精品解析：浙江省宁波市余姚市兰江中学2023-2024学年七年级下学期5月月考数学试题

2023学年第二学期学科竞赛 七年级数学·试题卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且最高次数为1的整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是等式，不符合二元一次方程的定义，故该选项是错误的； B、是最高次数为2的整式方程，故该选项是错误的； C、只有一个未知数，不符合二元一次方程的定义，故该选项是错误的； D、符合二元一次方程的定义，故该选项是正确的； 故选：D 2. 科学家在实验中测出某微生物细胞直径约为0.0000035米．其中“0.0000035”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：“0.0000035”用科学记数法可表示为 故选：B 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不符合因式分解的定义，故该选项是错误的； B、不符合因式分解的定义，故该选项是错误的； C、符合因式分解的定义，故该选项是正确的； D、不是整式，不符合因式分解的定义，故该选项是错误的； 故选：C 4. 若分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，列式，再解出来，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义 ∴ 解得 故选：A 5. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，进行判定两直线平行，或者同旁内角互补，进行判定两直线平行，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，不符合题意； B、∵，∴，不符合题意； C、是邻补角，不能判定，符合题意； D、∵，∴，不符合题意； 故选：C 6. 下列分式的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行判断即可解答． 【详解】解：A、，故本选项的变形错误； B、，故本选项的变形错误； C、，故本选项的变形错误； D、，故本选项的变形正确． 故选：D 7. 如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质．由可得，根据折叠得：，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠得：， ， 故选：C． 8. 阅读下列诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，两只没去处：六只栖一树，还闲一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”若设鸦有x只，树有y棵，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过理解题意，可知本题存在两个等量关系，即树的棵树鸦的只数，（树的棵树鸦的只数，根据这两个等量关系可列出方程组．考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 【详解】解：依题意，可设鸦有只，树棵． 则， 故选：A 9. 如图，一个大正方形由四个相同的长方形和一个小正方形组成，大正方形边长为a，小正方形边长为b，若用x，y表示四个长方形的边长，观察图案及以下关系式：①；②；③；④；其中正确关系式的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中每个图形的面积之间的关系即可判断出正确的有几个．本题考查了完全平方公式，整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 【详解】解：结合图形信息，∵大正方形边长为a，小正方形边长为b，若用x，y表示四个长方形的边长， ∴ ∴①是正确的； ∵大正方形边长为a，小正方形边长为b，若用x，y表示四个长方形的边长， ∴ 故②是错误的； ∵大正方形边长为a，小正方形边长为b，若用x，y表示四个长方形的边长， ∴ ③是正确的； ∵大正方形边长为a，小正方形边长为b，若用x，y表示四个长方形边长， ∴4个长方形的面积 ∴ ∴④是正确的； 故选：B． 10. 已知，为实数，设展开后的一次项系数为，展开后一次项系数为，若，且，为正整数，则下列说法正确的是（ ） A. 与的最大值和最小值都相等 B. 与的最大值和最小值都不相等 C. 与的最大值相等，最小值不相等 D. 与的最小值相等，最大值不相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法及其应用，解题时要能熟悉整式的相关变形．根据多项式的乘法法则，算出，且，进而得到，然后根据且、为正整数，判断出、有且仅有3对值：，，或，由此分别计算与的最值，然后根据它们的最大值与最小值的情况得出正确结论． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 解得：， ，且，为正整数， ，，或， 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，无意义； 综上所述，当时，有最大值；当、或、时，有最小值； 当时，有最大值，当、时，有最小值， 因此，与的最小值相等，都等于，最大值不相等， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入中即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ， ， 故答案为：． 12. 请写出一个满足条件“只含有字母，且当时，分式的值为”的分式______． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为的条件，解题的关键是掌握分式值为的条件．根据分式值为的条件：分子等于零，分母不为零，即可进行解答． 【详解】解：“只含有字母，且当时分式的值为”的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则．由可得，再把展开，代入式子即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 关于x的分式方程有增根，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是令最简公分母为0，求出增根． 先把分式方程去分母转化为整式方程，再把分式方程的增根代入进行计算即可． 【详解】解：， 去分母得： 整理得： ， ∵关于x的分式方程有增根， ∴增根是： 把代入得 解得： ， 故答案为：2． 15. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分数指数幂，因式分解，解题的关键是掌握二次根式的相关知识．由，，可得，，再把因式分解，最后代入式子计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， 故答案为：． 16. 如图，，的平分线交于点，，线段上有一点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，角的和差，解题的关键是分类讨论．设，则，，，分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，根据角的和差分别表示出、的度数，即可求解． 【详解】如图，当在下方时， 设， ， ，， ， ，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ，， ； 如图，当在上方时， 同理得：，， ； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除，积的乘方，实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算同底数幂相除，积的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先算乘方，负整数指数幂、零次幂，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 19. 解方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解分式方程． （1）利用加减消元法求解即可； （2）通过去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，检验，即可求解． 【小问1详解】 解： ：， ， ， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 解： 将检验，是原方程的解， 原方程的解是． 20. 先化简：），再从－2，－1，1，2选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用异分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=0或a=-1代入计算即可求出值． 【详解】原式 由此可知a不可取－2，1，2 当时，原式 【点睛】此题考查了分式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行角的等量代换得出，结合平行线的性质，则，进行角的等量代换得，即可作答． （2）先进行角的运算得出，结合平分，则，即可作答． 【小问1详解】 解：位置关系：（或平行） 理由：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 22. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂仓库里有100张正方形纸板和200张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ （2）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个？ 【答案】（1）加工竖式纸盒20个，横式纸盒40个 （2）原计划每天加工纸箱20个 【解析】 分析】（1）设加工竖式纸箱个，横式纸箱个，根据竖式纸箱需要4张长方形纸板，1张正方形纸板，横式纸箱需要3张长方形纸板，2张正方形纸板列出方程组，然后求解方程组即可； （2）设原计划每天加工纸箱个，根据“实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，且总共比原计划多加工40个”列出关于a的分式方程，然后求解方程验根即可． 【小问1详解】 解：设加工竖式纸箱个，横式纸箱个， 由题意，得， 解得， 答：加工竖式纸盒20个，横式纸盒40个； 【小问2详解】 解：设原计划每天加工纸箱个， 由题意，得， 解得∶， 经检验：是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天加工纸箱20个． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组应用，分式方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系的量列出方程（组）． 23. 对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】（1）是“相似方程”，理由见解析 （2）或3 【解析】 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【小问1详解】 解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． 【小问2详解】 解： ∵x，y，m均整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 24. 【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）因式分解： ； （2）运用拆项法因式分解：； （3）化简，并求该式的最小值． 【答案】（1） （2） （3），最小值为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 当时，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期学科竞赛 七年级数学·试题卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 科学家在实验中测出某微生物细胞直径约为0.0000035米．其中“0.0000035”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 4. 若分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式的变形中，正确的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 阅读下列诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，两只没去处：六只栖一树，还闲一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”若设鸦有x只，树有y棵，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个大正方形由四个相同的长方形和一个小正方形组成，大正方形边长为a，小正方形边长为b，若用x，y表示四个长方形的边长，观察图案及以下关系式：①；②；③；④；其中正确关系式的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知，为实数，设展开后的一次项系数为，展开后一次项系数为，若，且，为正整数，则下列说法正确的是（ ） A. 与的最大值和最小值都相等 B. 与的最大值和最小值都不相等 C. 与的最大值相等，最小值不相等 D. 与的最小值相等，最大值不相等 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值为______． 12. 请写出一个满足条件“只含有字母，且当时，分式的值为”的分式______． 13. 若，则代数式的值为______． 14. 关于x的分式方程有增根，则a的值为______． 15. 若，，则值为______． 16. 如图，，的平分线交于点，，线段上有一点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，则的值为______． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 因式分解： （1） （2） 19. 解方程（组）： （1） （2） 20. 先化简：），再从－2，－1，1，2选择一个合适的数代入求值． 21. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 22. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂仓库里有100张正方形纸板和200张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ （2）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个？ 23. 对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 24. 【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）因式分解： ； （2）运用拆项法因式分解：； （3）化简，并求该式最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$