精品解析：广东省实验中学珠海金湾学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

省实金湾学校2023级高一下学期3月月考 数学试题 命题人：王春宇 审题人：林凤仪 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、班级和准考证号填写在答题卡上，并填涂10位准考证号（考号）． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知将函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 6. 关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值与最大值之和为0 D. 在上单调递增 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列三角式中，值为1的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）下列命题正确的是（　　） A. 若都是单位向量，则. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线 D. 若，则 11. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递减 C. ，使得 D. ，存在常数使得 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的最小正周期是___________． 13. 函数的部分图象如图所示，则__________. 14. 函数的最大值为________. 四、解答题（5道题，共77分） 15. 已知角是第二象限角，. （1）求和的值； （2）求的值. 16. 已知函数，． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域． 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 18. 将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为． （1）求，，，的值； （2）摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度； （3）在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长． 19. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式． （1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值； （2）已知函数在上有3个不同的零点，分别记为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实金湾学校2023级高一下学期3月月考 数学试题 命题人：王春宇 审题人：林凤仪 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、班级和准考证号填写在答题卡上，并填涂10位准考证号（考号）． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式化简计算. 【详解】 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】. 故选：A 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题. 3. 已知角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以. 故选：. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象向右平移个单位长度. 故选：D. 5. 已知将函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的对称性，列出方程，即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象， 因为的图象关于原点对称，可得，则， 又因为，所以取，得. 故选：C． 6. 关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误； 对于D，当时，，，此时未必共线，D错误. 故选：B. 7. 如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 8. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值与最大值之和为0 D. 在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】对于根据即可求出；对于可根据函数在对称轴处取的最值验证；对于利用解析式可直接求得最大和最小值，验证即可；对于可求得函数的单调增区间，验证即可. 【详解】对于,的最小正周期为,故错误； 对于，2为最大值， 所以的图象关于直线对称，故正确； 对于依据函数解析式得故错误； 对于令，解得 令，得的一个增区间为， 故在上为减函数，在上为增函数，故错误. 故选： 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列三角式中，值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案. 【详解】A选项,，故正确. B选项，，故正确. C选项，，故正确. D选项，，故错误 故选：ABC 10. （多选）下列命题正确的是（　　） A. 若都是单位向量，则. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则＋＝，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选:BCD. 11. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递减 C. ，使得 D. ，存在常数使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C． 【详解】因为经过， 所以，即，，解得，， 又，所以，则， 对于A，， 时，令，可得， 故为奇函数，所以A正确； 对于B，时，， 对于在上单调递减，可得在上单调递减， 所以B正确； 对于D， ， 所以恒为，即存在常数m=0，所以D正确； 对于C，当，时，， 当，时，， 当，时， ，所以C错误． 故答案为：ABD. 【点睛】关键点睛：对于C选项的关键点是利用，分、、，三种情况求的化简式. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 13. 函数的部分图象如图所示，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数图像确定以及的值，可得函数解析式，结合特殊角三角函数值，即可得答案. 【详解】由图象可知的最小正周期，故； 将代入可得，则， 故，而，故， 即，故， 故答案为：0 14. 函数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解. 【详解】由 当时，即 所以的最大值为： 故答案为： 四、解答题（5道题，共77分） 15. 已知角是第二象限角，. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系以及两角和的正弦公式即可得解. （2）由切弦互换以及正切的二倍角公式即可得解. 【小问1详解】 因为角是第二象限角，，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， . 16. 已知函数，． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）将函数化为的形式，求单调递增区间即可； （2）利用函数图象变换的规则，求得函数的解析式，进而求出在区间上的值域. 【小问1详解】 由已知， 得：， 即，， 由正弦函数的单调性，令， 解之； 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知， 函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍， 只需将函数中的换为，得到：， 由，得， 当时，取得最小值；当时，取得最大值； 所以的值域为． 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 【答案】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 18. 将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为． （1）求，，，的值； （2）摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度； （3）在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长． 【答案】（1）； （2）65米； （3）8分钟. 【解析】 【分析】（1）利用函数的最大值与最小值求出，利用周期求出，利用旋转起始位置求出作答. （2）把代入函数式中计算作答. （3）解的不等式作答. 【小问1详解】 依题意，，于是， 函数的周期，解得，则，而时，， 即有，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，（米）. 【小问3详解】 由，得，即，解得， 即有，， 所以在摩天轮转动一圈内，有8分钟的时间，点距离地面的高度超过65米. 19. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式． （1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值； （2）已知函数在上有3个不同的零点，分别记为，证明：． 【答案】（1）a，b，c，d的值分别为； （2）证明： 函数在上有3个不同的零点，即方程在上有3个不同的实根， 令，由（1）知，而，则或或， 于是，则， 而， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义，结合和角的余弦化简并求出作答. （2）利用（1）的结论，求出，再利用和差角的余弦计算作答. 【小问1详解】 依题意， ， 因此，即，则， 所以实数a，b，c，d的值分别为. 【小问2详解】 略. 【点睛】思路点睛：由方程的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求角的问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $