精品解析：2024年甘肃省临夏州中考数学试卷

2024年临夏州初中毕业暨高中阶段学校招生考试 数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2. 马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案． 【详解】解：该几何体的三视图各不相同，主视图的中间出有两个“耳朵”而左视图则没有；俯视图是三个同心圆（夹在中间的圆由虚线构成）． 故选：D． 3. 据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：27亿． 故选：C． 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题． 【详解】解：A. 不是同类项，不能运算，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 5. 一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴图象一定过第二、四象限， ∵b=-1， ∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 7. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是 元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 8. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 9. 如图，是坐标原点，菱形的顶点 在 轴的负半轴上，顶点 的坐标为，则顶点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点 的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点 的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点 的坐标为． 故选C． 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点 从 出发，沿着的路径行进，过点 作，垂足为 ．设点 的运动路程为 ，为，与 的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和为和正多边形的每个内角都相等是解题关键．根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为，再除以6即可． 【详解】解：∵正六边形的内角和为， ∴正六边形的每个内角为． 故答案为：120． 13. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可． 【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1． 故答案为-1. 【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 14. 如图，在中，点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，点 在第一象限（不与点 重合），且与全等，点 的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点 在第一象限（不与点 重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点 在第一象限（不与点 重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段 的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 15. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于 ， 两点，则的长度为______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 由对折可知，，过点E作的垂线，进而可求出的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：∵折叠，且四边形是正方形 四边形是矩形，， 则，． 过点E作于P， 则， ， 在中，， ， 则， 的长度为：， 故答案为： 16. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使 的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 【详解】 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集是 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了 ， ， ， 四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中 卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中 卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 21. 根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点 与坐标原点重合，点 在 轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点 ， 为圆心，长为半径作弧，两弧交于点 ； ②以点 为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点 顺时针旋转，直接写出此时点 所在位置的坐标：______． 【答案】任务一： 如图，正六边形即为所作； 任务二： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； 任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点 所在位置的坐标为． 【详解】解：任务一：略 任务二：如图， 由旋转可知， ∴， ∴． 故答案为：． 22. 乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动． 为乾元塔的顶端，，点 ， 在点 的正东方向，在 点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得 点仰角为，向西平移14.5米至点 ，测得 点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】乾元塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设平移后得到，延长交于点 ，设，分别解，表示出 的长，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设平移后得到，延长交于点 ，则：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：乾元塔的高度约为米． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的10名女生检测成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 3 注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是_____，众数为______分； （2）女生检测成绩表中的______，______； （3）已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数． 【答案】（1）2，8 （2）2，2 （3）398人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，扇形统计图，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用样本容量乘以10分的学生数所占的百分比，求出男生检测成绩为10分的学生数，百分比最大的分数为众数，求解即可； （2）根据中位数的定义结合题意求出即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵8分的人数所占的百分比最大，即8分的人数最多， ∴众数为8分； 故答案为：2，8； 【小问2详解】 ∵中位数为第5个和第6个数据的平均数，且中位数为8.5分 ∴数据从小到大排列后，第5个是8分，第6个是9分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2，2； 【小问3详解】 （人）， 答：估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398人． 24. 如图，直线 与相切于点 ，为的直径，过点 作于点 ，延长交直线 于点 ． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵直线 与相切于点 ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 25. 如图，直线与双曲线交于 ， 两点，已知 点坐标为． （1）求 ，的值； （2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点 ，与 轴交于点 ，与轴交于点 ，若，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点A在反比例函数图象上， ∴，解得， 将代入， ； 【小问2详解】 解：如图，过点C作轴于点F， ， ，， ， ， ，， ∵直线向上平移m个单位长度得到， 令，得，令，得， ，， ，， ， 双曲线过点C， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键． 26. 如图1，在矩形中，点 为边上不与端点重合的一动点，点 是对角线上一点，连接 ， 交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若 ，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长 交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为 ，延长 交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出 的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）延长 交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为 ，则：， 延长 交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点 ，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点 是线段上方的抛物线上一动点，过点 作，垂足为 ，请问线段 是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段 与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，最大值是， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点 作轴，交于点 ，设，根据三角函数得到，得到当最大时， 的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的 值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与 轴交于，两点， ∴， ∴； 【小问2详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点 作轴，交于点 ，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时， 最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时 最大，为， ∴； 【小问3详解】 设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段 与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年临夏州初中毕业暨高中阶段学校招生考试 数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 2. 马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 3. 据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 7. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是 元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 9. 如图， 是坐标原点，菱形的顶点 在 轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点 从 出发，沿着的路径行进，过点 作，垂足为．设点 的运动路程为 ，为 ， 与 的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 12. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______． 13. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______． 14. 如图，在中，点 的坐标为，点 的坐标为，点的坐标为，点 在第一象限（不与点重合），且与全等，点 的坐标是______． 15. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点 为圆心，为半径作弧，分别交，于 ， 两点，则的长度为______（结果保留）． 16. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使 的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 解不等式组：． 20. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了 ， ，， 四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 21. 根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点 重合，点 在 轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点， 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ； ②以点 为圆心，长为半径作圆； ③以 的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点 顺时针旋转，直接写出此时点 所在位置的坐标：______． 22. 乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动． 为乾元塔的顶端，，点， 在点 的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得 点仰角为，向西平移14.5米至点 ，测得 点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的10名女生检测成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 3 注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是_____，众数为______分； （2）女生检测成绩表中的______，______； （3）已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数． 24. 如图，直线 与相切于点 ，为的直径，过点 作于点 ，延长交直线 于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 25. 如图，直线与双曲线交于 ， 两点，已知 点坐标为． （1）求 ，的值； （2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，若，求 的值． 26. 如图1，在矩形中，点 为边上不与端点重合的一动点，点 是对角线上一点，连接 ， 交于点 ，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与 轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点 是线段上方的抛物线上一动点，过点 作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $