2022年湖南省株洲市芦淞区南方中学自主招生数学试卷

2022年湖南省株洲市芦淞区南方中学自主招生数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（4分）正整数a、b分别满足，，则ba＝（　　） A．16 B．9 C．8 D．4 2．（4分）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）已知关于x的不等式组有四个整数解，则（　　） A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1 4．（4分）如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（　　） A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 5．（4分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．（4分）在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（　　）千米处． A．36 B．37 C．55 D．91 7．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6） 8．（4分）如图，等边△ABC的面积为10，AD平分∠BAC，与BC边交于点D．已知反比例函数y＝（x＜0）的图象经过B、C两点，且关于直线AD对称，连接OC．若cos∠OCD＝，则k的值是（　　） A．﹣12 B． C． D．﹣15 二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） （多选）9．（4分）已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差，则关于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的说法，其中不正确的说法是（　　） A．方差为S2 B．平均数为2 C．平均数为4 D．方差为4S2 （多选）10．（4分）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论，其中结论正确的有（　　） A．∠AED＝∠ADC B． C．AC•BE＝12 D．4BF＝5AC （多选）11．（4分）我们知道|a﹣b|表示a与b的差的绝对值，可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如|5﹣8|表示数5与8对应点之间的距离为3，以下说法正确的是（　　） A．若|x+2022|＝1，则x＝﹣2021或x＝﹣2023 B．若x＞y，则|x﹣1|＞|y﹣1| C．若|x﹣3|＜|y|，则|y|+3＞|x| D．若关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m﹣|x+6|恒成立，则m的取值范围为m≤7 （多选）12．（4分）数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，给出如下结论，其中正确的结论有（　　） A．[﹣x]＝﹣x B．若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1 C．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2 D．x＝﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5＝0的唯一一个解 三、填空题（本题共8小题，每小题4分，其中第20题每空2分，共32分.） 13．（4分）明代珠算发明家程大位的杰作《算法统宗》，其中有一题，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两．则所分的银子共有 　 　两． 14．（4分）计算（1﹣）（1﹣）•…•（1﹣）的结果是　 　． 15．（4分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于　 　． 16．（4分）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为　 　cm． （精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）． 17．（4分）已知a、b为抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3与x轴交点的横坐标，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为 　 　． 18．（4分）某校举办数学竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位同学得了前5名．发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． 甲说：“乙是第三名，丙是第五名．” 乙说：“戊是第四名，丁是第五名．” 丙说：“甲是第一名，戊是第四名．” 丁说：“丙是第一名，丁是第二名．” 戊说：“甲是第三名，丁是第四名．” 老师说每个名次都有人猜对，则获得第一、二、三名的同学依次是　 　． 19．（4分）如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过　 　秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 20．（4分）对于个位数字不为0的任意一个两位数m，交换十位数字和个位数字的位置，得到一个新的两位数n，记F（m）＝，G（m）＝． （1）计算F（38）+G（59）＝　 　； （2）若一个两位数m＝10a+b（a，b都是整数，且5≤a≤9，1≤b≤9），F（m）+2G（m）是一个整数的平方，则满足条件的m的值有 　 　个． 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．（10分）（1）解方程：； （2）已知α，β是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个不等实根，用k分别表示和． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BC＝6，∠BAC＝50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）． 23．（10分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 24．（10分）阅读下列材料： 材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1． 材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤： 第一步，用x表示y，得y＝； 第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2； 第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解． 材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）． 利用以上材料，解决下列问题： （1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解； （2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解． 25．（15分）如图1，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是AB延长线上一点，且∠PEB＝∠A． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）如图2，连接CB交DE于点G，CB的延长线交PE于点H，求证：HE＝HG； （3）在（2）的条件下，若tan∠P＝，求的值． 26．（15分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE． （1）求出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标． 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（4分）正整数a、b分别满足，，则ba＝（　　） A．16 B．9 C．8 D．4 【解答】解：∵53＜64＜98，2＜4＜7， ∴＜4＜，＜2＜， ∴a＝4，b＝2， ∴ba＝24＝16， 故选：A． 2．（4分）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形． 故选：A． 3．（4分）已知关于x的不等式组有四个整数解，则（　　） A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1 【解答】解：解不等式组得：﹣3＜x＜a， ∵关于x的不等式组有四个整数解，整数解是﹣2，﹣1，0，1， ∴1＜a≤2， 故选：B． 4．（4分）如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（　　） A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 【解答】解：由三角形具有稳定性可知：至少要再钉上木条的根数是4根， 故选：D． 5．（4分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是a＝3，b＝﹣2，从而a+b＝1． 故选：C． 6．（4分）在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（　　）千米处． A．36 B．37 C．55 D．91 【解答】解：4和9的最小公倍数为36，19+36＝55， ∴第二次同时经过这两种设施是在55千米处． 故选：C． 7．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6） 【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC， ∵OA＝OB＝2， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBE＝45°， ∵BC＝AD＝4， ∴CE＝BE＝4， ∴OE＝OB+BE＝6， ∴C（﹣4，6）， ∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为（﹣6，﹣4）； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为（﹣4，6）； … 发现规律：旋转4次一个循环， ∴2022÷4＝505•••2， 则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）． 故选：C． 8．（4分）如图，等边△ABC的面积为10，AD平分∠BAC，与BC边交于点D．已知反比例函数y＝（x＜0）的图象经过B、C两点，且关于直线AD对称，连接OC．若cos∠OCD＝，则k的值是（　　） A．﹣12 B． C． D．﹣15 【解答】解：连结OD，作CH⊥x轴于点H，设BC交x轴于点G， ∵关于AD对称， ∴A，D，O三点共线，且∠AOG＝45°， 又∵△ABC为等边三角形，且AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴∠CGO＝90°﹣45°＝45°，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） （多选）9．（4分）已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差，则关于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的说法，其中不正确的说法是（　　） A．方差为S2 B．平均数为2 C．平均数为4 D．方差为4S2 【解答】解：由方差的计算公式可得：＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2] ＝[++…+﹣2（x1+x2+…+xn）•+nn2] ＝[++…+﹣2nn2+nn2] ＝[++…+]﹣12 ＝（++++﹣20）， 可得平均数1＝2． 对于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2，有2＝2+2＝4， 其方差＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]＝． 故选：BD． （多选）10．（4分）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论，其中结论正确的有（　　） A．∠AED＝∠ADC B． C．AC•BE＝12 D．4BF＝5AC 【解答】解：∵∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC， ∵∠EAD＝∠DAC， ∴∠AED＝∠ADC． 故选项A正确； ∵AD平分∠BAC， ∴＝＝， ∴设AB＝4x，则AC＝3x， 在直角△ABC中，AC2+BC2＝AB2，则（3x）2+49＝（4x）2，解得：x＝， ∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°， ∴△ADE∽△ACD， 得DE：DA＝DC：AC＝3：3＝1：， 故选项B不正确； 由①知∠AED＝∠ADC， ∴∠BED＝∠BDA， 又∵∠DBE＝∠ABD， ∴△BED∽△BDA， ∴DE：DA＝BE：BD， 由②知DE：DA＝DC：AC， ∴BE：BD＝DC：AC， ∴AC•BE＝BD•DC＝12． 故选项C正确； 连接DM，在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线， 则DM＝MA． ∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC， ∴DM∥BF∥AC， ∴FM：MC＝BD：DC＝4：3； ∵△FMB∽△CMA， ∴BF：AC＝FM：MC＝4：3， ∴3BF＝4AC． 故选项D错误． 综上所述，①③正确，共有2个． 故选：AC． （多选）11．（4分）我们知道|a﹣b|表示a与b的差的绝对值，可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如|5﹣8|表示数5与8对应点之间的距离为3，以下说法正确的是（　　） A．若|x+2022|＝1，则x＝﹣2021或x＝﹣2023 B．若x＞y，则|x﹣1|＞|y﹣1| C．若|x﹣3|＜|y|，则|y|+3＞|x| D．若关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m﹣|x+6|恒成立，则m的取值范围为m≤7 【解答】解：∵|x+2022|＝1， ∴x+2022＝1或x+2022＝﹣1， 解得x＝﹣2021或x＝﹣2023， 故A符合题意； ∵x＞y， ∴x﹣1＞y﹣1， 当x﹣1＞y﹣1＞0时，|x﹣1|＞|y﹣1|； 当0＞x﹣1＞y﹣1时，|x﹣1|＜|y﹣1|； 故B不符合题意； ③∵|x﹣3|＜|y|， 当x＞3时，x﹣3＜|y|， ∴|y|+3＞x； 当x＜3时，3﹣x＜|y|， ∴|y|+3＞6﹣x， ∵x＜3， ∴6﹣x＞|x|， ∴|y|+3＞x； 故C符合题意； |x﹣1|+|x+2|+|x+6|表示数轴上表示x的点到表示1的点的距离、表示﹣2的点的距离、表示﹣6的点的距离和， ∴|x﹣1|+|x+2|+|x+6|≥7， ∵|x﹣1|+|x+2|≥m﹣|x+6|恒成立， ∴m≤7， 故D符合题意； 故选：ACD． （多选）12．（4分）数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，给出如下结论，其中正确的结论有（　　） A．[﹣x]＝﹣x B．若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1 C．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2 D．x＝﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5＝0的唯一一个解 【解答】解：因为[x]表示不大于x的最大整数，∴当[x]＝n时，n≤x，∴A不一定正确，不符合题意； 若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1，故B是正确的，符合题意； 当﹣1＜x＜0时，[1+x]+[1﹣x]＝0+1＝1， 当x＝0时，[1+x]+[1﹣x]＝1+1＝2， 当0＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]＝1+0＝1，综上C是正确的，符合题意； 由题意，得0≤x﹣[x]＜1， 4x﹣2[x]+5＝0， 2x﹣[x]+＝0， x﹣[x]＝﹣x﹣， ∴0≤﹣x﹣＜1， ∴﹣3.5＜x≤﹣2.5． 当﹣3.5＜x＜﹣3时，方程变形为4x﹣2×（﹣4）+5＝0， 解得x＝﹣3.25； 当﹣3≤x≤﹣2.5时，方程变形为4x﹣2×（﹣3）+5＝0， 解得x＝﹣2.75； 所以﹣3.25与﹣2.75都是方程4x﹣2[x]+5＝0的解．故D是错误的，不符合题意． 故选：BC． 三、填空题（本题共8小题，每小题4分，其中第20题每空2分，共32分.） 13．（4分）明代珠算发明家程大位的杰作《算法统宗》，其中有一题，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两．则所分的银子共有 　46　两． 【解答】解：设共有x人，所分的银子共有y两， 由题意得：， 解得：， 即所分的银子共有46两， 故答案为：46． 14．（4分）计算（1﹣）（1﹣）•…•（1﹣）的结果是　　． 【解答】解：原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）•…•（1+）（1﹣）＝××××××…××＝． 故答案为： 15．（4分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于　　． 【解答】解： 过点O作三角形边的垂线，垂足为E、F， ∵O为等边△ABC的中心，∴OE＝OF， 所求四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积， 即正三角形面积的． 正三角形的面积为×2×＝， 故四边形OABC的面积＝， 故答案为． 16．（4分）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为　2　cm． （精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）． 【解答】解：如图所示：连接DC，CF， 由题意：ED＝3，EC＝5﹣1＝4 CD2＝32+42＝25＝52， CF2＝52+102＝125， ∴吸管口到纸盒内的最大距离＝＝5≈11cm． ∴h＝13﹣11≈2cm． 故答案为：2． 17．（4分）已知a、b为抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3与x轴交点的横坐标，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为 　　． 【解答】解：当y＝0时，（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3＝0，（设a＜b）， 整理得x2﹣（2c+1）x+c2+c﹣3＝0， Δ＝（2c+1）2﹣4（c2+c﹣3）＝13， ∴x＝， 所以a＝c+，b＝c+， 所以|a﹣c|+|c﹣b|＝||+|﹣|＝+＝， 故答案为：． 18．（4分）某校举办数学竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位同学得了前5名．发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． 甲说：“乙是第三名，丙是第五名．” 乙说：“戊是第四名，丁是第五名．” 丙说：“甲是第一名，戊是第四名．” 丁说：“丙是第一名，丁是第二名．” 戊说：“甲是第三名，丁是第四名．” 老师说每个名次都有人猜对，则获得第一、二、三名的同学依次是　甲、丁、乙　． 【解答】解：这里，只有戊的名次是重复的，所以戊一定是第4名， 戊是第4名的话，那丁就一定不是4，且只有一人猜了乙的名次，故乙一定是第3名，只有两人猜了甲的名次，则甲是第1名，只有两人猜了丙，则丙只能是第5名，故丁是第2名． 总结下来，名次是：甲是第一名，丁是第二名，乙是第三名，戊是第四名，丙是第五名， 则获得第一、二、三名的同学依次是甲、丁、乙， 故答案为：甲、丁、乙． 19．（4分）如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过　70　秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【解答】解：设运动时间为t秒， 依题意，得：10t﹣7t＝100×3﹣100， 解得：t＝． ∵×10÷100＝＝6，×7÷100＝＝4， ∴当t＝时，乙点在AD边上，甲点在AB边上． ∵乙的速度10米/秒＞甲的速度7米/秒， ∴当点乙继续运动到点A时，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边AB上， ∴（6+1）×100÷10＝70（秒）． 故答案为：70． 20．（4分）对于个位数字不为0的任意一个两位数m，交换十位数字和个位数字的位置，得到一个新的两位数n，记F（m）＝，G（m）＝． （1）计算F（38）+G（59）＝　9　； （2）若一个两位数m＝10a+b（a，b都是整数，且5≤a≤9，1≤b≤9），F（m）+2G（m）是一个整数的平方，则满足条件的m的值有 　5　个． 【解答】解：（1）F（38）＝＝﹣5， G（59）＝＝14， ∴F（38）+G（59）＝﹣5+14＝9． 故答案为：9． （2）∵一个两位数m＝10a+b， ∴n＝10b+a， ∴F（m）+2G（m）＝+2× ＝3a+b， ∵5≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是整数， ∴16≤3a+b≤36， ∴3a+b为整数的有：16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36， ∵F（m）+2G（m）是一个整数的平方， ∴3a+b为16、25、36， ∵5≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是整数， ∴①当b＝1时， 3a+b＝16，a＝5，此时m＝51， 3a+b＝25，a＝8，此时m＝81， 3a+b＝36，a＝（舍去）， ②当b＝2时， 3a+b＝16，a＝（舍去）， 3a+b＝25，a＝（舍去）， 3a+b＝36，a＝（舍去）， ③当b＝3时， 3a+b＝16，a＝（舍去）， 3a+b＝25，a＝（舍去）， 3a+b＝36，a＝11（舍去）， ④当b＝4时， 3a+b＝16，a＝4（舍去）， 3a+b＝25，a＝7，此时m＝74， 3a+b＝36，a＝（舍去）， ⑤当b＝5时， 3a+b＝16，a＝（舍去）， 3a+b＝25，a＝（舍去）， 3a+b＝36，a＝（舍去）， ⑥当b＝6时， 3a+b＝16，a＝（舍去）， 3a+b＝25，a＝3（舍去）， 3a+b＝36，a＝10（舍去）， ⑦当b＝7时， 3a+b＝16，a＝3（舍去）， 3a+b＝25，a＝6，此时m＝67， 3a+b＝36，a＝（舍去）， ⑧当b＝8时， 3a+b＝16，a＝（舍去）， 3a+b＝25，a＝（舍去）， 3a+b＝36，a＝（舍去）， ⑨当b＝9时， 3a+b＝16，a＝（舍去）， 3a+b＝25，a＝（舍去）， 3a+b＝36，a＝9，此时m＝99， 综上所述：m的值为：51、67、74、81、99． 故答案为：5． 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．（10分）（1）解方程：； （2）已知α，β是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个不等实根，用k分别表示和． 【解答】解：（1）令x+＝a， 则（x+）2＝a2， ∴x2+＝a2﹣2， 则方程可化为3（a2﹣2）﹣7a＝4， 整理，得：3a2﹣7a﹣10＝0， ∴（a+1）（3a﹣10）＝0， 则a+1＝0或3a﹣10＝0， 解得a＝﹣1或a＝， 当x+＝﹣1，此方程无解； 当x+＝，整理得3x2﹣10x+3＝0， 解得x＝3或x＝， 经检验x＝3或x＝均是原方程的解； （2）∵α，β是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个不等实根， ∴α+β＝3，αβ＝k， ∴+＝﹣2＝﹣2； ∵α+2β＝β+3，k+18＝αβ+9+3α+3β＝α（β+3）+3（β+3）， ∴＝α+3， ∵α2＝3α﹣k， ∴ ＝++α2 ＝+（3+α）+α2 ＝ ＝ ＝ ＝． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BC＝6，∠BAC＝50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）． 【解答】（1）证明：根据题意得：BD＝CD＝BC， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴∠BAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC； （2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∵BD＝CD＝BC， ∴△BDC为等边三角形， ∴∠DBC＝∠DCB＝60°， ∴∠DBE＝∠DCF＝55°， ∵BC＝6，∴BD＝CD＝6， ∴ 的长度＝的长度＝＝； ∴、 的长度之和为+＝． 23．（10分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜， 此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B1A2，C1B2），（A1C2，C1B2，B1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），（A1C2，C1A2，B1B2），共四种，其中获胜的有两场， 故此田忌获胜的概率为P＝． （2）不是． 当齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，B1A2，C1B2）， 当齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，C1B2，B1A2）， 当齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，A1C2，C1B2）， 当齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，C1B2，A1C2）， 当齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，A1C2，B1A2）， 当齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，B1A2，A1C2）， 综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的6种可能对阵，所以田忌获胜的概率为P＝． 24．（10分）阅读下列材料： 材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1． 材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤： 第一步，用x表示y，得y＝； 第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2； 第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解． 材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）． 利用以上材料，解决下列问题： （1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解； （2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解． 【解答】解：（1）∵（15，20）＝5，（4，8）＝4， ∴原方程变形为：5x+4y＝99， ∴x＝， ∴99﹣4y是5的倍数， ∴当y＝1时，x＝19， ∴ 是原方程的解； （2）∵5x+4y＝99有整数解， ∴，，，，， ∴原方程有5组正整数解． 25．（15分）如图1，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是AB延长线上一点，且∠PEB＝∠A． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）如图2，连接CB交DE于点G，CB的延长线交PE于点H，求证：HE＝HG； （3）在（2）的条件下，若tan∠P＝，求的值． 【解答】（1）证明：如图1，连接OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EBA+∠A＝90°， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠BEO， ∴∠A+∠BEO＝90°， ∵∠PEB＝∠A， ∴∠PEB+∠BEO＝90°， ∴∠PEO＝90°， 又∵OE为半径， ∴PE是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接OD， ∵D为的中点， ∴OD⊥BC， 设垂足为M， ∴∠BMO＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BOD+∠OBM＝∠OBM+∠BGF＝90°， ∴∠BOD＝∠BGF， 在△AEB和△EFB中 ∵∠AEB＝∠EFA＝90°， ∠ABE＝∠FBE， ∴∠A＝∠BEF， ∵∠PEB＝∠A， ∴∠PEF＝2∠A， ∵DE⊥AB， ∴＝， ∴∠BOD＝2∠A， ∴∠PEF＝∠BOD＝∠BGF， ∴HE＝HG； （3）解：如图3， ∵∠PEF＝∠BOD，∠PFE＝∠DFO， ∴∠P＝∠ODF， ∴tan∠P＝tan∠ODF＝， 设OF＝5x，则DF＝12x， ∴OD＝＝13x， ∴AF＝OF+OA＝5x+13x＝18x，BF＝OB﹣OF＝13x﹣5x＝8x， ∵DE⊥OB， ∴EF＝DF＝12x， ∴BE＝＝4x，AE＝＝6x， ∵∠PEB＝∠A，∠EPB＝∠APE， ∴△PEB∽△PAE， ∴＝， ∵∠P+∠PEF＝∠FBG+∠BGF＝90°， ∴∠PEF＝∠BGF， ∴∠P＝∠FBG， 又∵∠FBG＝∠PBH， ∴∠P＝∠PBH， ∴PH＝BH， 过点H作HK⊥PB于点K， ∴PK＝BK， ∴， ∵tan∠P＝， 设HK＝5a，PK＝12a， ∴PH＝13a， ∴BH＝13a，PE＝36a， ∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a， ∴BG＝GH﹣BH＝23a﹣13a＝10a， ∴． 26．（15分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE． （1）求出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标． 【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A， ∴C（0，8），A（8，0）， 设抛物线解析式为：y＝ax2+c， 则， 解得：． 故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8； （2）正确，理由如下： 设P（a，﹣a2+8），则F（a，8）， ∵D（0，6）， ∴PD＝＝＝a2+2， PF＝8﹣（a2+8）＝a2， ∴PD﹣PF＝2； （3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小， ∵PD﹣PF＝2，∴PD＝PF+2， ∴PE+PD＝PE+PF+2， ∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小， 此时点P，E的横坐标都为4， 将x＝4代入y＝﹣x2+8，得y＝6， ∴P（4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点， ∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6）， 由（2）得：P（a，﹣a2+8）， ∵点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0）， ①当0≤a≤4时， S△PDE＝×（a+4）×（﹣a2+8）﹣×4×6﹣a（﹣a2+8﹣6） ＝﹣a2+3a+4； ∴4＜S△PDE≤12， ②当4＜a≤8时， S△PDE＝a（﹣a2+8﹣6）﹣×（a﹣4）×（﹣a2+8）﹣×4×6+＝﹣a2+3a+4； ∴4＜S△PDE≤12， ∴12≤S△PDE≤13， ∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个， 综上所述：11个好点，P（4，6）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$