精品解析：安徽省池州市青阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末考试八年级数学试题 一、选择题（共10题；共40分） 1. 关于x的代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 一个n边形的每个外角都是40°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 360° B. 1260° C. 1620° D. 2160° 3. 以下列数组为边长，能构成直角三角形是（ ） A. 2 ，3，4 B. 1，， C. 1，， D. 0.2，0.5，0.6 4. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 任意两个邻角互补 D. 对角线相等 6. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 7. 若样本，，，的平均数为，方差为，则对于样本，，，，下列结论正确的是（） A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为 C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为 8. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则（ ） A B. C. D. 9. 如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（　　） A. 4 B. C. 3 D. 二、填空题（每题4分；共20分） 11. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 12. 已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 _____． 13. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE最小值是___． 14. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）． 15. 如图，在矩形中，，，点N是边上的中点，点M是边上的一动点连接，将沿折叠，若点B的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为 _____． 三、解答题（第16—18各7分；第19，20各8分；第21题10分；第22题13分；共60分） 16. 计算 17. 解方程： 18. 一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到） 19. 争创全国文明城市——从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有300名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，满分100分，整理分析如下： 七年级： 八年级： 整理分析上面的数据，得到如下表格： 年级/统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 94 33.7 八年级 93 99 234 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：______，______； （2）根据统计结果，______年级的成绩更整齐； （3）七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为93分，根据上面统计情况估计______同学的成绩在本年级的排名更靠前； （4）若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？ 20. 已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由． 21. 在平行四边形中，的平分线交边于点，交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，连接，当时，求证：． 22. 如图，正方形中，点P是边上的一点（不与点C、D重合），连接，，O为的中点，过点P作于E，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的大小（用含a的式子表示）； （3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末考试八年级数学试题 一、选择题（共10题；共40分） 1. 关于x的代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即被开方式非负，分母不能为0，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查分式和二次根式有意义的条件，熟知分式的分母不为0和二次根式的被开方数为非负数是解答的关键． 2. 一个n边形的每个外角都是40°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 360° B. 1260° C. 1620° D. 2160° 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和． 【详解】解：多边形的边数是：， 则多边形的内角和是：． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便． 3. 以下列数组为边长，能构成直角三角形的是（ ） A 2 ，3，4 B. 1，， C. 1，， D. 0.2，0.5，0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断． 【详解】A．由于22+32=13≠42，故本选项错误； B．由于（）2+（）2=≠12，故本选项错误； C．由于12+（）2=3=（）2，故本选项正确； D．由于（0.2）2+（0.5）2=0.29≠（0.6）2=0.36，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．注意：只有当二次项的系数是1的时候，才是等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 任意两个邻角互补 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论． 【详解】解：平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，对角线互相平分；矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等； 根据平行四边形和矩形的性质可知：矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是对角线相等； 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的性质，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解决问题的关键． 6. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用"增长后的量=增长前的量×（1+增长率）"，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程． 【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2=280． 故选B． 【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 7. 若样本，，，的平均数为，方差为，则对于样本，，，，下列结论正确的是（） A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为 C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差随数据的变化规律进行判断，将一组数的每个数据都增加n，所得到的新一组数据的平均数就增加n，而方差不变． 【详解】解∶样本，对于样本来说， 每个数据均在原来的基础上增加了3，根据平均数、方差的变化规律得∶平均数较前增加3，而方差不变，即平均数为，方差为2． 故选∶A． 【点睛】本题考查平均数和方差，本题解题的关键是看出两组数据之间的关系，特别是系数之间的关系，本题是一个基础题． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，再证CF⊥BC，求出∠BCE=37°，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵CF⊥AD， ∴CF⊥BC， ∴∠BCF=90°， ∵∠ECF=53°， ∴∠BCE=90°-53°=37°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC=90°， ∴∠B=90°-∠BCE=90°-37°=53°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 9. 如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角形中位线的性质以及正方形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且． 理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴菱形是正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质，解题的关键是连接，构造平行线． 10. 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（　　） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，可得，故根据即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据，则△CEF的面积就会最大． 【详解】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD为菱形，△AEF为正三角形， ∴∠1+∠EAC∠BAD＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝∠D＝60°， 又∵AB＝CB＝AD＝CD， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC＝AB， ∴在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴， ∴是定值， 作AH⊥BC于H点，则BHAB＝3，AHAB＝3， ∴BC•AH， 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，AE最短， ∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又∵，则此时△CEF的面积就会最大， ∴＝9． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键． 二、填空题（每题4分；共20分） 11. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 【答案】2 【解析】 【分析】根据最简二次根式与能够合并，得与为同类二次根式，列式求出x即可. 【详解】∵最简二次根式与能够合并， ∴与为同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：2. 【点睛】本题是对同类二次根式的考查，熟练掌握同类二次根式知识是解决本题的关键. 12. 已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 _____． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到 ，则 ，再利用根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ， ∴． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握，若 ， 是一元二次方程 （ ）的两根时， ， ． 13. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___． 【答案】10 【解析】 【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】 如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小. ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE. ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10. 故答案为10. 14. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）． 【答案】m2+1 【解析】 【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】∵2m偶数， ∴设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2， 解得a=m2-1， ∴弦长为m2+1， 故答案为：m2+1． 【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点N是边上中点，点M是边上的一动点连接，将沿折叠，若点B的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为 _____． 【答案】或5 【解析】 【分析】分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案； 【详解】解：∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 由勾股定理可得， ， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 【点睛】本题考查翻折的性质，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键． 三、解答题（第16—18各7分；第19，20各8分；第21题10分；第22题13分；共60分） 16. 计算 【答案】 【解析】 【分析】先求算术平方根及零次幂、二次根式的乘除法，然后计算加减即可得出结果． 【详解】解：原式= = =． 【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及零次幂、绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，主要考查学生的计算能力，熟记求根公式是解答此题的关键．利用公式法求一元二次的方程的解即可． 【详解】解： 移项，得， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 18. 一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，再由勾股定理得，设AP为x km，则，得方程，解方程即可． 【详解】解：、D两村到储藏仓库P的直线距离相等， ， ，， ， 在和中，由勾股定理得：，， ， 设，则， ， 解得：， 答：储藏仓库P到A站点的距离约为 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 19. 争创全国文明城市——从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有300名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，满分100分，整理分析如下： 七年级： 八年级： 整理分析上面的数据，得到如下表格： 年级/统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 94 33.7 八年级 93 99 23.4 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：______，______； （2）根据统计结果，______年级的成绩更整齐； （3）七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为93分，根据上面统计情况估计______同学的成绩在本年级的排名更靠前； （4）若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？ 【答案】（1）98；92 （2）八 （3）小钟 （4）270人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）利用众数和中位数的意义可得与的值； （2）比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案； （3）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可； （4）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可． 【小问1详解】 解：七年级的众数为， 八年级成绩按由小到大排列为：85，87，90，91，91，93，96，99，99，99， 所以八年级的成绩的中位数为； 故答案：98，92； 【小问2详解】 解：因为，即八年级的方差比七年级的方差小， 所以八年级的成绩更整齐； 故答案为：八； 【小问3详解】 解：七年级和八年级的中位数分别为94和92， 所以小钟同学的成绩在本年级的排名更靠前； 故答案为：小钟； 【小问4详解】 解：估计两个年级获奖的共有（人）． 20. 已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）k＞﹣且k≠0；（2）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0， 即：12k+4＞0， 解得，k＞﹣， 又∵关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0是一元二次方程， ∴k≠0， ∴k＞﹣且k≠0； （2）不存在，理由如下： 设关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0的两个根分别是：x1，x2． ∴x1+x2＝，x1•x2＝， 假设：，即：， 解得：k＝﹣3， ∵k＞﹣且k≠0时，方程有两个不相等的实数根， ∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握根与系数的关系，列出关于k的方程，是解题的关键． 21. 在平行四边形中，的平分线交边于点，交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，连接，当时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形得，，所以，，由是的平分线得，所以，得； （2）延长、交于点，连接，可证得四边形是平行四边形，四边形是菱形，推出和都是等边三角形，再证明，得出，进而证得结论． 【小问1详解】 证明：如图1， 四边形是平行四边形， ，， ，， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，延长、交于点，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 和都是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 22. 如图，正方形中，点P是边上的一点（不与点C、D重合），连接，，O为的中点，过点P作于E，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的大小（用含a的式子表示）； （3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）首先根据正方形的性质得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而可得到； （3）连接，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后证明出是等腰直角三角形，得到，然后根据正方形的对称性得到，即可得到结论． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图所示，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$