2025届高三高考数学一轮课时练习：对数函数图像的应用

2025届高三高考数学一轮课时练习： 对数函数图像的应用 一、单选题 1．函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 2．我们在概念课教学时会注意到这么一个素材：中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，事实上我们知道奇函数关于原点对称，选出以下不正确的选项（    ） A．函数是圆O的一个“太极函数” B．函数是圆O的一个“太极函数” C．函数是圆O的一个“太极函数” D．函数是圆O的一个“太极函数” 3．函数的图象必不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知正数，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数图象如图所示，则二次函数的图象顶点的横坐标的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 6．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则a，b，c大小为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 二、多选题 11．已知，则下列不等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）函数的图象一定过（    ） A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝log(x＋1)，f2(x)＝log(x＋2)，f3(x)＝logx2，f4(x)＝log(2x)，其中“同形”函数是（    ） A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x) C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x) 14．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．值域为 C．在上递增 D．有一个零点 三、填空题 15．如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    16．利用函数图像解不等式：的解集是 . 17．设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 ． 18．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 四、解答题 19．对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．    20．（1）计算对数函数当，0.5，1，2，4，8时的函数值； （2）计算常用对数函数当，10000时的函数值． 21．已知函数，设，函数的定义域为[m，n] (m<n)，值域为[0，1]，定义“区间[m，n]的长度等于n－m”，若区间[m，n]长度的最小值为求实数a的值； 22．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 答案： 1．A 【分析】根据对数函数的图象，结合函数图象的变换，即可求得结果. 【详解】的图象可由在轴下方的图象向上翻折得到， 而的图象可由的图象向左平移1个单位得到. 又的图象过点，则过点，且为连续函数，故其图象为A中所画. 故选：A. 2．D 【分析】运用函数的奇偶性直接判断即可. 【详解】由题意知，太极函数必定是奇函数， 对于A，必有，则， 故，是奇函数，故A正确, 对于B，当时，由对称性知也为太极函数，故正确， 对于C，，故为奇函数，故正确， 对于D，，故是偶函数，故错误， 故选:D 3．A 【分析】根据函数图象平移法则作出函数图象即可判断. 【详解】因为由向左平移两个单位得到的， 所以其图象如下图所示，    由图象可知，函数的图象必不过第一象限. 故选：A. 4．B 【分析】将式子变形，从而转化为比较和交点的横坐标的大小，数形结合即可判断. 【详解】因为，可得， ，可得， ，可得， 且考虑和的图象相交， 在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：    根据图象可知. 故选：B. 【点睛】关键点睛：对题意关系式整理，转化为和的图象的交点分析求解. 5．B 【分析】令，则，则得到顶点横坐标范围. 【详解】令，其中，则，由图知， 则的顶点横坐标为， 故选：B. 6．A 【分析】将问题转化为，，与坐标原点连线斜率大小关系的比较，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，可分别看作上的点，，与坐标原点连线的斜率， 作出图象如下图所示，    由图象可知：当时，. 故选：A. 7．D 【分析】a，b，c可以看成分别与，，图象的交点的横坐标，画出图象即可得出答案. 【详解】可以看成与图象的交点的横坐标为， 可以看成与图象的交点的横坐标为， 可以看成与图象的交点的横坐标为， 画出函数的图象如下图所示，    由图象可知，. 故选：D. 8．A 【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，， 由解得或 画出的图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集是. 故选：A 9．D 【分析】化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案. 【详解】的定义域是，AB选项错误. ①， 由解得或， 画出的图象如下图所示， 由图可知，不等式①的解集为. 故选：D 10．C 【分析】利用特殊值确定正确答案. 【详解】令，解得； 令，解得； 令，解得， 即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴 故，，的图象所对应的编号依次为③②①. 故选：C 11．AC 【分析】利用对数函数的图象与性质一一判定即可. 【详解】在同一坐标系中作出函数，，的图象， 从图中可以看出，当，，均在区间时，有， 当，，均在区间时，有，故A正确，B错误； 由于，所以有， 作出函数，，的图象，类似地可以得出C正确，D不正确. 故选：AC．    12．ABC 【分析】函数的图象就是把函数的图象向左平移2个单位，即得解. 【详解】因为，所以， 所以对数函数经过点，经过第一、四象限， 函数的图象就是把函数的图象向左平移2个单位， 所以函数的图象经过一二三象限. 故选： ABC. 13．AC 【分析】根据“同形”函数的定义，对所给函数进行平移，观察是否重合，从而判断是否满足定义. 【详解】由题知，，， ， 对于A，可将函数图像向右平移2个单位，然后向上平移1个单位得到，故满足定义，A正确； 对于C，可将函数图像向右平移1个单位，然后向上平移1个单位得到，故满足定义，C正确； 对于B、D，因函数为分段函数，有两部分图形组成，不能单独平移得到其他函数图形，故不满足定义，均错误； 故选：AC 14．BD 【分析】画出的函数图象即可判断. 【详解】画出的函数图象如下： 由图可知，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 值域为，故B正确； 在单调递减，在单调递增，故C错误； 有一个零点1，故D正确. 故选：BD. 15．，，， 【分析】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答. 【详解】的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)， 所以对应的a值分别为，， 的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)， 所以对应的a值分别为，， 综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，. 故答案为：. 16． 【分析】画出函数，的图像，根据图像得到答案. 【详解】画出函数，的图像，如图所示： 当时，，根据图像知：当时， 故答案为：. 17．/ 【分析】根据两函数的图象关于直线l对称，再结合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，可求得，从而可得出答案. 【详解】， 因为函数与的底数互为倒数， 而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称， 函数与的图像于直线l对称， 所以函数与的图像于轴对称， 即直线l为轴， 所以，所以， 则两个函数分别为，， 令，得，解得，此时， 所以l与这两个函数图像的公共点的坐标为. 18． 【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标. 【详解】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，因为点在函数的图像上， 所以，， 所以，所以， 解得，所以点的横坐标为. 故答案为： 19． 【分析】令时，分布求对应的实数根，根据图象确定的大小. 【详解】当时，，， 如图①，②，③，    由图可知 20．（1）；（2） 【分析】根据对数函数的性质即可得到答案. 【详解】（1）由对数的运算法则可得： 对于函数， ， ， ， ， 综上所述,结论是:取0.25,0.5,1,2,4,8时的函数值为. （2）由对数的运算法则可得： 对于函数, ， ， 则当，10000时的函数值分别为. 21．6 【分析】画出函数的图像，数形结合得知函数的可能定义域的情况，结合题意可解出的值. 【详解】画出函数的图像，如图所示， 结合图像可知，要使的值域是[0，1]， 其定义域可能是、、， 且， 因此结合题意可知， 所以. 22．(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴判断即可； （2）根据可知与关于轴对称，同理画出的图象即可； （3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可. 【详解】（1）当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数. . （3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称. 学科网（北京）股份有限公司 $$