精品解析：江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷）

南京外国语学校 2023—2024学年度第二学期期末考试高一年级 数学试题（A卷） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．） 1. 若的方差为3，则的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质进行求解. 【详解】的方差为3， 的方差为. 故选：D 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据除法运算求，再根据共轭复数的特征求. 【详解】由题意可知，， 所以. 故选：C 3. 在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不确定 【答案】D 【解析】 【分析】的边DE垂直平面，所以 ，作 则. 【详解】如下图所示，确定一个平面，的边DE垂直平面，所以 ， 作，因为平面，而平面，故， 而，故平面，又平面中，则， 对于给定的，当 变化时，的取值范围为， 故的大小跟无关. 故选：D 4. 已知向量，若，则（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出的坐标，根据向量垂直的坐标表示可解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：D 5. 异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 7. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，为P在面内的射影，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，然后求出的面积，再利用等体积法求出，从而可求出的值. 【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，， 所以，， ， 所以， 因为，所以， 所以, 因为， 所以， 所以，得， 所以 ， 故选：C 8. 如图，直线为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线所成的角为 ，则点M到直线b的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设过直线 且与 平行的平面为 ， 为的公垂线段，在 内过点 作∥ ，作于，在 内过作于，连接，可证得即为点M到直线b的距离，在中求解即可. 【详解】如图，设过直线 且与 平行的平面为 ， 为的公垂线段， 在 内过点 作∥ ，则与直线 成 的角， 作于，则平面 ， 在 内过作于，连接， 因为平面 ，平面 ，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为点M到直线b的距离， 在中，，， 则， 所以， 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 在中， B. 在中，若，则 C. 在中，若，则 D. 在中， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理，以及边角互化，判断ACD，根据三角函数值确定角的关系，判断B. 【详解】A.根据正弦定理可知，, 所以，故A正确； B. 在中，若，则或， 若，则，则，若，，不一定，故B错误； C. 在中，若，则，根据正弦定理可知，，故C正确； D. 中，，所以，故正确. 故选：ACD 10. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段 上的点（不含端点）．设与 所成的角为与平面 所成的角为 ，二面角的平面角为 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先判断四棱锥为正四棱锥，再根据线线角，线面角和二面角的定义，构造这些角的平面角，再计算正切值，即可判断结论. 【详解】因为四棱锥的底面是正方形，且侧棱长相等，所以四棱锥是正四棱锥， 过 作，交 于 ，，过底面中心 作交 于点，点是 的中点，连结，则， 取 中点，连结，如下图所示，， 连结，平面 ，所以， 连结，点是 的中点，所以，， 所以是二面角的平面角为 ，所以， 因为，,所以 均为锐角，所以. 故选：ABC 11. 如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是 的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 与底面所成角的正弦值为 C. 斜三棱柱的侧面积 D. 侧棱到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先证明平面，即可证明，即可判断A，根据平面平面，求解与底面所成角，即可判断B，根据几何关系，求侧面积，判断C，根据线面平行，转化为点到直线的距离，即可判断D. 【详解】A.如图，连结， ，，，， 所以，所以，且，点 是 的中点， 所以，，且平面，， 所以平面，平面，所以，故A正确； B.由A可知，平面，平面，所以平面平面，所以与底面所成角为， ,同理，且, ，且，， 中，，， 所以与底面所成角的正弦值为，故B错误； C. 由B可知，，即，四边形与全等， 所以四边形的面积为， 由A可知，，，所以，所以四边形的面积是， 所以三棱柱的侧面积的侧面积是，故C正确； D.取的中点 ，连结，由以上证明可知，平面，平面，所以平面平面，平面平面， 所以点 到平面的距离为点到直线 的距离， 如图，四边形是平行四边形，且, ，所以， 所以侧棱到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若M是内一点，且满足，则与的面积之比为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设 为 的中点，连接 ，则由题意可得为 的中点，从而可求得结果. 【详解】设 为 的中点，连接 ，则 ， 因为，所以， 所以为 的中点， 所以， 所以, 故答案为： 13. 将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系，转化为求正四面体的高，即可求解. 【详解】四个球的球心间的线段长度都是，所以球心构成正四面体，如图 点 在平面的射影为底面三角形的中心，，， 所以上面一个球的球心到桌面的距离为. 故答案为： 14. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】分别取的中点，连接 ，易证平面平面，由题意知点必在线段 上，由此可判断点在或处时最长，位于线段 中点处最短，通过解直角三角形即可求得线段长度的取值范围，利用线面角的定义可求出与平面所成角的正切值. 【详解】分别取的中点，连接 ，， 因为分别为，的中点， 所以 ∥， ∥，所以 ∥ ， 因为平面，平面，所以 ∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥ ， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P是侧面内一点，且平面， 所以点必在线段 上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为 的中点 时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 设到平面的距离为，与平面所成角为， 因为，所以由可得， 所以，所以. