精品解析：2024年广东省广州市华侨外国语学校中考二模数学试题

2024年九年级二模考试 数学问卷 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是（ ）. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 两辆车按1，2编号，小滨、小江两位同学可任意选坐一辆车，两位同学同坐1号车的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b0，则这个函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（ ） A. 6 B. 4 C. D. 3 10. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 实数4的算术平方根为_____． 12. 分解因式：______________． 13. 圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为______． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 15. 如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是______． 16. 如图，在矩形中，，，点在直线上，连接，     （1）当，则__________． （2）当最大时，__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 19. 已知 （1）化简T． （2）若a为二次函数的最小值，求此时的T值． 20. 某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为． 分段 成绩范围 频数 频率 A a m B 20 b C c D 70分以下 10 n （1）在统计表中，______，______，______； （2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点的直线交反比例函数的图像于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． 22. 某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． （1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，在中，是钝角． （1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出圆，使其过两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，，． 求证：是圆的切线； 求圆的半径长； 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为． （1）直接写出点的坐标：______（用含的式子表示）； （2）若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值； （3）在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围． 25. 如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且； （1）如图1，当时，求的长度． （2）如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：． （3）连接，当的长度最小时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级二模考试 数学问卷 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形， 故选：D． 【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案． 【详解】解：， ． 在数轴上表示如图所示： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式的性质． 4. 2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是（ ）. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，根据把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，取中间两个数的平均数，即为中位数，据此即可作答． 【详解】解：依题意， 把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12， ∵数据有6个，为偶数个， ∴取中间两个数的平均数：， ∴中位数为， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘方法则判断D即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 6. 两辆车按1，2编号，小滨、小江两位同学可任意选坐一辆车，两位同学同坐1号车的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率．画树状图表示出小滨、小江两位同学可任意选坐一辆车，共有种等可能的情况，两位同学同坐号车的情况只有种，小滨、小江两位同学可任意选坐一辆车，两位同学同坐1号车的概率是． 【详解】解：如下图所示，   小滨、小江两位同学可任意选坐一辆车，共有种等可能的情况， 两位同学同坐号车的情况只有种， 小滨、小江两位同学可任意选坐一辆车，两位同学同坐1号车的概率是． 故选：C． 7. 一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b0，则这个函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小， ∴k＜0． ∵b0， ∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．利用数形结合的数学思想，得到一次函数图象不在反比例函数图象下方部分的点的横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即， 所以当时，的取值范围是：或． 故选：C 9. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（ ） A. 6 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．连接，证明，结合，，可得，，，，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值． ∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1， ∴a-b= -2,2a-b＞0， ∴2a-a-2＞0， ∴a＞2＞0， ∴b=a+2＞0， ∴abc＞0， ∵, ∴△==＞0, ∴有两个不等的实数根； ∵b=a+2，a＞2，c=1， ∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3， ∵a＞2， ∴2a＞4， ∴2a+3＞4+3＞7， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 12. 分解因式：______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 13. 圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：弦所对的圆心角是， ∴劣弧所对圆心角是， 劣弧所对的圆周角为， 故答案为：． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】-3． 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = =1+2×（-2） =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 15. 如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是______． 【答案】216 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算及解直角三角形．根据的正切，设出及的长，再根据圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等即可解决问题． 【详解】解：在中， ， 则令，， ． 令圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为， 则， 解得， 所以圆锥侧面展开扇形的圆心角是． 故答案为：216． 16. 如图，在矩形中，，，点在直线上，连接，     （1）当，则__________． （2）当最大时，__________． 【答案】 ①. 或 ②. 18 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，分两种情况讨论：①当点在线段上时，根据矩形的性质和勾股定理求得，，即可求解；②当点在射线上时，根据矩形的性质和勾股定理求得，，即可求解，综合两种情况即可得到答案； （2）作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，先证明，继而，因此，故的最大值转化为的最大值，由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故，得到，由勾股定理得到和，即可求解． 【详解】（1）解：①当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当点在射线上时， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴； 综上可知， 或； （2）作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点O为中点， ∴， ∴由勾股定理得， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最大值转化为的最大值， ∵， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值为18， ∴， ∴， 在中，，即， 在中，， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角形是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根．根据特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根的性质计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 19. 已知 （1）化简T． （2）若a为二次函数的最小值，求此时的T值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和知识点是解题的关键． （1）先将括号内的分式通分化简，再将除法运算转化为乘法运算即可； （2）先对二次函数进行配方即可求出最小值，再代入求解． 【小问1详解】 解： ， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴二次函数的最小值为3，即， ∴． 20. 某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为． 分段 成绩范围 频数 频率 A a m B 20 b C c D 70分以下 10 n （1）在统计表中，______，______，______； （2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）5，，15 （2） 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中D段对应扇形圆心角为，D段人数为10人，可求出总人数，即可求出b，c，a的值； （2）通过列举所选情况可知：共20种结果，并且它们出现的可能性相等，其中其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：总人数为：（人， ∴，（人， ∴（人， 故答案为：5，，15； 【小问2详解】 解：由（1）可知：段有男生2人，女生3人， 记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3， 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男1女3 男2 男2男1 男2女1 男2女2 男2女3 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女1女3 女2 女2男1 女2男2 女2女1 女2女3 女3 女3男1 女3男2 女3女1 女3女2 共20种结果，并且它们出现的可能性相等， 其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种， 即恰好选到1名男生和1名女生的概率的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点的直线交反比例函数的图像于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为： （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查是一次函数与反比例函数的综合，涉及反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的性质并数形结合． （1）先求出点坐标，再用待定系数法即可求解； （2）根据已知条件求出坐标，再求出的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和反比例函数的解析即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得：， 解得：， ， 将代入反比例函数中，得：， 解得：， 反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 如图，过点作轴于点， ， ， 在中，令，则， 解得：， ， ， 是以为底的等腰三角形， ， ， ， ， 设直线的表达式为：，将，代入， 得：， 解得：， 直线的表达式为：， 联立， 解得：（舍去）或， 点的坐标为． 22. 某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． （1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元 （2）①与的函数关系式为；②购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用， （1）设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元， 根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 元， 答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元； 【小问2详解】 ①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个， 则， 与的函数关系式为； ②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半， ， 解得， ，，是正整数， 当时，最大，最大值为， 答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 23. 如图，在中，是钝角． （1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出圆，使其过两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，，． 求证：是圆的切线； 求圆的半径长； 【答案】（1） 点如图所示： （2）证明：如图所示，连接， 是直径， 即， 又是半径， 是的切线； ， 【解析】 【分析】（1）作出线段的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解； （2）连接，得出，根据，结合已知条件得出，即可得证； 先证明，得到，求解，则半径可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ∴圆的半径长为． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识，解题关键是正确作图并得出相似． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为． （1）直接写出点的坐标：______（用含的式子表示）； （2）若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值； （3）在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质； （1）抛物线的对称轴为，将代入抛物即可求得答案； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得，结合 ，可得，可知是的二次函数； （3）在（2）的条件下，求得当关于的对称点在上时，，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为， 将代入抛物线，得 所以，点的坐标为 【小问2详解】 解：令，则 即， 设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得 ， 解得， 又， ∴， 即， ∵， ∴当时，的最小值为； 【小问3详解】 解：∵的坐标为，， ∴到的距离为 当关于的对称点在上时， 则 设，则 设、的横坐标为，则是方程即的两根， ∴ 解得： ∴ 又， ∴ 解得：或（因为抛物线开口向上，，舍去） 即当 关于的对称点在上时， 在（2）中，当， ∴当点关于直线的对称点在直线的上方时， 25. 如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且； （1）如图1，当时，求的长度． （2）如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：． （3）连接，当的长度最小时，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：由题意知，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 如图2，连接， AI    ∵，，， ∴， ∴，， 设，则，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四点共圆， 如图2，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过D作交于S，设，先根据三角函数得到，解方程得到，再根据即可求出的值； （2）由题意知，，，，由，可得，如图2，连接，证明，则，，设，则，，，，，，，由，可知四点共圆，如图2，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，则，由，可得，，则，； （3）如图3，连接，作于，由题意知，，，由（2）可知，，设，则，，，由勾股定理得，，可知当时，最小，即最小，由，代值求解即可. 【小问1详解】 解：如图1：过D作交于S，设， ∵等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，作于， 由题意知，，， 由（2）可知，， 设，则，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴最小时，， ∴当的长度最小时，的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，余弦，正切，全等三角形的判定与性质，四点共圆，三角形外角的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，二次函数的最值等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，余弦，正切，全等三角形的判定与性质，四点共圆，三角形外角的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，二次函数的最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $