精品解析：2024年广东省天河区华南师范大学附属中学中考模拟数学试题

2023学年第二学期九年级阶段训练（4月） 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列四个实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，常见的有含的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如），由此即可求解． 【详解】解：选项，，不是无理数，不符合题意； 选项，，是开不尽方的数，是无理数，符合题意； 选项，，不是无理数，不符合题意； 选项，，不是无理数，不符合题意； 故选： 【点睛】本题主要考查实数的分类，二次根式的化简，三次根式的化简，掌握二次根式化简，三次根式的化简是解题的关键． 2. 中汽协发布数据显示，2024年1~2月，新能源汽车产销分别完成125.2万辆和120.7万辆，同比分别增长和，市场占有率达到30%．将数据125.2万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万 故选：B 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法运算法则化简求出即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 4. 如图，直线相交于点O，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，垂线性质，角度的和差，根据对顶角相等求出的度数，从而求出的度数，根据垂线性质得出，最后根据求出结果即可． 【详解】解：， ， ，即 故选：B． 5. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 6. 若关于的不等式的正整数解有且只有2个，则可能的值是（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据解的情况确定关于参数m的不等式，求解进而确定答案． 【详解】解：， ∴． ∵正整数解有且只有2个， ∴． ∴． 故选：A 【点睛】本题考查一元一次不等式的求解；由原不等式解的情况确定关于参数的不等式是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，过点作轴于点，由旋转可得，，由余角性质可得，进而由可证明，得到，，由此得到，再由勾股定理即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，则， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，在中，，垂足为D，BE平分交AD于点E，则DE的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据30°角所对直角边等于斜边一半，求出AD，再根据角平分线，得到AE=2ED即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵BE平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的判定，解题关键是熟练运用30°角所对直角边等于斜边的一半这一性质，推导线段之间的关系． 9. 等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可． 【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4， 此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4； ②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3； 综上，k的值为3或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形． 10. 如图，一个点在第一象限及轴，轴上运动，且每秒移动一个单位，在第秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动[即]，那么第秒时该点所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，该点的移动速度是1个单位/秒，到达时用了3秒，到达时用时了4秒，从到有4个单位长度，则到达时用了（秒），到时用了9秒，从到有6个单位长度，则到时用（秒），依以此类推到用秒，到用（秒），到用秒，到用（秒），即可得． 【详解】解：由题意可知，该点的移动速度是1个单位/秒， 到达时用了3秒，到达时用时了4秒，从到有4个单位长度，则到达时用了（秒），到时用了9秒，从到有6个单位长度，则到时用（秒）； 依此类推到用秒，到用（秒），到用秒，到用（秒）， 即第秒时该点所在位置的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律，解题的关键是理解题意，掌握点运动的变化规律． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0， 故答案为x≥-1且x≠0． 12. 分解因式：=______. 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解即可解答. 【详解】解：利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解可得， ， 故答案为 【点睛】本题考查了利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键. 13. 当时，化简：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记：是解题的关键． 14. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】考查解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．根据，求出，再由勾股定理求出斜边的长即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， 解得：， 正方形的面积为 故答案为： 16. 如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EC垂直平分AB， ∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE， ∵OA∥DC， ∴=， ∴AE=AD，OE=OC， ∵OA=OB，OE=OC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵AB⊥EC， ∴四边形ACBE是菱形，故①正确， ∵∠DCE=90°，DA=AE， ∴AC=AD=AE， ∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确， ∵OA∥CD， ∴， ∴，故③错误， 设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a， ∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a ∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确. 故答案是：①②④． 【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题. 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：； 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊三角形函数值，负整数指数幂，绝对值的运算，根据负整数指数幂，绝对值的运算，特殊三角形函数值，计算各项，再算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 如图，中，为上的两点，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，进而得，最后利用可证明，即可求证． 【详解】略 19. 已知； （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【答案】（1） （2）当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三条边的关系，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． （1）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简； （2）先求出a的取值范围，再选取一个使原分式有意义的值代入计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵a，2，3恰好是的三边长， ∴， ∵， ∴， 当时， 原式． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中中，点的三个顶点都在格点上．将在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点对应点，点对应点． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）在图中作出，并连接； （3）求在线段平移到线段的过程中扫过的面积； 【答案】（1）； （2） 如图，和即为所作： （3）19 【解析】 【分析】本题考查作图—平移变换： （1）根据点D的位置，结合平移的性质可得出答案． （2）运用平移的性质作出图形即可； （3）线段沿的方向平移到的过程中扫过的图形为平行四边形，求出面 【小问1详解】 解：点B的坐标为； ∵，， ∴由平移得点的坐标为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段沿的方向平移到的过程中扫过的图形为平行四边形， ． 21. 如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且 （1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形． 【答案】（1）如图，AF平分， ； （2）证明：∵，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵AF平分，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购买电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润． 【答案】（1）每台空调的价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元 （2）合适的方案共有7种，当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元 【解析】 【分析】（1）分式方程中的销售问题，题目中有两个相等关系，①每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等，用第一个相等关系，设每台空调的进价为m元，表示出每台电冰箱的进价为（m+400）元，用第二个相等关系列出方程． （2）销售问题中的确定方案和利润问题，题目中有两个不等关系，①要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，②总利润不低于13000元，根据题意设出设购进电冰箱x台（x为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，列出不等式组，确定出购买电冰箱的台数的范围，从而确定出购买方案． 【小问1详解】 解：设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价为（m+400）元． 根据题意得： 解得： 经检验．是原方程的解． 答：每台空调的价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元． 【小问2详解】 设购进电冰箱x(x为正整数)台，这100台家电的错售总利润为y元， 根据题得： 解得： ∵x为正整， ∴x=34，35，36，37，38，39，40 ∴合适的方案共有7种， 即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35名，空调65台； ③电冰箱36台；空调64台；④电冰箱37名，空调63台； ⑤电冰箱38名，空调62台；⑥电冰箱39名，空调61台； ⑦电冰箱40名，空调60台； ∵ ∴y随x的增大雨减小， ∴当时，y有最大值，最大值为(元) 答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价列出关于m的分式方程；（2）根据总利润=电冰箱的总利润+空调总利润找出y关于x的函数关系式． 23. 某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在处立一根标杆，标杆的影子为，，． （1）求的长； （2）从条件、条件这两个条件中选择-一个作为已知，求旗杆的高度． 条件：；条件：从处看旗杆顶部的仰角为． 注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据题意即可求解； （）若选择条件：根据同一时刻物高与影长成正比进行计算即可求解；若选择条件：过点作，垂足为，则，，解可得，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，投影的性质，掌握投影的性质及解直角三角形的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 若选择条件：由同一时刻物高与影长成正比得，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为； 若选择条件：过点作，垂足为， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 24. 如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接． （1）若 ， 求B 点和C 点坐标； （2）若 求m的值； （3）若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围． 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标； （2）由题意得，，，进而可得，推出，连接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，构建方程，求出即可； （3）设交轴于点，证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 当 时，， 令，得， 解得：，， 点在点的左侧， ， 令，得， ； 【小问2详解】 当时，， 解得：，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， 如图1中，连接， ， ，， ，，， 、关于对称轴直线对称， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 经检验，是方程的根， ， ； 【小问3详解】 如图2，设交轴于点， 当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即． ， ， ， 解得：， 又， 同法可得， ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25. 在和中，，，（k是常数），点E在内部运动（不包含边界），直线与交于点F． （1）如图（1），若，并且点D、F重合时，求证：； （2）如图（2），一般情形下，探究之间的数量关系，并给出证明； （3）如图（3），与交于点G，若，求的最大值． 【答案】（1） 证明：如图： ， ，， ， ， ， ， 即； （2）， 理由如下： ， ， ， ， ， ， 过点C作交于点M，则， ， ， ， ， ， ， ； （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，； （2）过点C作交于点M，则，，证明，，得，，再利用勾股定理即可得解； （3）先证明，推出，点F在以AB为直径的圆上，又因为点E在内部运动，所以F点在以AB为直径，弧上运动．过点F作，H为垂足，记中点为O，得出，推出，由于，所以，设，则，，当时，最大，且最大值为，进而得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以AB为直径的圆上，又因为点E在内部运动，所以F点在以AB为直径，弧上运动．过点F作，H为垂足，记中点为O， ∵，， ∴， 由于，所以，设，则，， 当时，最大，且最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，准确作出辅助线，掌握相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期九年级阶段训练（4月） 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列四个实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 中汽协发布数据显示，2024年1~2月，新能源汽车产销分别完成125.2万辆和120.7万辆，同比分别增长和，市场占有率达到30%．将数据125.2万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线相交于点O，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的正整数解有且只有2个，则可能的值是（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 7. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，垂足为D，BE平分交AD于点E，则DE的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 9. 等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，一个点在第一象限及轴，轴上运动，且每秒移动一个单位，在第秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动[即]，那么第秒时该点所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 12. 分解因式：=______. 13. 当时，化简：_____． 14. 如图，在中，，，，则______． 15. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为______． 16. 如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：； 18. 如图，中，为上的两点，，求证：． 19. 已知； （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中中，点的三个顶点都在格点上．将在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点对应点，点对应点． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）在图中作出，并连接； （3）求在线段平移到线段的过程中扫过的面积； 21. 如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且 （1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形． 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购买电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润． 23. 某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在处立一根标杆，标杆的影子为，，． （1）求的长； （2）从条件、条件这两个条件中选择-一个作为已知，求旗杆的高度． 条件：；条件：从处看旗杆顶部的仰角为． 注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 24. 如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接． （1）若 ， 求B 点和C 点坐标； （2）若 求m的值； （3）若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围． 25. 在和中，，，（k是常数），点E在内部运动（不包含边界），直线与交于点F． （1）如图（1），若，并且点D、F重合时，求证：； （2）如图（2），一般情形下，探究之间的数量关系，并给出证明； （3）如图（3），与交于点G，若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $