精品解析：2024年广东省惠州市惠阳区半岛学校中考三模数学试题

2024年广东省惠州市惠阳区半岛学校中考三模数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 某种冠状病毒的大小约为，该数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 6. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时， C. 函数图象与轴的交点为 D. 函数图象经过第二、三、四象限 8. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为则下列结论：④关于x的方程无实根．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式： =___． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 13. 计算的结果是______． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 15. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 __________________． 16. 如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格． 19. 如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON． (1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． （1） ， ，补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ； （3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 22. 如图，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为（），转动点A距离地面的高度为． （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，，） 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度； （3）在（2）的条件下，求的面积． 24. 综合与实践 【问题情境】 通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”．不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”． 【操作实践】 如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形，连接对角线，在射线上截取了，过点E作交的延长线于点F，令． 【问题探究】 （1）求证：四边形为“标准矩形”． （2）如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段，在线段上取一点P，连接，． ①当平分时，求的长； ②当的周长最小时，求的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省惠州市惠阳区半岛学校中考三模数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 某种冠状病毒的大小约为，该数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000125=1.25×10-4． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面可看，是两个矩形，中间为一条实线． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算． ，，，，按公式运算即可． 【详解】A．，选项不符合题意． B．和不是同类项，没法合并，选项不符合题意． C．，选项符合题意． D．，选项不符合题意． 故选：C． 5. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，结合方差、平均数、中位数及众数的求法逐项验证即可得到答案． 【详解】A、原来数据的方差加入一个数后的方差一定发生了变化，不符合题意； B、原来数据的平均数是＝，加入一个数，平均数一定变化，不符合题意； C、原来数据的中位数是3，加入一个数后，如果中位数一定变化，不符合题意； D、原来数据的众数是2，加入一个数后众数仍为2，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查统计量的计算，熟记方差、平均数、中位数及众数的求法是解决问题的关键． 6. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，利用分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时， C. 函数图象与轴的交点为 D. 函数图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项不符合题意； C．当时，， ∴函数图象与y轴的交点坐标是，故本选项符合题意； D．∴，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： ； 故选C． 9. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 10. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为则下列结论：④关于x的方程无实根．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可． 【详解】解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 即，故②正确； ∵当时，， ∴， 即，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为n， ∴关于x的方程无实根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，故C正确． 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】解：原式： ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 15. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 __________________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 16. 如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长，由扇形弧长公式得，再由圆的周长公式即可求解；理解扇形的弧长与圆的周长之间的关系，掌握扇形弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 解得：； 故答案：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集是， 不等式组的整数解是 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解． 【详解】 由①得：得 由②得：得， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的整数解是：． 18. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格． 【答案】一个玻璃杯的价格是25元． 【解析】 【分析】由题目可知等量关系即相同数量的玻璃杯和保温杯，根据数量相等可以列出方程，进行解答． 【详解】解：设一个玻璃杯的价格是x元． 由题意，得：， 解这个方程，得：x＝25． 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意． 答：一个玻璃杯的价格是25元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 19. 如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON． (1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________． 【答案】 （1）如图，OB为所作； （2）156° 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作OB平分∠MON； （2）先利用平行线的性质得到∠MON=∠MAE=48°，再根据角平分线的定义得到∠NOB=24°，接着根据平行线的性质得到∠OBA的度数，然后利用邻补角的定义计算∠OBE的度数． 【详解】解：（1）略 （2）∵AE∥ON， ∴∠MON=∠MAE=48°， ∵OB平分∠MON， ∴∠NOB=∠MON=24°， ∵AB∥ON， ∴∠OBA=∠NOB=24°， ∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． （1） ， ，补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ； （3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1），， 补全频数分布直方图如图所示， （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）用频数分布直方图中的频数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用频数分布直方图中的频数除以再乘以可得，即可得的值；求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可． （）用乘以“”的人数所占的百分比，即可得出答案； （）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案； 本题考查了列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 故答案为：；； 测试成绩为（含）的人数为（人）， 【小问2详解】 在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为， 故答案为：； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； 【小问3详解】 解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 22. 如图，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为（），转动点A距离地面的高度为． （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）该消防车能实施有效救援； 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用． （1）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到； （2）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到，进而得到该消防车能否可以实施有效救援． 【小问1详解】 解：过点A作，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴ ∴该消防车能实施有效救援； 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度； （3）在（2）的条件下，求的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， 为劣弧的中点， ， ， 又为⊙O的切线， ， ； （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理可得，由为⊙O的切线可得，由平行线的判定定理可得结论； （2）连接，，设，则，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即； （3）连接，，设与交于点，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又证明四边形为矩形，所以面积为矩形面积的一半，进而可得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 设，则， 为劣弧的中点， ， ， 又， ， ， ， ， 为⊙O的直径， ， 又⊙O的半径为， ， 由得， 解得或（舍）， ； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， 由（2）知， ，， 在中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 为⊙O的直径， ， 由（1）可知，， 四边形为矩形， ，， ． 24. 综合与实践 【问题情境】 通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”．不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”． 【操作实践】 如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形，连接对角线，在射线上截取了，过点E作交的延长线于点F，令． 【问题探究】 （1）求证：四边形为“标准矩形”． （2）如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段，在线段上取一点P，连接，． ①当平分时，求的长； ②当的周长最小时，求的正切值． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为“标准矩形”． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知得，可证得，得证． （2）①由，，可得，得，，设，由得，解出即可． ②延长BF至点，使得，连接，交EF于点P，连接PB，则此时的周长最小，由轴对称的性质，得，所以，分别求出，长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵DP平分， ∴． 又∵，， ∴（SAS）． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 设，则． ∴， 解得． ∴． ②解：延长BF至点，使得，连接，交EF于点P，连接PB，如解图所示，则此时的周长最小． ∵，， ∴． ∴． 由轴对称的性质，得． ∴． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，涉及的知识点有勾股定理，全等三角形的判定和性质，应用轴对称求三角形的周长最短，锐角三角函数值的求法．熟练掌握相关的知识，添加适当的辅助线进行转化是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $