2024年辽宁省灯塔市第一初级中学中考第一次模拟数学试卷

2024年辽宁省灯塔市第一初级中学九年级中考第一次模拟数学试卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若将辽河的标准水位记为0米，则下列水位记录最接近标准水位的是（　　） A．米 B．米 C．0.5米 D．1米 2．（3分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（　　） A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×109 3．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C．5a2+a3＝6a3 D．（﹣3a2）3＝﹣9a4 5．（3分）随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．检测“神舟十八号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件 C．数据6，5，8，9的中位数是7 D．甲、乙两组数据的方差分别是s甲2＝0.3，s乙2＝0.9，则乙组数据比甲组数据稳定 7．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作正方形EDFG，延长AE交FG于点H，则∠EHF的度数为（　　） A．104° B．106° C．108° D．110° 8．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3） 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（　　） A． B． C．1 D． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2+3a＝　 　． 12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　． 13．（3分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正切值是 　 　． 14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点C、D在函数y＝（k≠0）的图象上，已知点A的坐标为（，3），点C的横坐标为4，则k的值为 　 　. 15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是第一象限的抛物线上的一个动点，过点D作DE∥AB，与第二象限的抛物线交于点E，点C和点F关于直线DE对称，当CF＝DE时，点D的横坐标为 　 　． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：cos60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0． （2）先化简再求值（x+1），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 17．（8分）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 18．（8分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 　 　分，众数是 　 　分，平均数是 　 　分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 19．（8分）随着电视剧《乘风踏浪》的热播，拍摄地兴城古城成为网红打卡新地标．五一假期，小丽骑自行车前往古城旅游打卡，小丽与古城的距离y（m）与骑行时间x（min）之间的关系如图所示． （1）当10⩽x⩽20时，求小丽骑行过程中y与x之间的函数关系式； （2）小丽出发5分钟时，晓东也从同一地点出发，并匀速骑行前往古城打卡，当晓东骑行10分钟时，追上了小丽，求晓东骑行的速度． 20．（8分）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，压杆CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，AB∥MN，求压杆端点F到底座MN的距离； （2）使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图3，测得∠GBE＝15°，求压杆端点F到底座MN的高度．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm） 21．（9分）如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BD＝2，CD＝4，求直径AB的长； （3）如图2，在（2）的条件下，连接OF，求tan∠BOF的值． 22．（12分）实践操作 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）． 当点P与点A重合时，∠DEF＝　 　°；当点E与点A重合时，∠DEF＝　 　°； 深入探究 （2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当时的菱形EPFD的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由． 23．（12分）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3⩽x⩽6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3⩽x⩽6）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 　 　； ②函数的“最优纵横值”为 　 　； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7求h的值． 参考答案与试题解析 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若将辽河的标准水位记为0米，则下列水位记录最接近标准水位的是（　　） A．米 B．米 C．0.5米 D．1米 【解答】解：， ∵， ∴上列水位记录最接近标准水位的是米， 故选：B． 2．（3分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（　　） A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×109 【解答】解：239000000＝2.39×108， 故选：B． 3．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C．5a2+a3＝6a3 D．（﹣3a2）3＝﹣9a4 【解答】解：A．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵5a2，a3不是同类二次根式，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（﹣3a2）3＝﹣27a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（3分）随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种， ∴小明和小王选择同一个课程的概率为． 故选：C． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．检测“神舟十八号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件 C．数据6，5，8，9的中位数是7 D．甲、乙两组数据的方差分别是s甲2＝0.3，s乙2＝0.9，则乙组数据比甲组数据稳定 【解答】解：A、检测“神舟十八号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故该项不正确，不符合题意； B、任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故该项不正确，不符合题意； C、数据6，5，8，9的中位数是7，故该项正确，符合题意； D、甲、乙两组数据的方差分别是s甲2＝0.3，s乙2＝0.9，则甲组数据乙甲组数据稳定，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 7．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作正方形EDFG，延长AE交FG于点H，则∠EHF的度数为（　　） A．104° B．106° C．108° D．110° 【解答】解：正五边形ABCDE的外角∠DEH＝360°÷5＝72°， ∵四边形EDFG为正方形， ∴DE∥FG， ∴∠DEH+∠EHF＝180°， ∴∠EHF＝180°﹣72°＝108°， 故选：C． 8．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，得， 故选：B． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3） 【解答】解：延长BC交x轴于H， ∵菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2）， ∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC， ∴∠BHO＝∠AOH＝90°， ∵点C的纵坐标为1， ∴CH＝1，BH＝3， ∴OH＝＝＝， ∴点B（，3）， 故选：D． 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：过H点作HM⊥AC于M，如图， 由作法得CH平分∠ACD， ∵HM⊥AC，HD⊥CD， ∴HM＝HD， ∵AB＝3，BC＝4． 在Rt△ABC中，根据勾股定理得： ， 在Rt△CHD和Rt△CHM中， ， ∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL）， ∴CD＝CM＝3， ∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2， 设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t， 在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2， 解得t＝1.5， 即HD＝1.5， ∴HM＝1.5， ， 故选：A． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2+3a＝　3a（a﹣1）2　． 【解答】解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2． 故答案为：3a（a﹣1）2． 12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是　x≥2且x≠3　． 【解答】解：由题意得，， 解得x≥2且x≠3， 故答案为x≥2且x≠3． 13．（3分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正切值是 　3　． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 由勾股定理得， AM＝， CM＝． 在Rt△ACM中， tan∠ACB＝＝． 故答案为：3． 14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点C、D在函数y＝（k≠0）的图象上，已知点A的坐标为（，3），点C的横坐标为4，则k的值为 　6　. 【解答】解：连接AC，BD交于点J．设C（4，m）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AJ＝JC， ∵A（﹣，3），C（4，m）， ∴J（，）， ∵点D是由点A绕点J顺时针旋转90°得到D，可得D（，）， ∵C，D都在y＝的图象上， ∴4m＝•， 解得m＝或﹣， ∴C（4，）， ∴k＝6． 故答案为：6． 15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是第一象限的抛物线上的一个动点，过点D作DE∥AB，与第二象限的抛物线交于点E，点C和点F关于直线DE对称，当CF＝DE时，点D的横坐标为 　　． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3， ∴当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝3或﹣1． ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． ∵点D是第一象限的抛物线上的一个动点， ∴可设D为（t，﹣t2+2t+3）． 对称轴是直线x＝﹣＝1， ∴D关于直线x＝1的对称点E为（2﹣t，﹣t2+2t+3）． ∵D在第一象限，E在第二象限， ∴． ∴2＜t＜3． ∵C、F关于DE对称， ∴CF＝2（3+t2﹣2t﹣3）＝2（t2﹣2t）． 又DE＝t﹣（2﹣t）＝2t﹣2，且CF＝DE， ∴2（t2﹣2t）＝2t﹣2． ∴t2﹣3t+1＝0． ∴t＝或t＝（舍去）． ∴D的横坐标为：． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：cos60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0． （2）先化简再求值（x+1），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【解答】解：（1）cos60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0 ＝×﹣﹣（﹣2）+1 ＝﹣﹣+2+1 ＝1﹣； （2）（x+1） ＝• ＝ ＝ ＝， 当x＝1或x＝2时，原分式无意义， ∴x＝3， 当x＝3时，原式＝＝5． 17．（8分）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 【解答】解：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得： ＝， 解得：x＝60， 经检验x＝60是原方程的根， ∴x+40＝100． 答：甲礼品100元，乙礼品60元； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个， 根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000， 解得：m≤5． 答：最多可购买5个甲礼品． 18．（8分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 　69　分，众数是 　69　分，平均数是 　70　分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【解答】解：（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74， 所以这组数据的中位数是69（分），众数是69（分），平均数是＝70（分）； 故答案为：69，69，70； （2）＝82（分）， 答：小涵的总评成绩为82分； （3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选， 理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分， 所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选． 19．（8分）随着电视剧《乘风踏浪》的热播，拍摄地兴城古城成为网红打卡新地标．五一假期，小丽骑自行车前往古城旅游打卡，小丽与古城的距离y（m）与骑行时间x（min）之间的关系如图所示． （1）当10⩽x⩽20时，求小丽骑行过程中y与x之间的函数关系式； （2）小丽出发5分钟时，晓东也从同一地点出发，并匀速骑行前往古城打卡，当晓东骑行10分钟时，追上了小丽，求晓东骑行的速度． 【解答】解：（1）当10⩽x⩽20时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（10，2000）和（20，0）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴当10⩽x⩽20时，小丽骑行过程中y与x之间的函数关系式为y＝﹣200x+4000（10⩽x⩽20）． （2）由题意可知，当小丽骑行15分钟时被晓东追上． 当x＝15时，得y＝﹣200×15+4000＝1000， 此时二人骑行的路程为5000﹣1000＝4000（m）， 4000÷10＝400（m/min）， ∴晓东骑行的速度是400m/min． 20．（8分）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，压杆CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，AB∥MN，求压杆端点F到底座MN的距离； （2）使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图3，测得∠GBE＝15°，求压杆端点F到底座MN的高度．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm） 【解答】解：（1）如图2，过点F作FP⊥MN于点P， 过点C作CQ⊥FP于点Q，则PQ＝BC+EG＝3.5cm， 在Rt△CFG中，CF＝6cm，∠FCQ＝180°﹣150°＝30°， ∴FQ＝CF＝3cm， ∴FP＝FQ+QP＝6.5cm， 即压杆端点F到底座MN的距离为6.5cm； （2）如图3，过点F作FP⊥MN于点P，过点C作CQ⊥FP于点Q，过点C作CK⊥MN于点K， 在Rt△BCK中，BC＝2cm，∠BCK＝∠ABM＝15°， ∴CK＝cos15°•BC≈1.94（cm）， 在Rt△CFQ中，CF＝6cm，∠FCQ＝360°﹣150°﹣90°﹣90°﹣15°＝15°， ∴FQ＝sin15°•CF≈1.56（cm）， ∴FP＝FQ+PQ≈3.5（cm）， 即压杆端点F到底座MN的高度约为3.5cm． 21．（9分）如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BD＝2，CD＝4，求直径AB的长； （3）如图2，在（2）的条件下，连接OF，求tan∠BOF的值． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ABC＝90°， ∵CE＝CB， ∴∠CAE＝∠CAB， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠CAB＝∠BCD， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB+∠BCD＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB， ∴△DCB∽△DAC， ∴＝， ∴＝， ∴AD＝8， ∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6； （3）解：过F作FK⊥AD于K，如图： 由（2）得△DCB∽△DAC，AB＝6， ∴＝＝＝， ∴AC＝2BC， 设BC＝x，则AC＝2x， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（2x）2+x2＝62， 解得x＝（负值已舍去）， ∴BC＝，AC＝， ∵∠COB＝2∠CAB＝∠EAB， ∴OC∥AF， ∵AO＝BO， ∴CF＝BC＝， ∴BF＝， ∵2S△FAB＝BF•AC＝AB•FK， ∴FK＝＝＝， 在Rt△BFK中， BK＝＝， ∴OK＝OB﹣BK＝3﹣＝， 在Rt△FOK中， tan∠BOF＝＝＝8， 答：tan∠BOF的值是8． 22．（12分）实践操作 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）． 当点P与点A重合时，∠DEF＝　90　°；当点E与点A重合时，∠DEF＝　45　°； 深入探究 （2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当时的菱形EPFD的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由． 【解答】初步思考 （1）当点P与点A重合时，如图1， ∴EF是AD的中垂线， ∴∠DEF＝90°， 当点E与点A重合时，如图2， 此时∠DEF＝∠DAB＝45°， 故答案为：90，45； 深入探究 （2）当点E在AB上，点F在DC上时，如图3， ∵EF是PD的中垂线， ∴DO＝PO，EF⊥PD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB， ∴∠FDO＝∠EPO， ∵∠DOF＝∠EOP， ∴△DOF≌△POE（ASA）， ∴DF＝PE， ∵DF∥PE， ∴四边形DEPF是平行四边形， ∵EF⊥PD， ∴▱DEPF为菱形， 当AP＝时，设菱形的边长为x，则AE＝﹣x，DE＝x， 在Rt△ADE中，由勾股定理得： AD2+AE2＝DE2， ∴32+（﹣x）2＝x2， ∴x＝， ∴时的菱形EPFD的边长为：； 拓展延伸 （3）存在， 情况一：如图4，连接EM， ∵DE＝EP＝AM， ∴△EAM≌△MPE（HL）， 设AE＝x，则AM＝DE＝3﹣x，则BM＝x+1， ∵MP＝EA＝x，CP＝CD＝4， ∴MC＝4﹣x， ∴（x+1）2+32＝（4﹣x）2， 解得：x＝； 情况二，如图5， ∵DE＝EP＝AM， ∴△GAM≌△GPE（AAS）， 设AE＝x，则DE＝3﹣x，则AM＝PE＝DE＝3﹣x，MP＝AE＝x， 则MC＝MP+PC＝x+4，BC＝3，BM＝7﹣x， ∴（7﹣x）2+32＝（x+4）2， 解得：x＝， 综上，线段AE的长为：或． 23．（12分）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3⩽x⩽6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3⩽x⩽6）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 　8　； ②函数的“最优纵横值”为 　﹣1　； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7求h的值． 【解答】解：（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 2﹣（﹣6）＝8， 故答案为：8； ②∵y＝， ∴y﹣x＝﹣x＝， ∵﹣4≤x≤﹣2， ∴x＝﹣4时，y﹣x的最大值是﹣1， ∴函数的“最优纵横值”为﹣1； 故答案为：﹣1； （2）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上， ∴﹣＝， ∴b＝3， ∴y＝﹣x2+3x+c， ∴y﹣x＝﹣x2+3x+c﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c， ∵最优纵横值为5， ∴1+c＝5， ∴c＝4； （3）∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上， ∴k＝h+9， ∴y＝﹣（x﹣h）2+h+9， ∴y﹣x＝﹣（x﹣h）2+h+9﹣x＝﹣（x﹣h+）2+， ∵当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7， 当h﹣≥4，即h≥时，则x＝4时，有最大值为7， ∴﹣（4﹣h+）2+＝7， 解得h＝6或h＝3（舍去）， 当h﹣≤﹣1，即h≤﹣时，则x＝﹣1时，有最大值为7， ∴﹣（﹣1﹣h+）2+＝7， 解得h＝﹣2或h＝1（舍去）． 故h的值为﹣2或6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$