精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

马鞍山中加双语学校2023-2024学年高二上学期第一次月考 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 因为直线的倾斜角大于等于小于， 故经过两点的直线的倾斜角是， 故选：D 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】向量，， 则向量在向量上的投影向量为： ； 故选：D 3. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B. 4. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答. 【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，， 解得或， 当时，直线与直线重合， 当时，直线与直线平行， 所以的值为. 故选：C 5. 已知是一锐角三角形两内角，直线过，以为其方向向量，则直线一定不通过（　　　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，，，再由方向向量得出直线的斜率，即可判断直线不过第三象限． 【详解】解：是锐角的两个内角， ，，， ，， ，； 又方向向量， ∴直线的斜率，且过点 则直线不过第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线的方向向量应用问题，也考查了三角函数的诱导公式应用问题，方向向量是与直线平行或在直线上的非零向量，属于常考题型． 6. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底表示出，结合向量夹角公式求得正确答案. 【详解】连接， 以为空间一组基底， 则， ， 所以， ， 设直线与直线所成角为， 则, 由于异面直线夹角的取值范围是，所以. 故选：B 7. 斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解. 【详解】由题意知，分别是公差为4和18的等差数列， 所以，， 所以，，即最长拉索所在直线的斜率为. 故选：B. 8. 已知正方体的棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，根据二面角的空间向量坐标公式表达平面与平面和平面所成的角，再化简结合的取值范围求解即可. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3， 则，，，设，则，， 由正方体的性质可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量， 设平面的法向量，则，即， 取，则，，故， 又平面与平面和平面所成的角相等，故，即， 故，即，. ①当，即时，因为，所以， 又，则，，此时. ②当，即时，因为，所以， 又，故， 此时， 故当时取最小值. 综上的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9. 如果，，三点在同一条直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B. 若是四面体的底面的重心，则 C. 若，则A，B，C，G四点共面 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共面向量的定义即可判断A；对于B：根据重心坐标公式分析判断；对于C：根据四点共面的结论分析判断；对于D：根据空间向量基本定理分析判断. 【详解】对于选项A：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上， 故A错误； 对于选项B：设，，，， 则，，， 又因为是底面的重心，则， 所以成立，故B正确； 对于选项C：因为，但， 所以A，B，C，G四点不共面，故C错误； 对于选项D：设在基底下的坐标为， 则， 因为在基底下的坐标为，所以，解得， 所以在基底下的坐标为，即D正确. 故选：BD. 12. 已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 若，则的最小值为 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，建立适当空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算判定即可； B选项，找出动点在正方体底面内的运动轨迹，利用点到圆上点的最值求解即可； C选项，根据立体几何中线面垂直推出线线垂直，可找出动点在正方体底面内的运动轨迹是线段，即可求解； D选项：建立适当空间直角坐标系，利用可得出点，再利用空间向量的坐标表示求解即可. 【详解】对于A选项：如图1, 以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，， 设，，则，， 若，则，解得，不合题意，错误； 对于B选项：如图2， 若，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上，此时点的轨迹为， 又，， ， ，故正确； 对于C选项：如图3， 连接，，，，， 为正方形，则， 又平面，平面， ，，平面， 平面，平面， ，同理可证：， 又，平面， 平面，平面平面， 故点在正方体底面内的运动轨迹是线段， 又正方体的棱长为2，，故错误； 对于D选项：如图4， 以为坐标原点建立空间直角坐标系，连接，，，，则，，，， 设，，则，， 当，有，则，此时， 又，， 当时，有最大值，此时，故正确. 故答案选：BD. 【点睛】关键点点睛：立体几何中线面垂直的判定定理，动点在立体几何中的轨迹问题，以及利用空间向量法解决立体几何的问题，属于难题. 第Ⅱ卷（主观题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为________ 【答案】和 【解析】 【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 故答案为：和 14. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围为___________． 【答案】a≤－1 【解析】 【分析】由直线的纵截距不大于0，斜率不小于0可得． 【详解】将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴或∴a≤－1． 综上可知a的取值范围是a≤－1． 故答案为：． 15. 在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的边长即角度可得，再由两点的位置关系以及的几何意义，确定出沿折叠过程中三棱锥的体积最大时平面，建立空间直角坐标系利用两异面直线间的距离公式即可计算出结果. 【详解】根据题意可知，如下图所示； 由，，利用余弦定理可得， 解得，所以满足，即，则 又分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，则表示两直线之间的距离， 在沿折叠过程中，直线由两平行线变成两异面直线，且两直线间的距离越来越近； 当三棱锥的体积最大时，此时平面； 即此时两点之间的距离最小，即为两异面直线之间的距离； 以点为坐标原点，分别以为轴，轴，以过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 即， 设与垂直的一个向量为， 则，令，则，可得 不妨取，由两异面直线间的距离公式可得 的最小值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于把“两点之间的最小距离为”理解成异面直线之间的距离，再利用折叠过程中的位置关系，代入两异面直线距离公式求解即可. 16. 在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号） ①当时，的周长为定值 ②当时，三棱锥的体积为定值 ③当时，有且仅有一个点P，使得 ④当时，有且仅有一个点P，使得平面 【答案】②④ 【解析】 【分析】①结合得到P在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P，使得线面垂直. 【详解】由题意得：，，，所以P为正方形内一点， ①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误； ②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确； ③，当时，即，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误； ④，当时，即，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确. 故选：②④ 【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）求经过直线，的交点，且过点的直线的方程； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线的交点坐标公式以及直线的点斜式方程求解； （2）利用两直线的交点坐标公式以及两直线垂直与斜率的关系求解. 【详解】（1）设的交点为， 联立，解得， 所以的交点为, 所以, 由点斜式可得，整理得. （2）设的交点为， 联立，解得， 所以的交点为, 设所求直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以所求直线方程为. 18. 设直线、的倾斜角分别为、，求证：的充要条件是． 【答案】 如图，直线相交于A点，分别与x轴交于B，C两点， 当时，如果，则； 如果是的外角，，， 即是的充要条件； 当时，则 轴，如果，则轴，； 如果，则，，即； 即是的充要条件. 【解析】 【分析】对直线的倾斜角分类讨论，运用三角形外角定理证明. 【详解】略 19. 已知直四棱柱中，底面为菱形，，，，E为线段上中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在直四棱柱中，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 由且，故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，平面，， 则平面平面，又平面，故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行得平行四边形，即可得线面平行，进而证明平面平面，即可证明结论； （2）由题意可建立以为原点的空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点，连接， 直四棱柱中，底面为菱形，，则、、两两垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴的空间直角坐标系，如图所示： 又，， 则， 则,,， 设平面一个法向量为，则，即， 取，则，，故平面一个法向量为， 设与平面所成角为，则. 20. 如图，设为正方体，动点在对角线上，记． （1）证明：； （2）若异面直线与所成角为，求的值； （3）当为钝角时，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， ，，，; ，， 因为，所以， 所以， 因为，所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）写出向量坐标，利用夹角公式可得答案； （3）利用钝角可得数量积小于零且不等于，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，； 因为直线与所成角为， 所以； 解得，因为动点在对角线上，所以. 【小问3详解】 ，， 因为为钝角，所以，解得. 又因为在上恒成立，所以. 21. 如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点，分别是和的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】 （1）连结，，侧面是平行四边形，且， 所以为正三角形， 又点分别是的中点，所以 又因为，所以，. 所以，所以， 又，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过判断和即可证明； （2）取的中点，连结，以点为原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量关系即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连结，则. 由（1）知平面，， 如图，以点为原点，直线，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，. 所以，可取， 易得平面的一个法向量为 所以 因为二面角为锐角，所以其余弦值为 【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 22. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． （1）求四棱锥的体积的最大值； （2）若棱的中点为，求的长； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值 【小问1详解】 取AM的中点G，连接PG， 因为PA=PM，则PG⊥AM， 当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大， 四棱锥的体积取得最大值， 此时PG⊥平面，且， 底面为梯形，面积为， 则四棱锥的体积最大值为 【小问2详解】 取AP中点Q，连接NQ，MQ， 则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线， 所以NQ∥AB且， 因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形， 所以CM∥AB且， 所以CM∥NQ且CM=NQ， 故四边形CNQM为平行四边形， 所以. 【小问3详解】 连接DG， 因为DA=DM，所以DG⊥AM， 所以∠PGD为的平面角，即， 过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM， 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，则， 设平面PBC的法向量为， 因为， 则 令，可得：， 设两平面夹角为， 则 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为 【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2023-2024学年高二上学期第一次月考 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知是一锐角三角形两内角，直线过，以为其方向向量，则直线一定不通过（　　　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9. 如果，，三点在同一条直线上，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B. 若是四面体的底面的重心，则 C. 若，则A，B，C，G四点共面 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 12. 已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 若，则的最小值为 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为 第Ⅱ卷（主观题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为________ 14. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围为___________． 15. 在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为__________. 16. 在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号） ①当时，的周长为定值 ②当时，三棱锥的体积为定值 ③当时，有且仅有一个点P，使得 ④当时，有且仅有一个点P，使得平面 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）求经过直线，的交点，且过点的直线的方程； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 18. 设直线、的倾斜角分别为、，求证：的充要条件是． 19. 已知直四棱柱中，底面为菱形，，，，E为线段上中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 20. 如图，设为正方体，动点在对角线上，记． （1）证明：； （2）若异面直线与所成角为，求的值； （3）当为钝角时，求的取值范围． 21. 如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点，分别是和的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 22. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． （1）求四棱锥的体积的最大值； （2）若棱的中点为，求的长； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $