2024年内蒙古自治区包头市第四十五中学中考数学三模试卷

2024年内蒙古自治区包头市第四十五中学中考数学三模试卷 一、选择题 1．的相反数为（　　） A．﹣3 B．3 C． D．﹣9 2．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（　　） A．（﹣，1） B．（﹣2，4） C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4） 5．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（　　） A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 D．200[1+x+（1+x）2]＝1000 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 10．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（　　） A．无论x取何值，y2总是负数 B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小 D．四边形AECD为正方形 二、填空题 11．计算的结果为 　 　． 12．如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为 　 　． 13．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是 　 　． 14．若关于x的分式方程无解，则m＝　 　． 15．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为　 　． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下4个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③AG＝；④S△BGF＝．在以上4个结论中正确的有 　 　． 三、解答题 17．（1）计算：． （2）解方程：． 18．如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“﹣3”、“﹣1”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为 　 　； （2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作x，第二次转出的数字记作y，点Q的坐标记作（x，y）．用树状图或列表法求转动两次后得到的点Q落在第四象限的概率． 19．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB＝400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732） 20．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120． （1）第40天，该厂生产该产品的利润是　 　元； （2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？ 21．如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD． （1）求证：∠OCA＝∠ADC； （2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长． 22．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，将线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，点F的对应点是点G，连接FG． （1）如图①，当点G在边CD上，且DG＝2，AF＝3时，求EF； （2）如图②，若E是AD的中点，EG与CD相交于点H，连接FH，求证：FE平分∠AFH； （3）如图③，若点F和点B重合，EG、FC分别交CD于点M、N，连接DG．求证：NG2＝MN•ND． 23．如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，若点P为抛物线在第三象限图象上的点，且∠PAB＝∠OCB，求P点的坐标； （3）如图2，点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标． 参考答案与试题解析 一、选择题 1．的相反数为（　　） A．﹣3 B．3 C． D．﹣9 【解答】解：＝3的相反数为：﹣3． 故选：A． 2．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 【解答】解：∵2x﹣a＞﹣3的解集在数轴上为：x＞﹣2， 则2x＞a﹣3， 即x＞， 故＝﹣2， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（　　） A．（﹣，1） B．（﹣2，4） C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4） 【解答】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大， ∴点C对应点C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）． 故选：D． 5．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【解答】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数， 故选：B． 6．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（　　） A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 D．200[1+x+（1+x）2]＝1000 【解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元， 又∵第一季度的总营业额共1000万元， ∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000， 即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000． 故选：C． 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝BC＝， ∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠ABC， ∴△CDE∽△CBA， ∴＝， ∴CE•CB＝CD•CA， ∵AC＝AB＝4， ∴•2＝4CD， ∴CD＝． 故选：B． 8．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：当a＝0，b＝﹣1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a＝﹣2，b＝﹣1； 若a＞1，则（a﹣1）0＝1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0＝1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a﹣1）0＝1，则a≠1； 两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题； 四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题． 故选：D． 9．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【解答】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8， 令x＝0，则y＝﹣4， ∴B（8，0），G（0，﹣4）， ∴OB＝8，OG＝4， 过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠EAB＝∠CBF， 在△AEB与△BFC中， ， ∴△AEB≌△BFC（AAS）， ∴AE＝BF，BE＝CF， ∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF， ∴△OBG∽△FBC， ∴＝， ∴设CF＝a，BF＝2a， ∴AE＝2a，BE＝a， ∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a）， ∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上， ∴2a（8﹣a）＝a（8+2a）， ∴a＝2，a＝0（不合题意舍去）， ∴A（6，4）， ∴k＝4×6＝24， ∴反比例函数表达式为y＝， 故选：D． 10．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（　　） A．无论x取何值，y2总是负数 B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小 D．四边形AECD为正方形 【解答】解：A、∵（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0， ∴无论x取何值，y2总是负数； 故不符合题意； B、∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2）， ∴当x＝1时，y＝﹣2， 即﹣2＝a（1+1）2+2， 解得：a＝﹣1； ∴y1＝﹣（x+1）2+2， ∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； 故不符合题意； C、∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6， ∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小； 故符合题意； D、设AC与DE交于点F， ∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2， 解得：x＝﹣3或x＝1， ∴点A（﹣3，﹣2）， 当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2， 解得：x＝3或x＝1， ∴点C（3，﹣2）， ∴AF＝CF＝3，AC＝6， 当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5， ∴DE＝6，DF＝EF＝3， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AC＝DE， ∴四边形AECD为矩形， ∵AC⊥DE， ∴四边形AECD为正方形． 故不符合题意． 故选：C． 二、填空题 11．计算的结果为 　　． 【解答】解： ＝× ＝． 故答案为：． 12．如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为 　8　． 【解答】解：设多边形的一个外角的度数是x°，列方程，得 3x+x＝180， 解得：x＝45， 多边形的边数为：360°÷45°＝8． 故答案为：8． 13．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是 　　． 【解答】解：根据两个转盘的特点，画树状图如下（第2个转盘中红色占50%，相当于2个红色，记为红1、红2）： 共有12种等可能的结果，其中红色与蓝色可配成紫色，有3种结果， ∴可配成紫色的概率是＝． 故答案为：． 14．若关于x的分式方程无解，则m＝　﹣4或6或1　． 【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2）， 解得m＝6． （2）x＝2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2）， 解得m＝﹣4． （3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）， 得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， 化简得：（m﹣1）x＝﹣10． 当m＝1时，整式方程无解． 综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解． 15．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为　2或6　． 【解答】解：分两种情况： ①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝， ∴BC＝AB×＝10×＝2， ∴B'C＝2，AC＝＝4， ∴AB'＝AC﹣B'C＝﹣2＝2； ②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形， 同理可得，B'C＝2，AC＝4， ∴AB'＝AC+B'C＝+2＝6； 综上所述，点A与点B'的距离为2或6． 故答案为：2或6． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下4个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③AG＝；④S△BGF＝．在以上4个结论中正确的有 　①②④　． 【解答】解：由折叠得：△DCE≌△DFE， ∴DF＝DC，∠DFE＝∠DCE，EC＝EF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°， ∴∠A＝∠DFG＝90°，AD＝DF， ∵DG＝DG， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴AG＝FG， ∴AG+EC＝FG+EF＝GE， 故①正确； ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE， ∴BE＝EF＝EC， ∴∠ECF＝∠EFC，∠EBF＝∠EFB， ∵∠ECF+∠EFC+∠EBF+∠EFB＝180°， ∴∠EFC+∠EFB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BF⊥CF， 故②正确； 设AG＝x，则BG＝6﹣x， 由Rt△ADG≌Rt△FDG得：AG＝FG， ∵点E是BC边上的中点， ∴EF＝CE＝BE＝3， 在Rt△BEG中，根据勾股定理得：BG2+BE2＝EG2， （6﹣x）2+32＝（x+3）2， 解得：x＝2， AG＝2， 故③不正确， ∴BG＝4， ∴GB＝2AG， ∴S△BEG＝BE•BG＝×3×4＝6， ∵△BEF和△BEG等高， ∴＝＝， 则＝， ∴S△BGF＝×6＝， 故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 17．（1）计算：． （2）解方程：． 【解答】解：（1）原式＝1+（）﹣1﹣|﹣|+2 ＝1+﹣+2 ＝3； （2）原方程去分母得：x＝4x﹣2+3， 解得：x＝﹣， 检验：当x＝﹣时，2x﹣1≠0， 故原方程的解为x＝﹣． 18．如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“﹣3”、“﹣1”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为 　　； （2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作x，第二次转出的数字记作y，点Q的坐标记作（x，y）．用树状图或列表法求转动两次后得到的点Q落在第四象限的概率． 【解答】解：（1）转动一次有5种等可能情况，出现数字是偶数有3种情况， 则转出的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）由题意，列表如下： 第一次第二次 ﹣3 ﹣1 0 2 4 ﹣3 （﹣3，﹣3） （﹣1，﹣3） （0，﹣3） （2，﹣3） （4，﹣3） ﹣1 （﹣3，﹣1） （﹣1，﹣1） （0，﹣1） （2，﹣1） （4，﹣1） 0 （﹣3，0） （﹣1，0） （0，0） （2，0） （4，0） 2 （﹣3，2） （﹣1，2） （0，2） （2，2） （4，2） 4 （﹣3，4） （﹣1，4） （0，4） （2，4） （4，4） 共有25种等可能的情况数，其中点Q落在第四象限有4种， 则点Q落在第四象限的概率是． 19．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB＝400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732） 【解答】解：过A作AD⊥MN于点D 设AD＝x， ∵∠ABD＝45°， ∴设BD＝x， ∵∠AMD＝30°， ∴＝， ∴＝， ∴x＝546.372， ∴AD＞500． ∴不会穿过居民区． 20．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120． （1）第40天，该厂生产该产品的利润是　1600　元； （2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？ 【解答】解： （1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40 则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元 故答案为1600 （2）① 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得 ，解得 ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70 （Ⅰ）当0＜x＜30时 w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120） ＝﹣2x2+100x+1200 ＝﹣2（x﹣25）2+2450 ∴当x＝25时，w最大值＝2450 （Ⅱ）当30≤x≤50时， w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800 ∵w随x的增大而减小 ∴当x＝30时，w最大值＝2400 ∴w＝， 第25天的利润最大，最大利润为2450元 ②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400， 解得x1＝20，x2＝30 ∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下 由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400 此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天 （Ⅱ）当30＜x≤50时， 由①可知当天利润均低于2400元 综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天． 21．如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD． （1）求证：∠OCA＝∠ADC； （2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长． 【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠OAB＝90°， ∵OC∥AB， ∴∠AOC＝∠OAB＝90°， ∵CO＝OA， ∴∠OCA＝45°， ∴∠ADC＝∠AOC＝45°， ∴∠OCA＝∠ADC； （2）解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠ADE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝DE＝AD＝， ∵tanB＝＝， ∴BE＝3AE＝3， ∴AB＝＝＝2， 在Rt△ABF中，tanB＝＝， ∴AF＝AB＝， ∵OC∥AB， ∴∠OCF＝∠B， ∴tan∠OCF＝＝， 设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r﹣， ∴3 （r﹣）＝r， 解得r＝， ∴OC＝． 22．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，将线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，点F的对应点是点G，连接FG． （1）如图①，当点G在边CD上，且DG＝2，AF＝3时，求EF； （2）如图②，若E是AD的中点，EG与CD相交于点H，连接FH，求证：FE平分∠AFH； （3）如图③，若点F和点B重合，EG、FC分别交CD于点M、N，连接DG．求证：NG2＝MN•ND． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°， ∵线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG， ∴∠CEF＝90°，EF＝EG， ∴∠AEF+∠DEG＝90°， ∴∠AFE＝∠DEG， ∴△AEF≌△DGE（AAS）， ∴AE＝DG＝2， ∴EF＝； （2）证明：如图1， 延长HE交BA的延长线于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠QAE＝∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD， ∴∠Q＝∠DHE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△AEQ≌△DEH（AAS）， ∴EQ＝EH， ∵∠FEG＝90°， ∴FE⊥QH， ∴FH＝FQ， ∴FE平分∠AFH； （3）证明：如图2， 作GH⊥AD，交AD的延长线于点H， ∴∠H＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝∠CDH＝90°， ∴∠H＝∠A＝90°， 同理（1）可知：△ABE≌△HEG（AAS）， ∴EH＝AB＝AD，AE＝GH， ∴DH＝AE＝GH， ∴∠DGH＝∠HDG＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∵EF＝EG，∠FEG＝90°， ∴∠EGF＝∠EFG＝45°， ∴∠EGF＝∠CDG， ∵∠DNG＝∠MNG， ∴△GNM∽△DNG， ∴， ∴NG2＝MN•ND． 23．如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，若点P为抛物线在第三象限图象上的点，且∠PAB＝∠OCB，求P点的坐标； （3）如图2，点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）分别代入得： ，解得， 故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，过点P作PH⊥AB于点H， ∵∠PAB＝∠OCB， ∴tan∠PAB＝tan∠OCB， ∵点B（﹣1，0），点C（0，﹣3）， ∴tan∠OCB＝， 设P（x，x2﹣2x﹣3）， ∴，解得x＝﹣或3（舍去）， ∴P点的坐标为（﹣，﹣）； （3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K， 设D（m，m2﹣2m﹣3），则K（m，0）．并由题意知点D位于第四象限． ∴DK＝﹣m2+2m+3，OK＝m． ∵∠BAC是公共角， ∴当△AOE与△ABC相似时，有二种情况： ①∠AOD＝∠ABC时，△AOE∽△ABC， ∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3． ∴，解得m1＝，m2＝（舍去）， ∴D（，）； ②∠AOD＝∠ACB时，△AOE∽△ACB， 过点B作BQ⊥AC于点Q． ∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝3． ∵∠BQA＝90°， ∴∠QAB+∠QBA＝90°． ∴∠QAB＝∠QBA＝45°． ∵在直角△AQB中，AQ2+BQ2＝AB2，AB＝4． ∴AQ＝BQ＝2． ∴CQ＝3﹣2＝． ∵∠BQC＝90°， ∴tan∠ACB＝＝＝2， ∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2． ∴＝2，解得m1＝，m2＝﹣（舍去） ∴D（，﹣2）． 综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是（，）或（，﹣2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$