精品解析：福建省三明市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 2．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 把点向下平移3个单位得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 某电梯标明“载客不超过13人”，若载客人数为x，x为自然数，则“载客不超过13人”用不等式表示为（ ） A. x＜13 B. x＞13 C. x≤13 D. x≥13 5. 下列多项式能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程 有增根，则k的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 8. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 9. 某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 11 D. 10 10. 某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 12. 如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是____． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，则的度数是____． 14. 已知 则 的值是__． 15. 如图，直线 与 相交于点，则关于x的不等式 的解集是____． 16. 如图，在中，，对角线交于点O，的平分线交于点E，连接． 下列结论： ①平分；②垂直平分；③④其中正确的是____(写出所有正确结论的序号)． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解不等式 并把它的解集表示在数轴上． 19. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，点A，B，O都是格点(网格线的交点称为格点)．请你仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． （1）画出点A关于点O对称点C； （2）连接，画出线段绕点C按逆时针方向旋转 后得到线段； （3）连接，，画出 的角平分线． 20. 先化简，再求值： 然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入． 21. 如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且 （1）求证: （2）若 求 的度数． 22. 如图，在 中，D，E分别是，的中点． （1）尺规作图：过点A作直线；(保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，若的延长线与直线交于点F，求证： 23. 某文具店计划购进甲、乙两种品牌笔袋，已知每个甲品牌笔袋的进价比每个乙品牌笔袋的进价多4元，且用300元购进甲品牌笔袋的数量与用240元购进乙品牌笔袋的数量相同． （1）求甲、乙品牌笔袋每个的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进甲、乙两种品牌的笔袋共200个，总费用不超过3620元，其中甲品牌笔袋的数量不少于100个，若每个甲品牌笔袋的售价26元，每个乙品牌笔袋的售价20元．要使这批甲、乙两种笔袋全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排购进数量？并求出最大利润是多少元？ 24. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” （1）特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 25. 【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学探究活动．在 中，的垂直平分线分别交于点D，E，将 绕点D按顺时针方向旋转得到，点B，E的对应点分别是点F，G． 【操作探究】 (1)如图①，当落在直线上时，求证：； (2)如图②，当时，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)若，探究在绕点D旋转的过程中，E，F两点之间距离的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 2．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于0的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意， 故选：C． 3. 把点向下平移3个单位得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，进行求解即可． 【详解】解：把点向下平移3个单位得到的点的坐标是， 故选C． 4. 某电梯标明“载客不超过13人”，若载客人数为x，x为自然数，则“载客不超过13人”用不等式表示为（ ） A x＜13 B. x＞13 C. x≤13 D. x≥13 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：由题意得：x≤13， 故选C． 考点：由实际问题抽象出一元一次不等式． 5. 下列多项式能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：A．，能因式分解，故符合题意； B．，不能因式分解，故不符合题意； C．，不能因式分解，故不符合题意； D．，不能因式分解，故不符合题意； 故选：A． 6. 将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法，解题的关键是把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．直接在数轴上表示两个不等式的解集即可． 【详解】解：不等式组 的解集在数轴上表示为： ， 故选：D． 7. 若关于x的方程 有增根，则k的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，正确理解分式方程增根的含义是解题的关键．增根是指代入分式方程后分母的值为0的根，因此可将原方程去分母，然后将增根代入求k的值． 【详解】解：去分母，得 ， ∵方程有增根， 所以，是方程的增根， 将代入上式，得， 解得． 故选：A． 8. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时， 第一步先假设三角形中有两个内角是直角， 故选：A． 9. 某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和，以及镶嵌问题．正确的识图，求出正n边形的一个外角的度数是解题的关键．由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为， ∴正n边形的一个内角的度数为， ∴正n边形的一个外角的度数为， ∴， 故选：B． 10. 某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论. 【详解】解：设原来，则 ∵， ∴， ∴， 增大后，， ∴， ∴， ∴， ∴的变化情况是减小， 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】分母相同的，直接合并分子即可. 【详解】原式==1. 【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是熟练运用加减法法则. 12. 如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是4， 故答案为：4． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，则的度数是____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，利用等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，利用线段垂直平分线的性质可得，利用等边对等角求出的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知 则 的值是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴； 故答案为：． 15. 如图，直线 与 相交于点，则关于x的不等式 的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的交点坐标可得答案． 【详解】解：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∵直线 与 相交于点， ∴不等式 的解集为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，对角线交于点O，的平分线交于点E，连接． 下列结论： ①平分；②垂直平分；③④其中正确的是____(写出所有正确结论的序号)． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】证明为等边三角形，得到，结合，推出，得到，进而得到，判断①，三线合一判断②，推出为含30度角的直角三角形，勾股定理求出的长，含30度角的直角三角形的性质，得到的关系，判断③，三角形的中线结合面积公式判断④． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；故①正确； ∵，， ∴， ∴垂直平分；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴；故③错误； ∵为的中线， ∴故④错误； 综上：正确的是①②； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因数2，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解不等式 并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法的解题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项进行求解，然后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示： ． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O都是格点(网格线的交点称为格点)．请你仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． （1）画出点A关于点O的对称点C； （2）连接，画出线段绕点C按逆时针方向旋转 后得到的线段； （3）连接，，画出 的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转，中心对称等知识，解题的关键是： （1）利用中心对称的性质找出格点C即可； （2）利用旋转的性质找出格点D，连接即可； （3）利用网格特点找出中点E，然后连接即可． 【小问1详解】 解：如图，点C即为所求； 【小问2详解】 解，如图，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，线段即为所求． 20. 先化简，再求值： 然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴当时，原式；当时，原式． 21. 如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且 （1）求证: （2）若 求 的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，即可得证； （2）利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用（1）中可得出，即可求解。 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 22. 如图，在 中，D，E分别是，的中点． （1）尺规作图：过点A作直线；(保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，若的延长线与直线交于点F，求证： 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图和平行四边形的判定和性质， 根据作一个角等于已知角和平行线的判定即可； 根据平行线的性质得和，即可证明，有，根据题意得，则有四边形为平行四边形，即可证明． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 如图， 由（1）知，，则，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∴． 23. 某文具店计划购进甲、乙两种品牌的笔袋，已知每个甲品牌笔袋的进价比每个乙品牌笔袋的进价多4元，且用300元购进甲品牌笔袋的数量与用240元购进乙品牌笔袋的数量相同． （1）求甲、乙品牌笔袋每个的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进甲、乙两种品牌的笔袋共200个，总费用不超过3620元，其中甲品牌笔袋的数量不少于100个，若每个甲品牌笔袋的售价26元，每个乙品牌笔袋的售价20元．要使这批甲、乙两种笔袋全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排购进数量？并求出最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲品牌笔袋的进价为20元，乙品牌笔袋的进价为16元 （2）购进甲品牌笔袋105个，购进乙品牌笔袋95个，利润最大，最大为1010元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设甲品牌笔袋的进价为元，根据每个甲品牌笔袋的进价比每个乙品牌笔袋的进价多4元，且用300元购进甲品牌笔袋的数量与用240元购进乙品牌笔袋的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进甲品牌笔袋个，根据总费用不超过3620元，其中甲品牌笔袋的数量不少于100个，求出的范围，设总利润为，根据总利润等于两种品牌笔袋的利润之和列出函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可． 小问1详解】 解：设甲品牌笔袋的进价为元，则乙品牌笔袋的进价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：甲品牌笔袋的进价为20元，乙品牌笔袋的进价为16元； 【小问2详解】 设购进甲品牌笔袋个，则购进乙品牌笔袋个，由题意，得： ， ∴， 又∵， ∴； 设总利润为，则：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大：， 即：购进甲品牌笔袋105个，购进乙品牌笔袋95个，利润最大，最大为1010元． 24. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” （1）特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】（1）40是“和谐数”，理由见解析 （2）“和谐数”能被8整除，理由见解析 （3）是 “和谐数”，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【小问1详解】 解：设， 解得， ∴40是“和谐数”； 【小问2详解】 解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； 【小问3详解】 解：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 25. 【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学探究活动．在 中，的垂直平分线分别交于点D，E，将 绕点D按顺时针方向旋转得到，点B，E的对应点分别是点F，G． 操作探究】 (1)如图①，当落在直线上时，求证：； (2)如图②，当时，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)若，探究在绕点D旋转的过程中，E，F两点之间距离的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差即可得出结论； （2）根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出的值，再利用勾股定理求出的长，旋转得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵垂直平分， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵落在直线上， ∴，即：； （2）∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 在中，， ∵旋转， ∴， 连接 ∵， ∴，即：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$