2024年山东省青岛市崂山区育才学校中考数学三模试卷

2024年山东省青岛市崂山区育才学校中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）已知﹣3的相反数是a，则a的值为（　　） A．3 B．﹣ C． D．﹣3 2．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．2.2×10﹣9 D．22×10﹣9 3．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子100米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的5次比赛的平均成绩和方差S2如表所示： 甲 乙 丙 丁 （秒） 48.67 49.05 48.67 49.03 S2（秒2） 0.03 0.07 0.06 0.04 若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（3分）如图，已知A（3，3），B（1，2），C（4，0），将△ABC先向左平移5个单位，再绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C'，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2） 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 7．（3分）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（　　） A．5个 B．15个 C．20个 D．35个 8．（3分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，将矩形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转得矩形AEFG，连接BE，当EF刚好经过点D时，线段BE的长是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，将两张完全一样的长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是（　　） A．4 B．4 C． D． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣5，0），下列说法正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．x＞0时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣3 D．4a﹣2b+c＜0 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．（3分）计算×（﹣）的结果是 　 　． 12．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为　 　． 13．（3分）已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴负半轴上，那么m的值为 　 　． 14．（3分）如图，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于A，B两点，以AB为边作正方形ABCD，双曲线y＝经过点D，则k的值为 　 　． 15．（3分）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 　 　． 16．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM：以下四个结论正确的有 　 　（填序号）． ①△AMN是等边三角形； ②MN的最小值是； ③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD； ④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17．（4分）青岛地铁8号线是青岛第六条建成运营的线路，地铁沿线的两个商场A、B与两条道路MF和ME的位置如图所示，其中ME是东西方向的道路，现需要修建一个地铁口（用点O表示），要求点O到两个商场A、B的距离相等，到两条道路MF和ME的距离也相等，且在∠FME的内部．请在示意图中作出一个符合条件的点O． 18．（8分）（1）化简：（﹣）÷； （2）解不等式组． 19．（6分）有一个十字路口禁止机动车左转和调头，经过该十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向右转．如果这两种情况是等可能的，那么当甲，乙，丙三辆汽车都经过这个十字路口时： （1）甲车右转的概率是 　 　； （2）用画树状图的方法求三辆车全部直行的概率． 20．（6分）某校开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育实践活动，进行了“二十大”知识竞赛，从八、九年级各随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、分析和描述，成绩x（分）． 共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100． （一）收集、整理数据：八年级20名学生的测试成绩分别为： 58 66 67 68 68 76 78 83 85 86 86 88 88 88 89 95 97 97 98 99 九年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：78，79，85，88，89，89． （二）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 八年级 83 86 b 九年级 85.5 a 89 （三）描述数据：请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （3）如果该校八、九年级各有学生1200名，请估计两个年级本次测试成绩不低于90分的学生总人数． 21．（6分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 22．（8分）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 23．（6分）如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，＝＝称为“黄金比率”． 【问题提出】如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，＝称为“白银比率”，则该比率为 　 　． 【问题拓展】如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作．若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 　 　． 24．（8分）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 25．（10分）如图，无人机在离地面22m的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆CD顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面2m的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆CD离消防员的水平距离是40m，高度是14m，大楼离旗杆10m，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线AC的解析式，并求E点坐标； （2）求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； （3）由于火势太猛，消防员退后了10m，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） （4）在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为4cm/s．过点Q作QE∥AB交BC于点E，连接PE，交AB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．解答下列问题： （1）当t为何值时，BE＝2EC？ （2）设五边形AFEQD的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）连接DE．是否存在某一时刻t，使点F在DE的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）已知﹣3的相反数是a，则a的值为（　　） A．3 B．﹣ C． D．﹣3 【解答】解：﹣3的相反数是3， ∴a＝3． 故选：A． 2．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．2.2×10﹣9 D．22×10﹣9 【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8． 故选：B． 3．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心； A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（3分）近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子100米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的5次比赛的平均成绩和方差S2如表所示： 甲 乙 丙 丁 （秒） 48.67 49.05 48.67 49.03 S2（秒2） 0.03 0.07 0.06 0.04 若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：甲和丙的平均数较小，所以在甲和丙两人中选一人参加比赛， 由于甲的方差比丙小，所以甲更稳定，故选甲参加比赛． 故选：A． 5．（3分）如图，已知A（3，3），B（1，2），C（4，0），将△ABC先向左平移5个单位，再绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C'，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2） 【解答】解：∵A（3，3）， ∴将△ABC先向左平移5个单位后A点坐标为（﹣2，3）， ∴点A关于原点对称的点A'（2，﹣3）， 故选：C． 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：∵BD经过圆心O， ∴∠BCD＝90°， ∵∠BDC＝∠BAC＝40°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°， 故选：B． 7．（3分）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（　　） A．5个 B．15个 C．20个 D．35个 【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得： ＝0.75， 解得：x＝5， 经检验：x＝5是分式方程的解， 故袋中白球有5个． 故选：A． 8．（3分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，将矩形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转得矩形AEFG，连接BE，当EF刚好经过点D时，线段BE的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接DG， ∵将矩形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转得矩形AEFG， ∴AB＝AE＝3，AD＝AG＝5＝EF，∠GAD＝∠BAE，∠DEA＝90°， ∴DE＝＝＝4， ∴DF＝EF﹣DE＝1， ∴DG＝＝＝， ∵＝1，∠GAD＝∠BAE， ∴△ADG∽△ABE， ∴， ∴＝， ∴BE＝， 故选：B． 9．（3分）如图，将两张完全一样的长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是（　　） A．4 B．4 C． D． 【解答】解：如图： 此时重叠部分对应的菱形边长最长，周长最大． 设DE＝x，则AE＝﹣x，BE＝x，AB＝， 在矩形ABCD中，∠A＝90°， ∴BE2＝AE2+AB2， ∴x2＝（﹣x）2+2， ∴x＝， ∴菱形EBFD的周长的最大值是：4x＝． 故选：C． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣5，0），下列说法正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．x＞0时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣3 D．4a﹣2b+c＜0 【解答】解：由题意可得二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致如图所示： A．由题意可知，抛物线与x轴有两个不同的交点（1，0），（﹣5，0），所以b2﹣4ac＞0，因此选项A不符合题意； B．由二次函数的图象可知，当x＞0时，y的值随x值增大而增大，因此选项B不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2，因此选项C不符合题意； D．当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，所以二次函数的图象过点（﹣2，4a﹣2b+c），由图象可知4a﹣2b+c＜0，因此选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．（3分）计算×（﹣）的结果是 　　． 【解答】解：×（﹣） ＝ ＝8﹣ ＝． 故答案为：． 12．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为　4π　． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5π， ∴∠BAC＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，BC＝AD＝5π， ∴， ∵以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F， ∴S扇形ABE+S扇形DMF＝， ∴S阴影AEMF＝S△ABD﹣S扇形ABE﹣S扇形DMF＝20π﹣16π＝4π， 故答案为：4π． 13．（3分）已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴负半轴上，那么m的值为 　6　． 【解答】解：由题意得：， 解得m＝6， 故答案为：6． 14．（3分）如图，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于A，B两点，以AB为边作正方形ABCD，双曲线y＝经过点D，则k的值为 　2　． 【解答】解：对于y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2， ∴点A（﹣2，0），点B（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， 过点D作DE⊥OA于点E，如下图所示： ∴∠ADE+∠OAD＝90°，∠AOB＝∠DEA＝90°， 四边形ABCD为正方形， AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠OAD+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠ADE， 在△AOB和△DEA中， ， ∴△AOB≌△DEA（AAS）， ∴OB＝AE＝1，OA＝ED＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝2﹣1＝1， ∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）， ∵双曲线y＝经过点D， ∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2． 故答案为：2． 15．（3分）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 　﹣＝3　． 【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍， ∴乙车间每天加工1.5x件产品， 又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天， ∴﹣＝3． 故答案为：﹣＝3． 16．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM：以下四个结论正确的有 　①②③④　（填序号）． ①△AMN是等边三角形； ②MN的最小值是； ③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD； ④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB． 【解答】解：∵∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝∠ADC＝60°， ∴△ADC为等边三角形， 又∵∠MAC＝∠MAN−∠CAN＝60°−∠CAN，∠DAN＝∠DAC−∠CAN＝60°−∠CAN， ∴∠MAC＝∠DAN， 在△CAM与△DAN中， ， ∴△CAM≌△DAN（ASA）， ∴AM＝AN，CM＝DN， ∴△AMN为等边三角形，故①正确； ∵AC⊥BD， 当MN最小值时，即AM为最小值，而当AM⊥BC时，AM值最小， ∵AB＝2，BM＝BC＝1， ∴AM＝＝＝，即MN＝，故②正确； 当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点， ∴MN∥BD， ∴△CMN∽△CBD， ∴＝（）2＝， ∴＝＝，故③正确； 当OM⊥BC时， ∵∠BOC＝∠OMC＝90°，∠OCM＝∠BCO， ∴△OCM∽△BCO ∴OCBC＝CMOC ∴OC2＝CM•BC， ∵CM＝DN，BC＝AB ∴OA2＝DN•AB 故④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17．（4分）青岛地铁8号线是青岛第六条建成运营的线路，地铁沿线的两个商场A、B与两条道路MF和ME的位置如图所示，其中ME是东西方向的道路，现需要修建一个地铁口（用点O表示），要求点O到两个商场A、B的距离相等，到两条道路MF和ME的距离也相等，且在∠FME的内部．请在示意图中作出一个符合条件的点O． 【解答】解：如图，点P即为所求． 18．（8分）（1）化简：（﹣）÷； （2）解不等式组． 【解答】解：（1）（﹣）÷ ＝ ＝ ＝； （2）， 解不等式①，得：x≥﹣1， 解不等式②，得：x＜3， 故原不等式组的解集是﹣1≤x＜3． 19．（6分）有一个十字路口禁止机动车左转和调头，经过该十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向右转．如果这两种情况是等可能的，那么当甲，乙，丙三辆汽车都经过这个十字路口时： （1）甲车右转的概率是 　　； （2）用画树状图的方法求三辆车全部直行的概率． 【解答】解：（1）甲车可能继续直行，也可能向右转．共2种等可能，甲车右转有1种可能， ∴P（甲车右转）＝， 故答案为：． （2）用A表示直行，用B表示右转，画树状图如下： 由图可知，一共有8种等可能情况，其中三辆车全部直行只有1种可能， ∴P（三辆车全部直行）＝． 20．（6分）某校开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育实践活动，进行了“二十大”知识竞赛，从八、九年级各随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、分析和描述，成绩x（分）． 共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100． （一）收集、整理数据：八年级20名学生的测试成绩分别为： 58 66 67 68 68 76 78 83 85 86 86 88 88 88 89 95 97 97 98 99 九年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：78，79，85，88，89，89． （二）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 八年级 83 86 b 九年级 85.5 a 89 （三）描述数据：请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）a＝　88.5　，b＝　88　，m＝　40　； （3）如果该校八、九年级各有学生1200名，请估计两个年级本次测试成绩不低于90分的学生总人数． 【解答】解：（1）由八年级测试成绩频数分布直方图中数据， 可得D：80≤x＜90有：20﹣1﹣4﹣2﹣5＝8（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）九年级20名学生测试成绩的中位数为数据从小到大排列后的第10、11个数据的平均数， ∵较低的成绩中，A，B组共有：20×（10%+20%）＝6（人）， 成绩在C组和D组的分别为：78，79，85，88，89，89． ∴第10、11个数据为：88，89， ∴a＝＝88.5； 由八年级20名学生的测试成绩统计，知88出现3次，是出现次数最多的， ∴b＝88； ∵九年级C组数据为：78，79，占比为：＝10%， D组数据为：85，88，89，89，占比为：＝20%， ∴m%＝100%﹣10%﹣20%﹣10%﹣20%＝40%， ∴m＝40， 故答案为：88.5，88，40； （3）八年级本次测试成绩不低于90分的学生数：＝300（人）， 九年级本次测试成绩不低于90分的学生数：40%×1200＝480（人）， 答：八、九年级本次测试成绩不低于90分的学生总数分别为300人，480人． 21．（6分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 【解答】解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G， 由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG， 设AF＝BG＝x米， 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米， ∴DF＝CD＝8（米）， 在Rt△PAF中，∠PAF＝45°， ∴PF＝AF•tan45°＝x（米）， 在Rt△BPG中，∠GBP＝18°， ∴GP＝BG•tan18°≈0.325x（米）， ∴FG＝PF+PG＝x+0.325x＝1.325x（米）， ∴1.325x＝53， 解得：x＝40， ∴PF＝40米， ∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米）， ∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米． 22．（8分）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°， 又∵∠DCB＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB， ∴OC2+CD2＝OD2， ∴OB2+42＝（OB+2）2， ∴OB＝3， ∴AB＝6， ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线， ∵CD是⊙O的切线； ∴AE＝CE， ∵AD2+AE2＝DE2， ∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2， 解得AE＝6． 23．（6分）如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，＝＝称为“黄金比率”． 【问题提出】如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，＝称为“白银比率”，则该比率为 　　． 【问题拓展】如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作．若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 　或2　． 【解答】解：令BC＝x， 由得， ， 解得AE＝（舍f负）， 所以AB＝2x+AE＝， 则“白银比率”为：＝， 如图所示， ， x＝， 经检验x＝是原方程的解，且符合题意． 所以该“白银矩形”的面积为：1×， 如图所示， ， x＝2﹣， 经检验x＝2﹣是原方程的解，且符合题意． 所以该“白银矩形”的面积为：． 综上所述，“白银矩形”的面积为或2． 故答案为：，或2． 24．（8分）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝AE＝OA，OF＝CF＝OC， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴BE＝DF； （2）解：AC＝2BD，四边形DEBF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形DEBF为平行四边形，AE＝OE＝OF＝CF， ∴AC＝2EF， ∵AC＝2BD， ∴EF＝BD， ∴平行四边形DEBF是矩形． 25．（10分）如图，无人机在离地面22m的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆CD顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面2m的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆CD离消防员的水平距离是40m，高度是14m，大楼离旗杆10m，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线AC的解析式，并求E点坐标； （2）求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； （3）由于火势太猛，消防员退后了10m，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） （4）在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，A（0，22），C（40，14）． 又设直线AC为y＝kx+b， ∴． ∴． ∴直线AC为y＝﹣x+22． 又OF＝50m， ∴令x＝50，则y＝﹣×50+22＝12． ∴E（50，12）． （2）由题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c， 又抛物线过B（0，2），C（40，14），E（50，12）， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣35）2+． ∴当x＝35时，y取最大值为． ∴水喷出的最大高度m． （3）由题意，∵抛物线形状保持不变，消防员后退10m， ∴可设新抛物线为y＝﹣（x﹣35+10）2+k． 又过E（50，12）， ∴12＝﹣（50﹣35+10）2+k． ∴k＝． ∴新抛物线为y＝﹣（x﹣25）2+． ∴令x＝﹣10，则y＝﹣（﹣10﹣25）2+＝6． 又6﹣2＝4（m）， ∴消防员应升高4米． （4）由题意，∵新抛物线为y＝﹣（x﹣25）2+， ∴令x＝40，则y＝﹣（40﹣25）2+＝16＞14． ∴水流能顺利越过旗杆． 26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为4cm/s．过点Q作QE∥AB交BC于点E，连接PE，交AB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．解答下列问题： （1）当t为何值时，BE＝2EC？ （2）设五边形AFEQD的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）连接DE．是否存在某一时刻t，使点F在DE的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过D作DG∥AB，交BC于点G， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BG＝6，AB＝DG， ∴CG＝BC﹣BG＝6， ∵QE∥AB， ∴QE∥DG， ∴， ∴， ∴EC＝3t，BE＝12﹣3t， ∵BE＝2EC， ∴12﹣3t＝2×3t， t＝， ∴当t为s时，BE＝2EC； （2）如图2，过点F作HM⊥BC，交BC于点H，交AD为M， ∴∠MHB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠MHB＝∠C， ∴MH∥CD， ∵AD∥BC， ∴四边形MHCD是矩形， ∴MH＝CD＝8，HM⊥AD， ∵AD∥BC， ∴∠PAF＝∠B，∠APF＝∠FEB， ∴△APF∽△BEF， ∴，即， HF＝8﹣2t， ∴y＝S五边形AFEQD＝S四边形ABCD﹣S△EFB﹣S△ECQ， ＝﹣﹣， ＝﹣9t2+24t+24， ∴y与t的函数关系式是：y＝﹣9t2+24t+24（0＜t＜2）； （3）存在， 如图3，过E作EN⊥AD，垂足为N，连接DF，则ND＝EC＝3t，EN＝CD＝8， ∴PN＝AD+AP﹣DN＝6+3t﹣3t＝6， ∴PE＝＝10， ∵HF＝8﹣2t， ∴FM＝8﹣（8﹣2t）＝2t， ∵∠C＝90°， ∴AB＝DG＝＝＝10， ∵△APF∽△BEF， ∴， ∴，PF＝t， ∴EF＝10﹣t， ∵PF＝t，FM＝2t， ∴PM＝＝t， ∴MD＝6+3t﹣t＝6+t， ∴FD2＝MD2+FM2＝（6+t）2+（2t）2， 若点F在DE的垂直平分线上， 则FE＝FD时，FE2＝FD2， ∴， t＝， ∴当t＝s时，点F在DE的垂直平分线上． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$