＝　 　． 14．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，作为第一次传球　 　． 15．（4分）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，则△AOB与△COD的面积之比等于　 　． 16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，点M在线段AC上，且AM＝3，则MP+PB的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）解不等式：； （2）解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x． 18．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 a 9 众数 8 b 优秀率 45% 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 19．（10分）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，交CB的延长线于点G，且EF＝EC． （1）求证：CD＝AE； （2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求CG的长． 20．（10分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元． （1）A，B两种花卉每盆各多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 21．（10分）如图，直线交x轴于点M，且OE＝4OM，以OM，反比例函数的图象经过点A于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标． 22．（10分）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝5：12的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°．若AF为水平的地面，其高度BC＝2米． （1）求点B到水平地面的距离． （2）求建筑物的高度DE．（精确到0.1米） （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E （1）求证：∠BDC＝∠BCE； （2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时； （3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 24．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，B两点作抛物线y＝﹣x2+bx+c，直线l是抛物线的对称轴． （1）求A，B两点的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）在对称轴l上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标，请说明理由． 25．（12分）【问题情境】 如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F （1）四边形BE′FE的形状是 　 　； 【解决问题】 （2）若CF＝3，BE＝3CF，则正方形ABCD的面积为 　 　； 【猜想证明】 （3）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明． 2024年贵州省黔东南州从江县贯洞中学中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1．（3分）﹣的相反数是（　　） A． B．3 C．﹣ D．﹣3 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣的相反数是， 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．（3分）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录．数据10909用科学记数法可表示为（　　） A．0.10909×105 B．1.0909×104 C．10.909×103 D．109.09×102 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：10909＝1.0909×104． 故选：B． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键． 3．（3分）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件，要使有意义，则x﹣2≥0，据此求出x的取值范围，判断出使有意义的x的取值范围如何在数轴上表示即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣2≥2， 解得x≥2， ∴使有意义的x的取值范围在数轴上表示为． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数． 4．（3分）如图，一个立体图形由5个相同的正方体组成，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形， 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 5．（3分）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：＝＝，则A不符合题意； ＝，则B不符合题意； ＝（y≠0）； ＝＝﹣2； 故选：C． 【点评】本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 6．（3分）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　） A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130° 【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题． 【解答】解：如图， ∵三角尺的直角被直线m平分， ∴∠6＝∠7＝45°， ∴∠3＝∠1+∠6＝45°+60°＝105°， ∵m∥n， ∴∠5＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠7＝75°， ∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°， 故选项A、B、C不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 7．（3分）下列说法正确的是（　　） A．某种彩票中奖率为1%，买100张这种彩票一定会中奖 B．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 C．小红要调查自己的数学书中有无印刷错误，适合采用抽样调查 D．某学校为了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机抽取100名学生家长进行调查，这一问题中的样本是100 【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查的定义，随机事件的概念进行解题即可． 【解答】解：A、某种彩票中奖率为1%，故该项说法错误； B、在一定条件下，故该项说法正确； C、小红要调查自己的数学书中有无印刷错误，故该项说法错误； D、某学校为了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，这一问题中的100是样本容量，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 8．（3分）如图，在△ABC中，点D，BC的中点，以点A为圆心，DE＝5，则BF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】由三角形中位线定理知：AB＝2DE＝10．结合已知条件可以推知AF＝AD＝7，所以由图形得到BF＝AB﹣AD． 【解答】解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F， ∴AF＝AD＝7． 在△ABC中， ∵点D，E分别是AC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝10． ∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣4＝3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，根据已知条件“以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F”得到AF＝AD＝7是解题的突破口． 9．（3分）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（　　） A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用． 【解答】解：长方形的面积为： （a+4）2﹣（a+4）2 ＝（a+4+a+2）（a+4﹣a﹣1） ＝6（2a+5） ＝3a+15（cm2）． 答：矩形的面积是（6a+15）cm2． 故选：D． 【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方差公式进行计算，要熟记公式． 10．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【分析】由直线解析式求得m≤0，然后确定△的符号即可． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限， ∴m≤0， 当m＝0时，方程mx7+x+1＝0是一次方程，有一个根， 当m＜6时， ∵关于x的方程mx2+x+1＝3， ∴Δ＝12﹣4m＞0， ∴关于x的方程mx2+x+6＝0有两个不相等的实数根， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11．（3分）如图，▱ABCD中，∠C＝110°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l＝，即可计算出的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝110°， ∴∠B＝70°， ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB， ∴∠OEB＝70°， ∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°， ∵AB＝2，AB为⊙O的直径， ∴OA＝OB＝OE＝1， ∴的长为：＝， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧长公式l＝和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答． 12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】该函数开口方向向下，则a＜0，由对称轴可知，b＝2a＜0，与y轴交点在y轴正半轴，则c＞0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝0，顶点等进行判断即可． 【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0， ∵对称轴为x＝﹣1，则﹣， ∴b＝2a＜0， ∵与y轴交点在y轴正半轴， ∴c＞5， ∴abc＞0，故③正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞3，故②正确； 当x＝1时，y＝a+b+c＜0； 由抛物线的对称性可知，当x＝﹣6与x＝0时y值相同，故④错误． 综上，正确的个数有三个． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；当|a|越大时，抛物线开口越小，反之，则越大；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．（4分）分解因式：2a3﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　． 【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝2a（a2﹣5）＝2a（a+2）（a﹣7）， 故答案为：2a（a+2）（a﹣5） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，作为第一次传球　　． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过二次传球后，球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有4种等可能结果，球回到甲手中的有2种结果， ∴经过两次传球后，球回到甲手中的概率为＝， 故答案为：． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（4分）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，则△AOB与△COD的面积之比等于　1：3　． 【分析】结合图形可推出△AOB∽△COD，只要求出AB与CD的比就可知道它们的面积比，我们可以设BC为a，则AB＝a，根据直角三角函数，可知DC＝a，即可得△AOB与△COD的面积之比 【解答】解：∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放 ∴∠D＝30°，∠A＝45° ∴∠A＝∠OCD，∠D＝∠OBA ∴△AOB∽△COD 设BC＝a ∴CD＝a ∴S△AOB：S△COD＝1：7 故答案为1：3 【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质等，本题关键在于找到相关的相似三角形 16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，点M在线段AC上，且AM＝3，则MP+PB的最小值是 　　． 【分析】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE＝PB，则MP+PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10， ∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∵PE⊥BC， ∴PE＝PB， ∴MP+PB＝PM+PE， ∴当点M，点P，PM+PE有最小值为ME， ∵AM＝3， ∴MC＝5， ∵sin∠ACB＝＝， ∴ME＝， ∴MP+PB的最小值为， 故答案为． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，将MP+PB转化为PM+PE是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）解不等式：； （2）解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x． 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）整理后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得3（x﹣3）≤2（7﹣x）， 去括号，得3x﹣6≤14﹣2x， 移项，得4x+2x≤14+6， 合并同类项，得6x≤20， 系数化为1，得x≤4； （2）3x2﹣3x＝3﹣2x， 原方程化为 2x7﹣x﹣1＝0， （4x+1）（x﹣1）＝2， 2x+1＝8或x﹣1＝0， 解得：x7＝﹣，x8＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能选择适当的方法解方程是解（2）的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 18．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 a 9 众数 8 b 优秀率 45% 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　8　，b＝　9　； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值． （2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解． （3）根据优秀率进行评价即可． 【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，4，8，8，3，8，8，3，8，8，8，9，9，7，10，10，10． ∴中位数a＝8． 根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9． 故答案为：2；9． （2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为＝102（人）． （3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异． 【点评】本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答． 19．（10分）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，交CB的延长线于点G，且EF＝EC． （1）求证：CD＝AE； （2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求CG的长． 【分析】（1）若要证明CD＝AE，则可证明两条线段所在的三角形全等即可； （2）由AD∥BC可证△AEF∽△BGF，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出BG的长，进而求出CG的长． 【解答】（1）证明：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC＝90°． ∴∠AEF+∠DEC＝90°，而∠ECD+∠DEC＝90°， ∴∠AEF＝∠ECD． 又∠FAE＝∠EDC＝90°，EF＝EC， 在Rt△AEF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△DCE（AAS）． ∴AE＝CD． （2）∵AD＝AE+4， ∵矩形ABCD的周长为32 cm， ∴2（AE+AE+3）＝32． 解得 AE＝6． ∴AF＝4，BF＝4． 由AD∥BC可证△AEF∽△BGF． ∴． ∴BG＝3． ∴CG＝13． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等． 20．（10分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元． （1）A，B两种花卉每盆各多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【分析】（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，根据题意列出关于x的分式方程，求解、验根即可； （2）根据两种花卉的费用之和列出函数关系式，再根据t的取值范围求函数最值即可． 【解答】解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元， 根据题意，得：＝， 解这个方程，得：x＝1， 经检验，x＝5是原方程的解， 此时，x+0.5＝6+0.5＝7.5（元）， ∴A种花卉每盆1元，B种花卉每盆2.5元； （2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元， 由题意，得：w＝t+1.7（6000﹣t）＝﹣0.5t+9000， ∵t≤（6000﹣t）， 解得：t≤1500， ∵w是t的一次函数，﹣0.5＜0， ∴w随t的增大而减小， ∴当t＝1500时，w最小， wmin＝﹣0.4×1500+9000＝8250（元）， ∴购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元． 【点评】本题考查一次函数的应用和分式方程的解法，关键是根据已知条件列出函数关系式，在给定范围内求函数最值． 21．（10分）如图，直线交x轴于点M，且OE＝4OM，以OM，反比例函数的图象经过点A于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标． 【分析】（1）先求出点M的坐标，再根据矩形的面积求出点A的坐标，最后求出反比例函数的解析式； （2）根据点E的坐标求出点D的坐标，再求出AB的长度，最后再根据勾股定理求出BM的长度，从而求出点B的坐标． 【解答】解：（1）当y＝0时，， 解得：x＝1， ∴M（1，5）， ∵OE＝4OM＝4， ∴E（4，4）， ∵矩形OMAE， ∴A（1，3）， ∵点A（1，4）在反比例函数， ∴k＝1×4＝3， ∴． （2）当y＝4时，， 解得x＝6． ∴则点D（7，4）， 在Rt△AMB中，， ∴B（﹣2，0）或（3． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，以及勾股定理的运用，熟练掌握一次函数和反比例函数的图形和性质以及勾股定理是解答本题的关键． 22．（10分）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝5：12的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°．若AF为水平的地面，其高度BC＝2米． （1）求点B到水平地面的距离． （2）求建筑物的高度DE．（精确到0.1米） （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】（1）延长CB交AF于点H，根据斜坡AB的坡度为i＝5：12，设BH＝5x米，AH＝12x米，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点C作CP⊥DE，垂足为P，则CH＝PE＝12米，然后在Rt△CPE中，利用锐角三角函数的定义求出CP的长，再在Rt△CDP中，利用锐角三角函数的定义求出DP的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）延长CB交AF于点H， ∵斜坡AB的坡度为i＝5：12， ∴＝， 设BH＝7x米，AH＝12x米， 在Rt△ABH中，AB＝26米， ∴AH2+BH2＝AB4， ∴（12x）2+（5x）7＝262， ∴x＝2或x＝﹣8（舍去）， ∴BH＝5x＝10（米）， ∴点B到水平地面的距离为10米； （2）过点C作CP⊥DE，垂足为P， 则CH＝PE＝BC+BH＝2+10＝12（米）， 在Rt△CPE中，∠PCE＝30°， ∴CP＝＝＝12， 在Rt△CDP中，∠DCP＝37°， ∴DP＝CP•tan37°≈12×0.75＝9， ∴DE＝DP+PE＝9+12≈27.6（米）， ∴建筑物的高度DE约为27.6米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E （1）求证：∠BDC＝∠BCE； （2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时； （3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【分析】（1）证明：连接OC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAO＝∠BDC，利用切线的性质得到∠OCE＝90°，则根据等角的余角相等得到∠ACO＝∠BCE，由于∠CAO＝∠ACO，则利用等量代换可得到结论； （2）如图，先根据垂径定理得到DF垂直平分AC，AB垂直平分CD，则AC＝CD＝AD，所以△ACD为等边三角形，则根据等边三角形的性质得到∠BAC＝∠BAD＝30°，再利用圆周角定理得到∠BOC＝∠BOD＝60°，然后证明DG∥OC，则利用OC⊥CE得到DG⊥CE； （3）根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S扇形BOD﹣S△BOD进行计算． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵直线CE为⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵∠OCB+∠ACO＝90°，∠OCB+∠BCE＝90°， ∴∠ACO＝∠BCE， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵∠CAO＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠BCE； （2）证明：如图， ∵F点为AC的中点， ∴DF⊥AC， 即DF垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∵CD⊥AB， ∴AB平分CD， 即AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴AC＝CD＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠CAD＝60°， ∴∠BAC＝∠BAD＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD＝60°， ∵OB＝OD， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°， ∵∠BOC＝∠OBD， ∴DG∥OC， ∵OC⊥CE， ∴DG⊥CE； （3）解：图中阴影部分面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×67＝6π﹣9． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理和扇形面积的计算． 24．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，B两点作抛物线y＝﹣x2+bx+c，直线l是抛物线的对称轴． （1）求A，B两点的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）在对称轴l上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标，请说明理由． 【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，得 y＝3；令y＝0，得 x＝3，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）当AP＝BP时，列出等式，即可求解；当AP＝AB或BP＝AB时，同理可解． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0； 令y＝4，得 x＝3， ∴A（3，6），3）． （2）把B（0，8）代入 y＝﹣x2+bx+c得：y＝﹣x2+bx+8， 将点A坐标代入上式得：0＝﹣9+4b+3， 解得：b＝2， ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x5+2x+3． （3）存在． 由（2）知，抛物线的函数解析式为 y＝﹣x5+2x+3， ∴对称轴l为直线 ． ∵点P在对称轴l上， ∴设P（1，m）． ∵A（3.5），B（0.3）． ∴AP4＝（3﹣1）8+（0﹣m）2＝5+m2． B a2＝（3﹣0）2+（5﹣m）2＝m2﹣8m+10， AB2＝（3﹣2）2+（0﹣7）2＝18． 当AP＝BP时， 则4+m6＝m2﹣6m+10 解得m＝2， ∴P（1，1）； 当AP＝AB或BP＝AB时， ∴2+m2＝18或m2﹣3m+10＝18，  解得：m＝14或﹣14或3+或3﹣． ∴P（5，14）或（1，﹣，3+，4﹣）， 综上，点P的坐标为：（1，﹣）或（1）或（8）或（1． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、求函数表达式等，分类求解是解题的关键． 25．（12分）【问题情境】 如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F （1）四边形BE′FE的形状是 　正方形　； 【解决问题】 （2）若CF＝3，BE＝3CF，则正方形ABCD的面积为 　225　； 【猜想证明】 （3）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明． 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）由勾股定理可求BC2的值，即可求解； （3）过点D作DH⊥AE于点H，则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，由“AAS”可证△ADH≌△BAE，可得AH＝BE，即可求解． 【解答】解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形， 理由：如图1中， ∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的， ∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°， 又∵∠BEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 由旋转可知：BE＝BE'， ∴四边形BE'FE是正方形； 故答案为：正方形； （2）∵CF＝3，BE＝2CF， ∴BE＝9， ∵四边形BE'FE是正方形， ∴E'F＝BE'＝9，∠E'＝90°， ∴CE'＝12， ∴BC6＝E'C2+E'B2＝81+144＝225， ∴正方形ABCD的面积＝BC2＝225； 故答案为：225； （3）结论：CF＝E'F， 理由如下：如图2中，过点D作DH⊥AE于点H， 则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°， ∵DA＝DE， ∴AH＝EH＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB， 在△ADH和△BAE中， ， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE， 由旋转可知：AE＝CE'， 由（1）可知：四边形BE'FE是正方形， ∴BE＝E'F， ∴E'F＝AH＝AE＝， ∴CF＝E'F． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/27 13:28:12；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$