精品解析：上海市市北中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 使取最小值的的集合是 A. B. C. D. 4. 在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共35分. 5. 的角所对应的弧度数为__________. 6. 在中，已知，，，则角的大小为__. 7. 函数的定义域为________． 8. 已知，则的值为________． 9. 函数的最小正周期是______. 10. 方程，，则 ______用反三角函数表示 11. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 12. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 13. 已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______. 14. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 16. 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 17. 已知下列是两个等式： ①； ②； （1）请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； （2）请证明你的结论； 18. 如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段； （1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 19. 某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，，此时， 即推不出成立； 当时，，此时， 即推不出成立； 故是成立的既非充分也非必要条件， 故选：D 2. 与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式对化简，然后再利用诱导公式对各选项化简分析判断即可. 【详解】解：， 对于A，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C错误； 对于D，，所以D正确． 故选：D． 3. 使取最小值的的集合是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的取值范围，求得当取何值时，函数取得最小值. 【详解】由于，所以当时，函数取得最小值为.故使取最小值的的集合是. 故选A. 【点睛】本小题主要考查含有余弦型函数何时取得最小值，考查三角函数的性质，属于基础题. 4. 在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式化简已知可得2cos2cos1＝0，解方程可解得cos的值，可求范围∈（0，），即可判断； 对于B，利用SabsinC＝2R2sinAsinBsinC判定； 对于C，利用tanA＝﹣tan（B+C），计算即可； 对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A＝B＝C，结合已知即可判断得解． 【详解】解：对于A，因为sinsin（）＝cos， 若cosA＝sin，则可得2cos2cos1＝0，解得cos1，或， 因为A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故错误； 对于B，SabsinC•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsinBsinC，故错误； 对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）， 则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确； 对于D，若，则，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为非等边斜三角形，故错误． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，共35分. 5. 的角所对应的弧度数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由180°＝π，得1°，则答案可求． 【详解】∵180°＝π， ∴1°，则15°＝15． 故答案为：． 【点睛】本题考查弧度与角度的互化，是基础题． 6. 在中，已知，，，则角的大小为__. 【答案】 【解析】 【分析】由题意和余弦定理可得，由三角形内角的范围可得. 【详解】∵在中，，， ∴由余弦定理可得 ， ∵，∴. 故答案为：. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题. 7. 函数的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【解析】 【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 8. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系将正余弦化为正切求解即可 【详解】由，得， 所以，解得， 故答案为： 9. 函数的最小正周期是______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案. 【详解】函数的最小正周期是:. 故答案为：. 10. 方程，，则 ______用反三角函数表示 【答案】 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义，可知表示正弦等的锐角，由此结合正弦的诱导公式即可求解． 【详解】解：若锐角满足，则， 因此当时，满足的． 故答案为：． 11. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得； 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 12. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围. 【详解】令，，解得，， 令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为， 故答案为：. 13. 已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 14. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图像，分，，，，讨论观察图像可得答案. 【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点 当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合； 当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点； 当时，函数零点为-2，0，有2个零点； 当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点； 综上：实数a的取值范围是 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行. 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式直接进行求值； （2）利用任意角的三角函数定义求得，再由两角差的正切求解的值． 【详解】（1），，， . （2）由题意，， 由（1）知，， 则． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，考查基本的运算求解能力． 16. 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式； （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可. 【小问1详解】 因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数， 则在区间上单调递减，所以，解得， 又因为，所以或2， 当或2时，不是偶函数，舍去； 当时，是偶函数，合题意，所以. 【小问2详解】 对任意实数，不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 17. 已知下列是两个等式： ①； ②； （1）请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； （2）请证明你的结论； 【答案】（1） （2） 证明：因为，， 故 ， 即. 【解析】 【分析】（1）根据归纳推理，即可得结论； （2）利用二倍角公式的变形结合两角和差的余弦公式，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； 【小问2详解】 略 18. 如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段； （1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）A在弧的四等分点处， . 【解析】 【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案. （2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 作，垂足为H，交于E，连接， 由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称， 则，则， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则 ； 【小问2详解】 因为，则， ， 故， 则 ， 因为，所以，故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案. 19. 某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 【答案】（1）表格如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据列方程组可求出的值，由函数的最值可求出，从而可求出函数解析式和表格中的数据； （2）先根据三角函数图象变换规律求出，然后得，求出函数定义域后，再利用换元法可求出函数的增区间； （3）由于的周期为，所以当时，令，考虑方程的根情况，设在必有两个不同的实数根，，，然后分，且，，且三种情况分析可得或，从而可求得结果. 【小问1详解】 解：根据表中的数据可得，解得， 令表格空格从左到右依次为，故，所以， 又，所以完表如下 所以. 【小问2详解】 解：将函数的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为：， 再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数，故为减函数； 当时，为减函数，故为增函数. 所以的增区间为. 【小问3详解】 解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故. 若，则方程，在共有4个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根，与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或，与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理,，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根，与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意. 综上，，在共有3031个不同的零点. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查复合函数的单调性，考查函数与方程的综合问题，第（3）问题解题的关键是分类讨论在一个周期上零点的情况，考查计算能力和分类思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $