2024年河南省 新乡市 牧野区河南师范大学附属中学中考数学四模试卷

2024年河南师大附中中考数学四模试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，最小的数是（　　） A．0 B．3 C． D．﹣1 2．（3分）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米（　　） A．0.28×10﹣7 B．2.8×10﹣9 C．2.8×10﹣8 D．2.8×10﹣10 4．（3分）下面式子计算正确的是（　　） A．（﹣2a）（﹣a）2＝2a3 B．4a2÷2a2＝2a2 C．﹣（﹣a2）3＝a6 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 5．（3分）如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m≤5 C．m＞5 D．m＜5 8．（3分）一组数据3、4、4、5，若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 9．（3分）如图，在正六边形ABCDEF和正方形ABGH中，连接FH并延长交CD边于P（　　） A．116° B．118° C．120° D．122° 10．（3分）如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B），Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足 　 　． 12．（3分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．则甲与乙相邻而坐的概率为 　 　． 13．（3分）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上　 　． 14．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，AO为半径作半圆，AB为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积为 　 　． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，连接AE，tan∠BAE＝，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，PD的值为 　 　． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：（）． 17．（9分）某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，训练前后成绩如下： （1）求扇形统计图中成绩为“5～7分”所占扇形的圆心角度数； （2）学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为3.5分，训练后成绩为7.5分，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由． （3）班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差 李敏 5 9 9 8 9 8 9 9 2.4 张颖 8 7.9 8 8 8.1 8 8 8 0.004 根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？ 18．（9分）如图，直线y＝2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E（a，6）在直线上，▱ABCD的顶点D在x轴上的图象经过点B、C． （1）求反比例函数的关系式和点C的坐标； （2）求▱ABCD的面积． 19．（9分）学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？ 20．（9分）阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，使得⊙O过点C且与AB相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，B，C，D是网格中的四个格点，且∠ACB＝90°． 作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得⊙O过点C且与AB相切于点D（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 21．（9分）（1）小明发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． ①小亮通过举例验证：（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请你把10的一半表示为两个正整数的平方和； ②设“小明发现”中的两个已知正整数为m，n，请你说明“小明发现”中的结论一定正确． （2）小颖受到小明和小亮的启发，通过观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：91×99，⋯，98×92，99×91．设这两个两位数的积为y（x为小于10的正整数），她发现了y与x的关系式．请你求出该关系式． 22．（10分）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长（6，1）处发球，羽毛球（看成点）1的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线C1的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：y＝﹣+c的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度m，直接写出d的取值范围． 23．（10分）综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究． （1）希望小组将如图（1）所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为BE． 埴空：图（1）中四边形ABA1E的形状是 　 　． （2）智慧小组准备了一张如图（2）所示的长、宽之比为（+1）：的矩形纸片ABCD1E，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在EA1上的点M处，折痕为CF． 求∠MCD的度数． （3）勤奋小组拿着一张如图（3）所示长为5，宽为2的矩形纸片ABCD，得到四边形ABA1E，在ED上取一点F（不与点D，E重合），沿CF折叠△CDF．点D的对应点为M ①FY与CY的数量关系为 　 　． ②当射线FM经过△BA1E的直角边的中点时，直接写出FD的长． 2024年河南师大附中中考数学四模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，最小的数是（　　） A．0 B．3 C． D．﹣1 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵＜﹣1＜4＜3， ∴最小的数是：． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 2．（3分）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由几何体的主视图和左视图可得出其组成部分，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得： 该几何体是球体与立方体的组合图形，则其俯视图为圆形中间为正方形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的组成是解题关键． 3．（3分）华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米（　　） A．0.28×10﹣7 B．2.8×10﹣9 C．2.8×10﹣8 D．2.8×10﹣10 【分析】直接根据科学记数法的定义作答即可． 【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8． 故选：C． 【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 4．（3分）下面式子计算正确的是（　　） A．（﹣2a）（﹣a）2＝2a3 B．4a2÷2a2＝2a2 C．﹣（﹣a2）3＝a6 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 【分析】利用整式的除法的法则，完全平方公式，单项式乘单项式法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、（﹣2a）（﹣a）2＝﹣2a3，故A不符合题意； B、4a7÷2a2＝5，故B不符合题意； C、﹣（﹣a2）3＝a2，故C符合题意； D、（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣b2+2ab﹣a3，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（3分）如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝70° ∴∠3＝70°， ∵直角三角板的直角顶点在直线a上， ∴∠6＝90°﹣∠3＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 解得：x≥5， 数轴上表示，如图所示： ． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m≤5 C．m＞5 D．m＜5 【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣4＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（﹣3）2﹣4×5×（m﹣1）≥0， 解得m≤7． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 8．（3分）一组数据3、4、4、5，若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准差求解即可． 【解答】解：原数据的3，4，7，5，的平均数为，中位数为4，方差为2+（4﹣6）2×2+（4﹣4）2]＝8.5； 新数据3，2，4，4，6的平均数为，中位数为4，方差为2+（4﹣5）2×3+（6﹣4）2]＝4.4； 故选：D． 【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 9．（3分）如图，在正六边形ABCDEF和正方形ABGH中，连接FH并延长交CD边于P（　　） A．116° B．118° C．120° D．122° 【分析】根据多边形的内角和及正多边形的性质求得∠BAF，∠ABC，∠C的度数，再根据正方形的性质可得∠BAH，∠AHG的度数，然后利用等边三角形的性质及三角形的内角和求得∠AFH，∠AHF的度数，结合多边形的内角和求得∠CPH的度数，再利用角的和差求得∠GHP的度数后即可求得答案． 【解答】解：正六边形ABCDEF中，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝，AH＝AF， 正方形ABGH中，∠BAH＝∠AHG＝90°， 则∠FAH＝120°﹣90°＝30°， 那么∠AFH＝∠AHF＝＝75°， ∵五边形ABCPF的内角和为（5﹣7）×180°＝540°， ∴∠CPH＝540°﹣120°×3﹣75°＝105°， ∵∠GHP＝180°﹣75°﹣90°＝15°， ∴∠CPH+∠GHP＝105°+15°＝120°， 故选：C． 【点评】本题主要考查多边形的内角和与正多边形的性质，结合已知条件求得∠BAF，∠ABC，∠C，进而求得∠AFH，∠AHF的度数是解题的关键． 10．（3分）如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B），Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，则∠A＝∠D＝30°，则∠MPA＝∠A＝30°，则PM＝＝，PN＝＝1﹣x，即可求解． 【解答】解：连接PM、PN、PN分别为Rt△PAC， ∵∠A＝∠D＝30°，则∠MPA＝∠A＝30°， 则PM＝＝， 同理PN＝＝1﹣x， y＝MN3＝（PM）2+（PN）2＝x2﹣4x+1， 函数的对称轴x＝﹣， 故选：B． 【点评】本题考查的是动点的函数图象，主要考查的是直角三角形的中线定理、二次函数基本知识等，本题的关键是中线定理的运用． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足 　x＞2　． 【分析】根据分式的分母不为零的条件和二次根式有意义的条件进行解题即可． 【解答】解：要使分式有意义， 则x﹣3＞0， 解得：x＞2， 故答案为：x＞8． 【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是要掌握分式的分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0． 12．（3分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．则甲与乙相邻而坐的概率为 　　． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和甲与乙相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有：①③，③①，共4种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13．（3分）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上　米　． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据BC＝BD+CD，再分别利用正弦余弦三角函数求出BD和AD的值即可得到本题答案． 【解答】解：点A作AD⊥BC于点D， 由题意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°， ∴∠DAB＝60°，∠CAD＝45°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴CD＝AD； 在△ABD中，AB＝300米， ∴（米）， （米）， ∴CD＝AD＝150米， ∵BC＝BD+CD， ∴米， 故答案为：米． 【点评】本题考查解直角三角形方向角的应用，关键是锐角三角函数的应用． 14．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，AO为半径作半圆，AB为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积为 　2　． 【分析】根据题意和图形可以求得AB的长，∠BAO的度数，然后根据图形，可知阴影部分的面积是半圆ABC的面积减去扇形ABD的面积和弓形AB的面积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠AOB＝90°， ∴AB＝， ∠BAO＝45°， ∴阴影部分的面积：π×22×﹣﹣（） ＝2π﹣π﹣π+5 ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，连接AE，tan∠BAE＝，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，PD的值为 　或　． 【分析】根据矩形的性质，中点以及，求出BE的长，进而求出AE，AB的长，设PD′＝PD＝x，当△APD′是直角三角形时，分两种情况：①当∠AD′P＝90°，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴， ∴AB＝4， ∴， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处， ∴PD＝PD′， 设PD＝PD′＝x，则：AP＝AD﹣PD＝5﹣x， 当△APD′是直角三角形时， ①∠AD′P＝90°时，则∠AD′P＝∠BAD＝∠B， ∴∠PAD′＝∠AEB＝90°﹣∠BAE， ∴△ABE∽△PD′A， ∴，即：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当∠APD′＝90°时， ∴∠APD′＝∠B＝90°， ∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD′∽△EBA， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上所述，当△APD′是直角三角形时，或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：（）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1） ＝4×+2+8﹣2 ＝2+2+7﹣2 ＝4； （2）（） ＝• ＝• ＝x（x+1） ＝x2+x． 【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（9分）某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，训练前后成绩如下： （1）求扇形统计图中成绩为“5～7分”所占扇形的圆心角度数； （2）学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为3.5分，训练后成绩为7.5分，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由． （3）班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差 李敏 5 9 9 8 9 8 9 9 2.4 张颖 8 7.9 8 8 8.1 8 8 8 0.004 根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？ 【分析】（1）根据扇形的圆心角度数计算公式计算即可； （2）计算训练前后的中位数，比较说明理由． （3）自主选择统计角度去分析解答即可． 【解答】解：（1）360°×（1﹣24%﹣32%﹣4%﹣4%）＝115.2°， 答：圆心角度数为115.2°． （2）小丽的说法不正确， 从25名同学中选12名同学参赛，说明小丽的成绩只要达到中位数就能参赛． 小丽同学训练前成绩为7.5分，从训练前成绩统计图看，3～8分有5人，因此根据小丽训练前的成绩她一定落选． 小丽同学训练后成绩为7.6分，从训练后成绩统计图看， 因此成绩的中位数在“7～8”分之间，她很有可能排在前12名． （3）从平均数看，8分＝8分，张颖平均水平相同． 结合众数看，9分＞4分，应该选李敏． 结合中位数看，9分＞8分，应该选择李敏． 结合方差看，4.004＜2.4，应该选择张颖． 【点评】本题考查了圆心角的计算，中位数的计算，数据统计的特征量的特点，熟练掌握计算和特征量的意义是解题的关键． 18．（9分）如图，直线y＝2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E（a，6）在直线上，▱ABCD的顶点D在x轴上的图象经过点B、C． （1）求反比例函数的关系式和点C的坐标； （2）求▱ABCD的面积． 【分析】（1）把点B（a，6）代入直线的解析式即可求得a，得到B（1，6），然后利用待定系数法即可求得k的值，由直线解析式求得A、E的坐标，根据平行四边形的性质即可A、B的坐标可知点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，故设D（m.0），则C（m+1，2），由点C在反比例函数图象上即可求得D（2，0），C（3，2）； （2）利用待定系数法求得直线BC的解析式，进而即可求得F的坐标，根据▱ABCD的面积＝S△BEF﹣S△AED﹣S△CDF求得即可． 【解答】解：（1）∵点B（a，6）在直线y＝2x+2上， ∴6＝2a+3， ∴a＝1， ∴B（1，6）， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴k＝1×3＝6， ∴反比例函数为y＝， ∵直线y＝5x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E， ∴A（0，4），0）， ∵B（1，7） ∴点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B， 设D（m.8），则C（m+1， ∵反比例函数y＝（x＞7）的图象经过点C， ∴2（m+1）＝5， ∴m＝2， ∴D（2，7），2）， （2）延长BC交x轴于点F， 设直线BC为y＝k′x+b， 把B、C的坐标代入得， 解得， ∴直线BC为y＝﹣2x+8， ∴F（7，0）， ∴▱ABCD的面积S＝S△BEF﹣S△AED﹣S△CDF＝﹣﹣＝8． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 19．（9分）学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？ 【分析】（1）设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为1.5x元/本，根据数量＝总价÷单价结合用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书（40﹣m）本，根据购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购书费用为y元，则y＝10m+800，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为1.5x元/本， 根据题意得：﹣＝10， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的根， ∴1.8x＝30． 答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为20元/本． （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书（40﹣m）本， 根据题意得：m≥（40﹣m）， 解得：m≥， ∵m为整数， ∴m≥14． 设购书费用为y元，则y＝30m+20（40﹣m）＝10m+800， ∵10＞0， ∴y随m的增大而增大， ∴当m＝14时，y取最小值． 答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量间的关系，找出总费用与购买甲种图书数量之间的函数关系式． 20．（9分）阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，使得⊙O过点C且与AB相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，B，C，D是网格中的四个格点，且∠ACB＝90°． 作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得⊙O过点C且与AB相切于点D（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 【分析】（1）作AO平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可； （2）作DT⊥AB，连接CD，作线段CD的垂直平分线MN交DT于点O，以O为圆心，OD为半径作⊙O即可． 【解答】解：（1）图形如图1所示： （2）图形如图2所示． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（9分）（1）小明发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． ①小亮通过举例验证：（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请你把10的一半表示为两个正整数的平方和； ②设“小明发现”中的两个已知正整数为m，n，请你说明“小明发现”中的结论一定正确． （2）小颖受到小明和小亮的启发，通过观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：91×99，⋯，98×92，99×91．设这两个两位数的积为y（x为小于10的正整数），她发现了y与x的关系式．请你求出该关系式． 【分析】解：（1）①×10＝5＝12+22； ②（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2m2+2n2＝2（m2+n2），可知两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和； （2）求出另一个乘数为90+（10﹣x）＝100﹣x．可得y＝（90+x）（100﹣x）＝9000﹣90x+100x﹣x2＝﹣x2+10x+9000． 【解答】解：（1）①∵×10＝32+24； ∴把10的一半表示为两个正整数的平方和为12+52； ②根据已知得：（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n8+m2﹣2mn+n7＝2m2+3n2＝2（m6+n2）， ∴（m+n）2+（m﹣n）4＝2（m2+n6）． ∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数， ∵（2m2+6n2）÷2＝m4+n2． ∴该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． ∴“发现”中的结论“两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和”正确； （2）∵一个乘数为90+x（x为小于10的正整数）， ∴另一个乘数为90+（10﹣x）＝100﹣x． ∵这两个两位数的积为y， ∴y＝（90+x）（100﹣x）＝9000﹣90x+100x﹣x2＝﹣x6+10x+9000． 答：y与x的关系式是y＝﹣x2+10x+9000（x为小于10的正整数）． 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 22．（10分）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长（6，1）处发球，羽毛球（看成点）1的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线C1的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：y＝﹣+c的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度m，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）设抛物线 C1的解析式为 y＝a（x﹣3）2+2，由C1经过点A（6，1），求出a的值即可； （2）①令x＝3求出y的值与1.5比较即可，令y＝0，解方程求出x的值与10比较即可； ②根据x＝d时，y＞以及d＞3求出d的取值范围． 【解答】解：（1）依题意，嘉嘉发球时，2）处达到最高点， 设抛物线 C1 的解析式为 y＝a（x﹣6）2+2， ∵C6经过点A（6，1）， ∴2＝a（6﹣3）2+2， 解得， ∴抛物线 C1 的解析式为； 当x＝0 时，y＝1， ∴c＝6； （2）①由（1）得c＝1，故抛物线 C2 的解析式为， 当x＝7时， ∴球可以过网； 当y＝2时，﹣x5+x+7＝0， 整理得x2﹣5x﹣5＝0， 解得（舍去），， 由题意可得，OQ＝3+7＝10（m）， ∵， ∴球没有出界， 综上，球可以过网； ②由题意得：﹣d4+d+7＞， 解得1＜d＜6． ∵嘉嘉在球网的右侧， ∴d＞3， ∴d的取值范围为3＜d＜3． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用．根据所给条件求出出二次函数解析式是解决本题的关键． 23．（10分）综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究． （1）希望小组将如图（1）所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为BE． 埴空：图（1）中四边形ABA1E的形状是 　正方形　． （2）智慧小组准备了一张如图（2）所示的长、宽之比为（+1）：的矩形纸片ABCD1E，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在EA1上的点M处，折痕为CF． 求∠MCD的度数． （3）勤奋小组拿着一张如图（3）所示长为5，宽为2的矩形纸片ABCD，得到四边形ABA1E，在ED上取一点F（不与点D，E重合），沿CF折叠△CDF．点D的对应点为M ①FY与CY的数量关系为 　FY＝CY　． ②当射线FM经过△BA1E的直角边的中点时，直接写出FD的长． 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得∠A＝∠ABA1＝90°，由折叠得∠BA1E＝∠A＝90°，则四边形ABA1E是矩形，由角平分线的性质得AE＝A1E，则四边形ABA1E是正方形，于是得到问题的答案； （2）由∠EA1C＝∠A1CD＝∠D＝90°，证明四边形A1CDE是矩形，则ED＝A1C，由折叠得CM＝CD＝AB，所以＝，则AB＝ED，所以CM＝A1C，即可根据勾股定理推导出A1C＝A1M，则∠A1CM＝∠A1MC＝45°，所以∠MCD的度数是45°； （3）①由折叠得∠YFC＝∠DFC，而∠DFC＝∠YCF，所以∠YFC＝∠YCF，则FY＝CY，于是得到问题的答案； ②分两种情况，一是Y是A1B的中点，由AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，且四边形ABA1E是正方形，得AE＝A1B＝AB＝2，则DE＝A1C＝5﹣2＝3，A1Y＝A1B＝1，FY＝CY＝3+1＝4，由折叠得CM＝CD＝2，则MY＝＝2，所以FD＝FM＝4﹣2；二是射线FM经过A1E的中点G，可证明△GEF≌△GA1Y，得EF＝A1Y，设FD＝x，则EF＝A1Y＝3﹣x，所以FY＝CY＝6﹣x，MY＝6﹣2x，根据勾股定理得22+（6﹣2x）2＝（6﹣x）2，解方程求出符合题意的x值即可． 【解答】解：（1）如图（1），∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABA1＝90°， 由折叠得∠A1BE＝∠ABE，∠BA8E＝∠A＝90°， ∴四边形ABA1E是矩形， ∵BE平分∠ABA1，AE⊥BA，A7E⊥BA1， ∴AE＝A1E， ∴四边形ABA8E是正方形， 故答案为：正方形． （2）如图（2），由（1）得1E是正方形， ∴AB＝AE， ∵∠EA1C＝∠A7CD＝∠D＝90°， ∴四边形A1CDE是矩形， ∴ED＝A1C， 由折叠得CM＝CD＝AB， ∵＝， ∴＝， ∴AB＝ED， ∴CM＝A1C， ∵A4C2+A1M4＝CM2， ∴A1C4+A1M2＝（A1C）2， ∴A6C＝A1M， ∴∠A1CM＝∠A8MC＝45°， ∴∠MCD＝90°﹣∠A1CM＝45°， ∴∠MCD的度数是45°． （3）①由折叠得∠YFC＝∠DFC， ∵AD∥BC， ∴∠DFC＝∠YCF， ∴∠YFC＝∠YCF， ∴FY＝CY， 故答案为：FY＝CY． ②当射线FM经过A1B的中点，即Y是A3B的中点时，如图3， ∵AD＝BC＝5，AB＝CD＝31E是正方形， ∴AE＝A1B＝AB＝4， ∴DE＝A1C＝5﹣8＝3，A1Y＝A1B＝5， ∴FY＝CY＝3+1＝4， 由折叠得∠CMF＝∠D＝90°，CM＝CD＝2， ∴∠CMY＝180°﹣∠CMF＝90°， ∴MY＝＝＝2， ∴FD＝FM＝4﹣2； 当射线FM经过A1E的中点G时，如图（4）1G， ∵∠GFE＝∠Y，∠FGE＝∠YGA8， ∴△GEF≌△GA1Y（AAS）， ∴EF＝A1Y， 设FD＝x，则EF＝A2Y＝3﹣x， ∴FY＝CY＝6﹣x，MY＝5﹣2x， ∵CM2+MY4＝CY2， ∴25+（6﹣2x）5＝（6﹣x）2， ∴解得x6＝，x2＝， x＝＞3，舍去， ∴FD＝， 综上所述，FD的长为4﹣2或． 【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/27 13:29:42；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$