5.6　几何证明举例　第4课时课件 2024-2025学年数学青岛版八年级上册

5.6　几何证明举例 第4课时 课时学习目标 素养目标达成 1.掌握直角三角形的判定定理,并能运用它证明有关的命题. 几何直观、推理能力 2.在已知一直角边和斜边的条件下,会用尺规作图的方法作直角三角形. 几何直观、推理能力、应用意识 基础 主干落实 新知要点 直角三角形全等的判定定理——HL 文字 语言 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,那么这两个直角三角形全等(记作“斜边、直角边”或“HL”). 几何 语言 ∵∠B=∠E=90°,在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 图形 语言 对点小练 1.下列判定直角三角形全等的方法,不正确的是( ) A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两锐角相等 D 2.如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,根据“HL”判定△ABD≌△ACD,还需添加条件( ) A.AB=AC B.CD=BD C.∠BAD=∠CAD D.∠C=∠B A 重点 典例研析 重点1 用“HL”判定直角三角形全等 【典例1】 (教材再开发·P185例3拓展)已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点, DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF.求证:∠B=∠C.完成下面的证明过程. 证明: ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=________=90°. ∵D是BC的中点,∴BD=____, 又∵BE=CF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(____). ∴∠B=∠C. ∠CFD CD HL 【举一反三】 如图,点C为线段AB的中点,分别过点A,B作AB的垂线AD,BE(点D,E在AB的同侧),连接CD,CE,且CD=CE.求证:△ACD≌△BCE. 【证明】∵点C为线段AB的中点,∴AC=BC, ∵AD⊥AC,BE⊥BC,∴∠A=∠B=90°, 在Rt△ACD与Rt△BCE中,, ∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL). 【技法点拨】 应用“HL”应注意的三个问题 1.“HL”是判定两个直角三角形全等的方法,在使用时一定要注意其应用范围. 2.在书写格式上,三角形前面必须注明“Rt”. 3.在题设中,没有指明是直角三角形的,必须依照定义说明或推证是直角三角形. 重点2 直角三角形全等判定方法综合 【典例2】 (教材再开发·P186练习T1拓展)(2024·日照东港区质检)已知, 如图BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,且BD=CE,求证:AF平分∠BAC. 【自主解答】∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠BDF=∠CEF=90°, ∵∠BDF=∠CEF,∠BFD=∠CFE,BD=CE, ∴△BDF≌△CEF(AAS),∴DF=EF, ∵AF=AF,DF=EF, ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL), ∴∠DAF=∠EAF,∴AF平分∠BAC. 【举一反三】 1.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射 线AX上运动,且AB=PQ(不考虑PQ=0的情况),当点P运动到AP= _______时, △ABC与△QPA全等. 5或10 2.如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE. 【证明】在Rt△ADC和Rt△AFE中,, ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中,, ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE. 【技法点拨】 判定直角三角形全等的四种思路 1.若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等,用“HL”判定. 2.若有一组锐角和斜边分别相等,用“AAS”判定. 3.若有一组锐角和一组直角边分别相等: (1)直角边是锐角的对边,用“AAS”判定; (2)直角边是锐角的邻边,用“ASA”判定. 4.若有两对直角边分别相等,用“SAS”判定. 素养 当堂测评 1.(4分·几何直观,推理能力)如图,在四边形ABCD中,连接BD,且AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是( ) A.∠A=∠C B.∠ADB=∠CBD C.AB=CD D.AD=CB D 2.(4分·几何直观,推理能力)如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=DF. 求证:Rt△DEB≌Rt△DFC. 以下是排乱的证明过程: 证明过程正确的顺序是( ) A.④→②→③→① B.④→③→①→② C.③→②→①→④ D.③→①→④→② ①∵在Rt△DEB和Rt△DFC中,, ②∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL). ③∴∠BED=∠CFD=90°, ④∵DE⊥AB,DF⊥AC, B 3.(4分·几何直观,推理能力) 题目:“如图,AB⊥BC,DC⊥BC,BC=2DC=20,点P,Q分 别在AB,BC上,且BD=PQ.当BP为何值时,△BPQ与△BCD全等.”对于其答案, 甲答:BP=20.乙答:BP=15.丙答:BP=10,则正确的是( ) A.只有甲答对 B.甲、丙答案合在一起才完整 C.乙、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 B 4. (8分·几何直观,推理能力)如图,Rt△ABC与Rt△DEF的顶点A,F,C,D在同一条直线上,AB与EF交于点G,BC与DE交于点H,∠B=∠E=90°,AF=CD,AB=DE. (1)求证:Rt△ABC≌Rt△DEF; 【解析】(1)∵AF=CD,∴AF+FC=CD+CF,即AC=DF, 在Rt△ABC和Rt△DEF中,, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL); 4. (8分·几何直观,推理能力)如图,Rt△ABC与Rt△DEF的顶点A,F,C,D在同一条直线上,AB与EF交于点G,BC与DE交于点H,∠B=∠E=90°,AF=CD,AB=DE. (2)若GF=2,求线段CH的长. 【解析】(2)∵Rt△ABC≌Rt△DEF, ∴∠A=∠D,∠BCA=∠EFD, ∴180°-∠BCA=180°-∠EFD,即∠DCH=∠AFG, 在△AGF和△DHC中,, ∴△AGF≌△DHC(ASA),∴GF=CH,∵GF=2,∴CH=2. 本课结束 $$