精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考模拟数学试题（五）

南岗区2024年九年级复习情况调研（五） 数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如果把收入元记作元，那么支出元记作（ ）元. A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆的直径，圆心为．若的长为6，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. B. 3 C. D. 5 8. 抛物线与x轴交于点，则该抛物线与x轴另一交点的坐标是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　） A. 2 B. 4 C. D. 10. 周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是(　　) A. 小涛家离报亭的距离是900m B. 小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C. 小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D. 小涛在报亭看报用了15min 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年指光在一年内走过的路程，约等于，数可以用科学记数法表 示为____________. 12. 因式分解：______． 13. 计算：___． 14. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 15. 一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球为黑球的概率为______． 16. 抛物线的顶点坐标是________________． 17. 如图，顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为______． 18. 如图，正八边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）． 19. 如图，在矩形中，，，点在上，且，点是边上的点，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形．当，，三点共线时，则线段的长为________________． 20. 已知四边形，若，则______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中满足． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． （1）在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； （2）在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 23. 诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在.某学校组织学生参加“冰城读书月诗词大赛”区级选拔赛.为了解该校学生参赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；，并绘制出如下统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有多少人? （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该学校分以上的学生有多少名． 24. 已知， 中， ，和 均为等边三角形， 与交于点F， 直线交于点 G． （1）如图1， 求证: G为 中点； （2）如图2， 若 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有 的角． 25. 从甲地到乙地有一段平路与一段上坡路，若骑自行车，平路每小时 15千米，上坡每小时10千米，下坡每小时18千米，因此从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟. （1）求甲、乙两地的全程是多少千米； （2）小明以上述速度从乙地去甲地，骑行了8分钟后接到电话，需比计划提前5分钟到达甲地(接电话的时间不计).求小明接电话后骑车的速度至少是每小时多少千米. 26. 如图1，是的内接三角形，过圆心作于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点，点在线段上，过点作于点，若时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，连接，，的周长为，求的半径的长． 27. 已知：四边形内接于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的直径，交于点，交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，切于点，连接，，分别交，于点，，若，，，求线段的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 函数分别交x轴交于点A，交y轴于点B， C是第一象限直线上一点， 过点C 作， 交 x轴于点D，. （1）求k的值； （2）点E是线段上一点，， 交x轴于点F， 连接， 设点 E 的横坐标为t， 的面积为S， 当时，求S与t的函数关系式； （3）在 （2）的条件下， 点N为延长线上一点， 连接， G 是上一点， 连接交于点M，连接交于点H， H是中点，， 将直线沿翻折恰好经过点F， 求直线的解析式. 29. 在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，点A的坐标为(0，)，点D为抛物线的顶点． (1)如图1，求拋物线的顶点D的坐标； (2)如图2，点P是第一象限内对称轴右侧拋物线上一点，连接PB，过点D作DQ⊥BP于点H，交x轴于点Q，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CE∥y轴交BP的延长线于点E，点F为CE的中点，连接FQ，若∠DQC+∠CQF＝135°，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南岗区2024年九年级复习情况调研（五） 数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如果把收入元记作元，那么支出元记作（ ）元. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量．根据用正、负数表示具有相反意义的量即可求解． 【详解】解：把收入元记作元，那么支出元记作元， 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项等．根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加、同底数幂相除法则：底数不变，指数相减、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项、把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项、逐项分析即可求解． 【详解】解：A、，原计算错误，A不符合题意； B、，原计算错误，B不符合题意； C、，原计算正确，C符合题意； D、与，不是同类项，不能合并，D不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的中间是一个等腰三角形． 故选：A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故选：B 6. 如图，是半圆的直径，圆心为．若的长为6，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形．连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， 是半圆的直径， ， 在中，， ， 弦的长为， 故选：B． 7. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程根的判别式的值是， 故选D． 8. 抛物线与x轴交于点，则该抛物线与x轴另一交点的坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于点， ∴该抛物线与x轴另一交点的坐标是， 故选：B． 9. 如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这一定理是关键，注意定理中要求线段是对应的． 10. 周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是(　　) A. 小涛家离报亭的距离是900m B. 小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C. 小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D. 小涛在报亭看报用了15min 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意； B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意； C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意； D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查函数的图象． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年指光在一年内走过的路程，约等于，数可以用科学记数法表 示为____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 14. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≠-2 【解析】 【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，3x+6≠0， 解得x≠-2． 故答案为：x≠-2． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． 15. 一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球为黑球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 用黑球的个数除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：袋子中共个球，其中黑球有3个， 从中随机摸出一个球为黑球的概率为， 故答案为：． 16. 抛物线的顶点坐标是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数 的顶点坐标是，即可求出． 【详解】解： 顶点坐标为, 故答案为 ． 17. 如图，顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形中线的性质，面积法，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接，依题意得，再根据和的公共边上的高相等得，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，据此可得的值． 【详解】解：连接，如下图所示： 在中，斜边上的中线轴于点，的面积为5， ，轴， 和的公共边上的高相等， ， 反比例函数经过直角顶点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 反比例函数的图象在第一象限， ． 故答案为：10． 18. 如图，正八边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法是解题的关键．根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：． 19. 如图，在矩形中，，，点在上，且，点是边上的点，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形．当，，三点共线时，则线段的长为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：一是，，三点共线，且点在线段的延长线上；二是，，三点共线，且点在线段上，先根据矩形的四个角都是直角，对边平行且相等得出，，，，推得，根据折叠前后对应边和对应角都相等得出，，，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，结合锐角三角形函数进行求解即可． 【详解】解：如图，，，三点共线，且点在线段的延长线上，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，，在上，且， ∴，，，， ∴，， 由翻折得，，，， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，，，三点共线，且点在线段上，交于点， ∵，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形两个锐角互余，等角的余角相等，解直角三角形等，正确求出的长是解题的关键． 20. 已知四边形，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．作，，则，根据证明得，延长交的延长线与点F，设，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】作，，则． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 延长交的延长线与点F，则四边形是正方形， ∴． 设，则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的方法．先根据分式混合运算法则将原式进行化简，再解一元二次方程求的值，代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， 当时，原式． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． （1）在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； （2）在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 【答案】（1）如图：点即为所求． ， （2）解：如图：． 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等． （1）以为底的等腰，则点在的垂直平分线上，结合，即点到的距离等于点到的距离，即可确定点的位置；再根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可求出的周长； （2）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可推得，即可得出． 【小问1详解】 解：， 故的周长为． 【小问2详解】 理由：如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． 23. 诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在.某学校组织学生参加“冰城读书月诗词大赛”区级选拔赛.为了解该校学生参赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；，并绘制出如下统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有多少人? （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该学校分以上的学生有多少名． 【答案】（1） （2）补全条形统计图为： （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体． （1）根据扇形统计图可得的百分比，再用条形统计图中的人数除以的百分比可得本次调查的学生人数； （2）求出组的人数，补全条形统计图即可； （3）用组的人数除以抽调的总人数得出组人数所占比例，再乘以学校总人数即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为（人）． 【小问2详解】 解：组的人数为（人）， 图略 【小问3详解】 解：（人）， 故估计该学校分以上的学生有名． 24. 已知， 中， ，和 均为等边三角形， 与交于点F， 直线交于点 G． （1）如图1， 求证: G为 中点； （2）如图2， 若 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有 的角． 【答案】（1） 证明：∵在中，， ∴， ∵和 均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵中，， ∴，即G为 中点； （2），，，， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识， （1）结合等边对等角以及等边三角形的性质可证明，即有，再证明，可得，结合等腰三角形的“三线合一”即可证明； （2）结合等边三角形内角均为，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵和 均为等边三角形， ∴， ∵在中，，， ∴， 同理有：， ∴， ∵与相交，， ∴， 同理有：， 综上：图中角度为 的角有：，，，，． 25. 从甲地到乙地有一段平路与一段上坡路，若骑自行车，平路每小时 15千米，上坡每小时10千米，下坡每小时18千米，因此从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟. （1）求甲、乙两地的全程是多少千米； （2）小明以上述速度从乙地去甲地，骑行了8分钟后接到电话，需比计划提前5分钟到达甲地(接电话的时间不计).求小明接电话后骑车的速度至少是每小时多少千米. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式的实际应用： （1）设平路所用的时间为x小时，根据“上坡与下坡的路程相等”列一元一次方程求得x的值，即可求解； （2）由（1）可得下坡的时间，再设小明接到电话后骑车的速度是，根据题意列一元一次不等式，求得y的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：设平路所用的时间为x小时， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲、乙两地的全程是； 【小问2详解】 解：∵平路长：，坡路长：， ∴下坡的时间为， 设小明接到电话后骑车的速度是， 由题意得，， 解得， 答：小明接电话后骑车的速度至少是． 26. 如图1，是的内接三角形，过圆心作于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点，点在线段上，过点作于点，若时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，连接，，的周长为，求的半径的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形底边上的高和顶角的角平分线重合可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半即可证明； （2）先求得，根据四边形内角和是求得，根据等角的补角相等可得，过点作交于点，根据垂直于弦的直径平分弦可得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，即可证明； （3）连接，过点作交于点，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可得，设，则，求出，，结合垂直于弦的直径平分弦可得，，，结合的周长求出，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出的值，结合三角形的边长是正数求出的取值范围，确定的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点作交于点，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， 即， 在中，，在中，， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， 故舍去， 则． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，等角的补角相等，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，解一元二次方程等．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 27. 已知：四边形内接于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的直径，交于点，交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，切于点，连接，，分别交，于点，，若，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 证明：连接、、，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， 即垂直平分， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据在同圆中，等弦所对的弧相等可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，即可证明； （2）连接、、，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得，根据等腰三角形顶角的角平分线与底边上的高，底边上的中线重合可得，，即可得出垂直平分，根据垂直平分线上的点到两边的距离相等可得，根据等腰三角形底边上的高与顶角的角平分线重合可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，，推得，根据等边对等角可得，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，推得，根据等角的余角相等可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，推得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边即可证明； （3）连接、，过点作交于点，过点作交于点，则，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补可得，，，，推得，，根据题意设，则，，，根据等边对等角可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，结合（2）中结论可得，根据三角形的内角和是求得，推得，推得，根据等角的补角相等可得，根据等边对等角可得，推得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，推得，根据三角形的内角和是求得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，根据等角对等边可得，根据等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合可得，推得，设，则，，，，结合（2）可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，如图： 则， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∵， 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（2）可得， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设，则，，，， 结合（2）可得， 在中，，在中，， 故， 即， 解得，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等；作出辅助线，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理列方程是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 函数分别交x轴交于点A，交y轴于点B， C是第一象限直线上一点， 过点C 作， 交 x轴于点D，. （1）求k的值； （2）点E是线段上一点，， 交x轴于点F， 连接， 设点 E 的横坐标为t， 的面积为S， 当时，求S与t的函数关系式； （3）在 （2）的条件下， 点N为延长线上一点， 连接， G 是上一点， 连接交于点M，连接交于点H， H是中点，， 将直线沿翻折恰好经过点F， 求直线的解析式. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，继而可求得，则，则将代入，求得； （2）连接，过点C作轴于点P，则，由，得，则，故点，可求，因此在中，，而，故，由，得到，即； （3）延长交于点K，过点K作轴于点R，过点C作于点S，由，得到，可求得，，得到，则，而，设，则可推导，则，故，根据互余关系得到，故，可求得，则，可推导，由翻折可得，故在中，，则，因此由勾股定理得，则，而，故直线的表达式为：． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 令,则， ∴， ∴， ∴， 将代入， 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：连接，过点C作轴于点P，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交于点K，过点K作轴于点R，过点C作于点S， ∵， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， 设 ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则由勾股定理得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， 由翻折得， ∴， ∴在中，， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， 设直线的表达式为：，而， ∴有， 解得：， ∴直线的表达式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 29. 在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，点A的坐标为(0，)，点D为抛物线的顶点． (1)如图1，求拋物线的顶点D的坐标； (2)如图2，点P是第一象限内对称轴右侧拋物线上一点，连接PB，过点D作DQ⊥BP于点H，交x轴于点Q，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CE∥y轴交BP的延长线于点E，点F为CE的中点，连接FQ，若∠DQC+∠CQF＝135°，求点P的坐标． 【答案】(1)D(1，2)；(2)n＝4﹣m；(3)P(，)． 【解析】 【分析】（1）将点A代入抛物线解析式可求出a，抛物线解析式和顶点D可求． （2）分别过点D、P作x轴的垂线，可得到三角形相似，用点坐标转换线段长度，列比例关系就可以得到m和n的函数关系． （3）用点坐标转换为线段长度，可以得到相关线段的长度相等，从而得到全等三角形及相似三角形，列比例关系就可以得到点P的坐标． 【详解】(1)将点A(0，)代入抛物线中， ﹣3a＝， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+， ∵﹣＝1，解得y＝2， ∴D(1，2)． (2)如图1所示，过点D作DH垂直于x轴于点H，过点P作PN垂直于x轴于点N， ∴DH＝2，QH＝n﹣1，PN＝，BN＝m+1， ∵△BPN∽△DHQ， ∴，即， 解得n＝4﹣m． (3)如图2所示， ∵D(1，2)，Q(4﹣m，0)，C(3，0)B(﹣1，0)， ∴BN＝2，DN＝2，NQ＝3﹣m， ∵∠BNG＝∠DNQ，∠NDQ＝∠GBN， ∴△BGN≌△DNQ(ASA)， ∴GN＝NQ＝3﹣m， 连接GQ， ∴∠GQN＝45°， ∵∠DQC+∠FQC＝135°， ∴∠GQD＝∠FQC， ∵DG＝m﹣1， 过点P作y轴的平行线PM，过点D作x轴的平行线交MP于点M，连接MG， ∴MD＝m﹣1， ∴MD＝DG， ∴∠DGM＝45°， ∵∠NGQ＝45°， ∴∠MGQ＝90°， ∴∠MGP＝∠GQD＝∠FQC， 连接GF，GF∥BC， ∴∠GFQ＝∠FQC＝∠MGP，∠FGQ＝∠GMP＝45°， ∴△GMP∽△GQF， ∴， ∵,， ∴， 解得m1＝1(舍)，m2＝， ∴m＝， ∴P(，)． 【点睛】此题考查了几何图形和二次函数相结合的问题，解题关键在于用点坐标转换为线段长度，发现隐藏的线段长度相等，从而得到全等三角形和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $