5.6　几何证明举例　第2课时课件 2024-2025学年 青岛版数学八年级上册

5.6　几何证明举例 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.掌握等腰三角形的性质定理和判定定理,并会运用 它们证明有关的命题. 几何直观、推理能力 2.通过对等边三角形性质和判定的证明,理解证明的 思路和表达形式. 几何直观、推理能力 基础 主干落实 新知要点 对点小练 1.等腰三角形的性质定理和判定定理   1.在等腰三角形ABC中,AB=AC,那么下列说法中不正确的是( ) A.BC边上的高线和中线互相重合 B.AB和AC边上的中线相等 C.顶点为B和顶点为C的角平分线相等 D.AB,BC边上的高相等   性质1 等腰三角形的两个底角相等 性质2 等腰三角形底边上的高、中线及 顶角的平分线重合 判定 有两个角相等的三角形是等腰三 角形 D 新知要点 对点小练 2.等边三角形的性质定理和判定定理 2.如图,已知△ABC是等边三角形,点B, C,D,E在同一条直线上,且 CG=CD,DF=DE,则∠E=_____.   性质 等边三角形的每个内角都是60° 判定1 三个角都相等的三角形是等边三 角形 判定2 有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形 15° 重点 典例研析 重点1 等腰三角形的性质和判定 【典例1】(教材再开发·P179例2拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D. (1)若∠B=36°,求∠CAD的度数; 【自主解答】(1)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠B=∠C=36°,∠ADC=90°, ∴∠CAD=90°-∠C=54°; 【典例1】(教材再开发·P179例2拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D. (2)若点E在边AC上,EF∥AB交AD的延长线于点F,求证:AE=EF. 【自主解答】 (2)∵EF∥AB, ∴∠BAF=∠F, ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAF=∠DAC, ∴∠DAC=∠F,∴AE=EF. 【举一反三】 1.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,则图中等腰三角形共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D 2.已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,点E在CA的延长线上,EF∥AD.求证:AE=AF. 【证明】∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵EF∥AD,∴∠EFA=∠BAD, ∠E=∠CAD. ∴∠EFA=∠E.∴AE=AF. 重点2 等边三角形的性质和判定 【典例2】(教材再开发·P188T13延伸)如图,在等边△ABC中,点D,E在边BC上,BD=CE,点F是点E关于AC的对称点,连接AF,DF,AD,AE. (1)求证:AD=AE; 【自主解答】(1)∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠B=∠C=60°, 又∵BD=CE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴AD=AE; 【典例2】(教材再开发·P188T13延伸)如图,在等边△ABC中,点D,E在边BC上,BD=CE,点F是点E关于AC的对称点,连接AF,DF,AD,AE. (2)求证:△ADF是等边三角形. 【自主解答】(2)∵点F是点E关于AC的对称点, ∴AE=AF,∠CAE=∠CAF, ∵△ABD≌△ACE, ∴∠BAD=∠CAE=∠CAF,AD=AE=AF, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°, ∴∠CAF+∠CAD=∠BAD+∠CAD=60°, 即∠DAF=60°, ∴△ADF是等边三角形. 【举一反三】 1.已知一个等腰三角形的一条边长为8 cm,其中一个外角等于120°,则它的周长为 ( ) A.16 cm B.18 cm C.24 cm D.条件不足,无法计算 C 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为E且AD=AB.∠FDG=60°,其两边分别与边AB,AC交于点F,G. (1)连接BD,求证:△ABD是等边三角形; 【证明】(1)∵AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°, ∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形; (2)求证:BF=AG. 【证明】(2)∵△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°, 又∠FDG=60°, ∴∠BDF=∠ADG=60°-∠ADF, 又∠DBF=∠DAG=60°,AD=DB, ∴△DBF≌△DAG(ASA),∴BF=AG. 【技法点拨】 等边三角形判定定理的应用条件 1.等边三角形的判定1适用于已知三角形三个角之间的相等关系的情况. 2.等边三角形的判定2适用于已知三角形中两边的相等关系及一个角是60°的情况. 素养 当堂测评 1.(4分·几何直观,推理能力)如图,C为两个直角三角板的公共顶点,∠A=∠B=30°,则图中等腰三角形共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 2.(4分·几何直观,推理能力)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,若CD=2,则CF的长是___. 2 3.(7分·几何直观,推理能力)已知如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC. (1)求证:△ABC是等腰三角形; 【解析】(1)∵BD,CE是△ABC的高, ∴∠BEC=∠CDB=90°. ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, 又∵BC是公共边, ∴△BEC≌△CDB(AAS), ∴∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形. 3.(7分·几何直观,推理能力)已知如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC. (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由. 【解析】(2)点O在∠BAC的平分线上. 理由如下: ∵△BEC≌△CDB, ∴BD=CE, ∵OB=OC, ∴OD=OE, 又∵OD⊥AC,OE⊥AB, ∴点O在∠BAC的平分线上. 本课结束 $$