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平行的判断和线面平行的关系得到点必在线段 上，考查空间想象能力，属于较难题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的 、 两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为. （1）求和的值； （2）问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率. 【答案】（1）； （2）分钟；. 【解析】 【分析】（1）根据概率和为 ，解方程即可得到的值，由乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为，得到关于的方程，解方程即可； （2）当时甲、乙二人可以相遇，设在三处相遇的概率分别为、、，写出三个概率的值，最后相加即可得到结果. 【小问1详解】 ； 又. 【小问2详解】 根据方形迷宫，以及甲、乙两人所处位置可知， 最少需要分钟，甲乙二人可以相遇（如图、 、 三处相遇）； 设在、 、 三处相遇的概率分别为、、， 则 即所求的概率为. 16. 如图，棱长为a的正方体中， 分别是上的点，． （1）求B点到平面的距离； （2）求 与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，再根据点到平面的距离定义求解； （2）首先利用平行关系转化 ，在根据（1）的垂直关系，求线面角，即可求解. 【小问1详解】 连结，，交于点 ， 因为平面，平面，所以， ，，且平面 所以平面， 所以点 到平面的距离为； 【小问2详解】 在上取点 ，连结，使，且， 所以，且，又，且, 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以 与平面所成角为 与平面所成角, 由（1）知，平面，所以为所求角， ，， 所以，， 所以 与平面所成角的余弦值为. 17. 中，内角所对的边为，． （1）若，试确定的形状； （2）若，是的平分线，求长． 【答案】（1） 为等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，，得到为等边三角形； （2）在（1）基础上，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，由角平分线得到，求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 又， 又，故， 化简得， 又，故为等边三角形； 【小问2详解】 由（1）知，， 又， 在中，由余弦定理得， 故， 由于，故为直角三角形，其中， 又是的平分线，故， 故，即， 故的长为 18. 如图，四棱锥 中， 平面． （1）若为中点，证明：平面； （2）若，且二面角的大小为，求 ． （请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 【答案】（1）证明详见分析. （2）. 【解析】 【分析】（1）取 中点为 ，由题意得，且，可得四边形为平行四边形，所以，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）将二面角转化为平面角，如图，再由线面关系可得为直角三角形，设，用等面积法将所需边长用表示出来，结合，用锐角三角函数即可求出. 【小问1详解】 取 中点为 ，连接， 分别为的中点， ，且，又 ， 由平行传递性可得，且， 四边形为平行四边形， ， 又 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 过点 作，垂足为 ， 面 ，，面，， 过点 作，垂足为，连接 ， 面，， 二面角的平面角为. 面 ，，又面 ，面 ， 面 ，， 设，则，由已知得， 在和中，由等面积法得： ，得， ，得， ，，面，又面，， 在中，， ，解得，. 19. 设是虚数，，且． （1）求的值及的实部的取值范围； （2）求证：是纯虚数； （3）求的最小值． 【答案】（1）1； （2）证明见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为 ，实部属于这个范围，得到的实部的范围． （2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的 、 的范围，得到是一个纯虚数． （3），再利用基本不等式即可求的最小值． 【小问1详解】 因为是虚数，设，则， ，，，，，此时， ，，即的实部的取值范围. 【小问2详解】 ，， ，，，是纯虚数. 【小问3详解】 ，可得， 当且仅当，即时取得最小值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校 2023—2024学年度第二学期期末考试高一年级 数学试题（A卷） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．） 1. 若的方差为3，则的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不确定 4. 已知向量，若，则（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，为P在面内的射影，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，直线为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线所成的角为 ，则点M到直线b的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 在中， B. 在中，若，则 C. 在中，若，则 D. 在中， 10. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段 上的点（不含端点）．设与 所成的角为与平面 所成的角为 ，二面角的平面角为 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是 的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 与底面所成角的正弦值为 C. 斜三棱柱的侧面积 D. 侧棱到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若M是内一点，且满足，则与的面积之比为_______． 13. 将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为_______． 14. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的 、 两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为. （1）求和的值； （2）问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率. 16. 如图，棱长为a的正方体中， 分别是上的点，． （1）求B点到平面的距离； （2）求 与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 17. 中，内角所对的边为，． （1）若，试确定的形状； （2）若，是的平分线，求长． 18. 如图，四棱锥 中， 平面． （1）若为中点，证明：平面； （2）若，且二面角的大小为，求 ． （请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 19. 设是虚数，，且． （1）求的值及的实部的取值范围； （2）求证：是纯虚数； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $