第1章 一元二次方程（单元测试·基础卷）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第1章 一元二次方程（单元测试·基础卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（      ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A． B． C． D． 4．关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 5．已知关于的方程：，则下列根的判别式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．方程的两个实数根的和与积分别是（   ） A．，6 B．，6 C．4， D．，6 7．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 8．如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 9．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（　　） A．3 B． C． D． 10．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是 ． 12．方程的解是 ． 13．若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ． 14．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．若，且点在数轴的正半轴上，则的值为 ． 15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 16．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 17．设，是的两根，则 ． 18．如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）解方程： (1)； (2)． 20．（8分）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 21．（10分）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 22．（10分）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    （1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ （2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 23．（10分）已知反比例函数的图像经过点． （1）求反比例函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求m的值． （3）请直接写出当时的取值范围是_______． 24．（12分）2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”． （1）求平均每月的增长率是多少？ （2）已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、化简后为是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 3．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 把常数项移到方程的右边，得：， 两边都加，得：，即． 故选：B． 4．D 【分析】根据一元二次方程定义解答即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程定义，一元二次方程的解法，熟记理解一元二次方程定义是本题的关键． 5．D 【分析】根据题意计算一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】解：在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查了求一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：方程即方程的两个实数根的和与积分别是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，是方程的两个实数根，则． 7．B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 8．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 即， 解得，或（不合题意，舍去）． ∴，， 在中，， ， 的周长． 故选：A． 9．A 【分析】设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：设， 两边平方得， 整理得， 解得，（舍去）， 即则． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法． 10．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是 ． 故选：C． 11． 【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）的解是， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查解方程，熟练掌握利用因式分解法解方程是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 故答案为：． 13．3 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握判别式公式解题的关键．根据题意可知，，，，代入，即可解得值． 【详解】解：根据题意可知，，，， ， ． 14．9 【分析】本题考查了一元二次方程的因式分解法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了数轴． 先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式，接着再用因式分解法把方程转化为或，然后再解两个一次方程． 【详解】解：根据题意得， 整理得，即：， ∴或， 所以，， 将代入中，得出为9，将代入中，得出为， 因点在数轴的正半轴上，故（舍去）； 故答案为：9． 15．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 16．20 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【详解】 因式分解得： 解得： ∵ ∴舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 17．2016 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，，，再逐步代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，设，易得：，再根据均在反比例函数图象上，列出方程求出的值即可． 【详解】解：∵矩形和正方形，点B的坐标为， ∴，， 设，则：， ∴， ∵顶点B，E都在反比例函数的图象上， ∴，解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， 开方，得， ∴，； （2）， 移项，得：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 20．若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 21．(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 22．(1)鸡场的长为15米，宽为10米 (2)不能 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为． （2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米． 23．(1)； (2)或． (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值； （3）当时，，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵，当时，， 又∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴当时的取值范围是 24．(1)平均每月的增长率是 (2)每个“宸宸”应降价元 【分析】本题考查一元二次方程得实际应用． （1）设平均每月的增长率是，根据二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”，列出方程进行求解即可； （2）设每个“宸宸”应降价元，根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 读懂题意，找准等两关系，正确得列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设平均每月的增长率是，由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 答：平均每月的增长率是； （2）设每个“宸宸”应降价元，由题意，得： ， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：每个“宸宸”应降价元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$