第38讲：指数幂及其运算性质-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第三十八讲：指数幂及其运算性质 【教学目标】 1.理解n次方根、根式的概念； 2.能正确运用根式运算性质化简求值； 3.会对分式和分数指数幂进行转化； 4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质； 5.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质． 【基础知识】 1．n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 5．根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 6．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 7．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R)． 【题型目录】 考点一：简单根式的化简求值 考点二：分数指数幂 考点三：实数指数幂的简单运算法则 考点四：实数指数幂的复杂运算法则 考点五：配凑指数运算 考点六：实际问题中的指数运算 【考点剖析】 考点一：简单根式的化简求值 例1．化简：（ ） A．0 B． C．或0 D． 变式训练1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．（ ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 变式训练3．（多选）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 考点二：分数指数幂 例2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．下列各式中成立的是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 考点三：实数指数幂的简单运算法则 例3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．设，则下列等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．化简（ ） A． B． C． D． 考点四：实数指数幂的复杂运算法则 例4．求值： (1) (2). 变式训练1．计算，结果是（ ） A．1 B． C． D． 变式训练2．化简的结果为（ ） A． B． C． D． 变式训练3．（1）计算 （2）化简：. 考点五：配凑指数运算 例5．若，求的值． 变式训练1．已知，则的值为（ ） A．2 B．－2 C． D．±2 变式训练2．已知，则的值是（ ） A．15 B．12 C．16 D．25 变式训练3已知：，求的值. 考点六：实际问题中的指数运算 例6．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ） A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 变式训练1．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（ ） A． B．25730 C． D． 变式训练2．手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为2560元的手机，两年后价格可降为（ ） A．1440元 B．900元 C．1040元 D．810元 变式训练3．2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（ ） A． B． C．