精品解析：广东省湛江市岭南师范学院附属中学2023-2024学年高一下学期第二次段考数学试题

岭南师范学院附属中学 2023-2024学年第二学期 高中非毕业班第二次段考 高一年级 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数 (是虚数单位)，则=（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 5. 如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（    ） A. B. C. D. 7. 已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本起共3小题，每小题6分，共18分．在每小起给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 互为共轭复数 B. C. D. 10. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边和圆心在原点的单位交于点，则______. 13. 如图所示，是菱形所在平面外的一点，且，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若与平面所成的角为，则______． 14. 如图，半径为1的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量满足，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，． 16. 已知向量，，． （1）求出的解析式，并写出的最小正周期； （2）令，求的单调递减区间． 17. 如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． （1）证明：平面； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 18. 在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答． 在中，角，，边分别为，，，且________． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 19. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，．点D，分别是棱AC，的中点． （1）求证：平面； （2）求点C到平面的距离d； （3）点E是直线上一点，求平面平面时，线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岭南师范学院附属中学 2023-2024学年第二学期 高中非毕业班第二次段考 高一年级 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数 (是虚数单位)，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接计算得到，再用共轭复数的定义求. 【详解】因为， 所以其共轭复数. 故选：A． 2. 下列各式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则求解. 【详解】对于A，因为，A错误， 对于B，因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，，则平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则相交或平行，故B错误； 对于C，若，，则（垂直于同一平面的两条直线互相平行），故C正确； 对于D，若，，则相交或平行，故D错误. 故选：C. 4. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D 5. 如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故， 所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 6. 如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形,结合勾股定理算出各边长度即可求解. 【详解】由题意,,由可得, 由, 可得,所以, 而， 所以， 结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形， 如图所示： 由勾股定理可得， 所以满足题意的平面图形的周长是. 故选:C. 7. 已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围 【详解】法一：因为在上，不妨设， 则（其中） 所以 ， 因为，所以 法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点， 其中，， ∴ ∵ ∴ 故选：D. 8. 若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得，进而求得. 【详解】关于的方程在内有两个不同的解， 即（，取为锐角） 在内有两个不同的解， 即方程在内有两个不同的解． 不妨令，由，则， 所以， 所以．则， 即， 所以． 故选：D． 二、选择题：本起共3小题，每小题6分，共18分．在每小起给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 互为共轭复数 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，从而利用共轭复数概念判断A，利用复数加法运算判断B，求复数模判断C，根据虚数定义判断D. 【详解】因为，又，所以互为共轭复数，故A正确； ，故B正确； ，所以，故C正确； 由于虚数不能比较大小，故D错误. 故选：ABC 10. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D. 【分析】对于A，因为，， 则，解得，故A正确； 对于B，因为，则，解得， 所以，解得，故B错误； 对于C，因为， 而，当且仅当反向时，等号成立， 此时，解得或， 当，同向，舍去； 当，满足反向；故C正确； 对于D，若，则， 即，所以， 则 ，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：反证，假设，根据线面垂直可得，得出矛盾；对于B：根据线面平行的判定定理分析判断；对于C：由题意可证，结合直角三角形的性质可知三棱锥外接球的球心为的中点，进而可求半径和表面积；对于D：分析可知直线BD与平面PAC所成角为，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为平面，平面，则， 又因为D，E分别是PA、PC的中点，则∥， 假设，则， 且，平面，可知平面， 由平面，可得，这与题意不符，故A错误； 对于选项B：因为∥，平面DEB，平面DEB， 所以平面DEB，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，则， 由题意可知：，且，平面， 可知平面，由平面，可得， 由可知：三棱锥外接球的球心为的中点， 则三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：连接， 因为平面，且， 可知直线BD与平面PAC所成角为，其余弦值为，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边和圆心在原点的单位交于点，则______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 13. 如图所示，是菱形所在平面外的一点，且，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若与平面所成的角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】找出与平面所成的角，后算出正弦值即可． 【详解】 如图，取的中点，连接，． ∵是等边三角形，∴． 又平面平面，平面平面， 平面，∴平面，∴为与平面所成的角． 易知在中，，， 同理，因此 则，即. 故答案为：． 14. 如图，半径为1的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】易知，，利用三角形相似可得的长，进而求得，同理可求得得，再结合等体积法与相似，推出，然后计算三棱锥的体积，即可得解． 【详解】解：因为线段、分别与球面交于点、， 所以，， 又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量满足，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入计算即可； （2）由题得列出方程，求解即可． 【小问1详解】 因为与的夹角为， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 因为， 所以 ， 化为，解得． 16. 已知向量，，． （1）求出的解析式，并写出的最小正周期； （2）令，求的单调递减区间． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据向量的数量积的运算得到，即可求解最小正周期; （2）由（1）得，利用余弦型函数的性质，即可求解函数的递减区间； 【小问1详解】 . 所以的最小正周期. 【小问2详解】 . 令，得， 所以的单调减区间为. 17. 如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． （1）证明：平面； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） 设，连接， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面， 所以平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设，连接，可知//，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下： 因数中点为，，则， 过作的平行线交于，连接． 由于，即．则， 且平面，平面，所以平面， 由（1）可知：平面， 因为，平面，可得平面平面， 且平面，所以平面. 18. 在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答． 在中，角，，边分别为，，，且________． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①：根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到，即可求解；选②：利用正弦定理角化边结合余弦定理得到，即可求解；选③：根据条件和三角形的面积公式得到，通过三角恒等变换和诱导公式得到，即可求解； （2）根据正弦定理得到，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到的取值范围. 【小问1详解】 若选①： 由正弦定理得：， 即， 又因为，则， 所以，又，则， 所以，又，所以. 若选②： 由正弦定理得：，化简得：， 又由余弦定理得：， 因为，所以. 若选③： 因为， 即， 则， 又由正弦定理得：， 又，，所以， 即， 又因为，则， 所以，又，则， 所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 则，， 所以， 又， 所以， 则， ∵为锐角三角形， ∴，即，解得：， ∴，则， ∴, 故的取值范围是. 19. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，．点D，分别是棱AC，的中点． （1）求证：平面； （2）求点C到平面的距离d； （3）点E是直线上一点，求平面平面时，线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得答案； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求点C到平面的距离d； （3）过作，交于，连结，可证明平面，则得到平面平面，求出斜边上的高即可得答案. 【小问1详解】 在直三棱柱中, 面，且面， ， 又，平面， 平面； 【小问2详解】 因为两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设面的法向量为， 则，取可得 点C到平面的距离； 【小问3详解】 过作，交于，连结， 点D，分别是棱AC，的中点， ，又面，且面， ，， 又，平面， 平面，又平面， 平面平面， 此时线段为斜边上的高， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $