5.5　三角形内角和定理 课件 2024-2025学年青岛版八年级数学上册

5.5　三角形内角和定理 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.利用平行线的性质证明“三角形内角和定理”,体会 证明中辅助线的作用,并尝试用多种方法证明三角形 内角和定理. 几何直观、推理能力 2.通过三角形内角和定理的证明得出两个推论,熟练 掌握添加辅助线的方法. 几何直观、推理能力 基础 主干落实 新知要点 对点小练 1.三角形内角和定理   1.在△ABC中,∠A=40°,∠B=100°,∠C=( ) A.70°　　B.60° C.50°　　D.40° 2.如图,a∥b,∠1=55°,∠2=65°,则∠3的度数是 ( ) A.50°　　B.55° C.60°　　D.65°   定理 三角形的内角和等于_____ 符号语言 在△ABC中,_____+_____+_____=180° 证明过程 证法1: 作CM∥AB 把三角形内角和转化为: _____+____ +_____=180° 证法2: 作CM∥AB 把三角形内角和转化为:_____+_____+ _____=180° 180° ∠A ∠B ∠C ∠1 ∠2 ∠3 ∠1 ∠2 ∠B D C 新知要点 对点小练 2.两个推论 (1)三角形的外角 (2)推论:由基本事实或定理直接推出的真命题 3.如图,在△ABC中,∠A=50°, ∠C=70°,则外角∠ABD的度数是 ( ) A.110°　　B.120° C.130°　　D.140° 图示 定义 三角形内角的一条边与另一条边的 ____________组成的角 推论一 三角形的一个外角等于和它不相邻的 __________的和 ∵∠1是△ABC的外角,∴∠1=∠2+∠3 推论二 三角形的一个外角______任何一个和它 不相邻的内角 ∵∠1是△ABC的外角,∴∠1>∠2,∠1>∠3 反向延长线 两个内角 大于 B 重点 典例研析 重点1 三角形内角和定理 【典例1】(教材再开发·P174T1延伸)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°,D是BC上一点,若△ABD为直角三角形,则∠DAC的度数为( ) A.20° B.35° C.20°或50° D.20°或35° C 【举一反三】 1.如表是一道习题,需要填写符号处的内容,下列填写正确的是( ) A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等,两直线平行 D.②平角定义 已知:△ABC,求证:∠A+∠B+∠ACB=180°. 证明:如图,过点C作DE∥AB. ∵DE∥AB(已知), ∴∠B=∠★,∠A=∠■(①). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(②), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). D 2.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,BD,CE相交于点O,则∠BOC的度数是_____. 120° 【技法点拨】 三角形中求角的度数的依据 1.任意三角形内角和是180°. 2.平角的度数是180°. 3.角的平分线的定义. 重点2 三角形内角和定理的推论 【典例2】(教材再开发·P174T4拓展)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E,若∠C=68°,则∠BED=_____. 56° 【举一反三】 1.如图,D,E在边AB上,∠A,∠1,∠2的大小关系是______________. ∠2>∠1>∠A 2.如图,在△ABC中,∠1=100°,∠C=80°,∠2=∠3,BE平分∠ABC.求∠4的度数. 【解析】∵∠1=∠3+∠C,∠1=100°,∠C=80°,∴∠3=20°, ∵∠2=∠3,∴∠2=10°, ∴∠ABC=180°-100°-10°=70°, ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=35°, ∵∠4是△BEA的一个外角, ∴∠4=∠2+∠ABE=45°. 【技法点拨】 应用推论注意事项 1.推论一求角的度数的两点注意 (1)三角形外角性质反映的是和它不相邻的两个内角之间的关系. (2)三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角的关系. 2.应用推论二的注意事项 (1)推论二一般用来证明角的不等关系. (2)在利用推论二证明角的不等关系时,常用到不等关系的传递性,即如果∠A>∠B,∠B>∠C,则∠A>∠C. 素养 当堂测评 1.(4分·运算能力、几何直观)如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC.若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是( ) A.24° B.59° C.60° D.69° B 2.(4分·运算能力、几何直观)小桐把一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起,其中∠E=90°,∠C=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠1+∠2等于( ) A.150° B.180° C.210° D.270° C 3.(4分·运算能力、几何直观)(2023·十堰中考)一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=______. 100° 4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·青岛市北区期末)已知:如图,点B,C在线段AD的异侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC. (1)求证:AB∥CD; 【解析】(1)∵∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC,∠AGE=∠DGC, ∴∠AEG=∠C,∴AB∥CD; 4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·青岛市北区期末)已知:如图,点B,C在线段AD的异侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC. (2)若∠AGE+∠AHF=180°,求证:∠B=∠C; 【解析】(2)∵∠AGE+∠EGH=180°,∠AGE+∠AHF=180°, ∴∠EGH=∠AHF,∴EC∥BF, ∴∠B=∠AEG, ∵AB∥CD,∴∠C=∠AEG,∴∠B=∠C; 4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·青岛市北区期末)已知:如图,点B,C在线段AD的异侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC. (3)在(2)的条件下,若∠BFC∶∠C=2∶1,则∠D=____度.  【解析】(3)∵BF∥EC,∴∠C+∠BFC=180°, ∵∠BFC=2∠C,∴∠C+2∠C=180°, 解得∠C=60°, ∵∠C=∠DGC,∴∠DGC=60°, ∴∠D=180°-∠C-∠DGC=60°. 60 5.5　三角形内角和定理 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.掌握直角三角形的性质定理和判定定理. 几何直观、推理能力 2.会用直角三角形的性质定理和判定定理 进行推理. 几何直观、推理能力 基础 主干落实 新知要点 对点小练 直角三角形的性质定理与判定定理 1.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直 尺的一边上,如果∠1=32°,那么∠2的度数是 ( ) A.32° B.58° C.68° D.60° 2.将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图 中∠AOB的度数为( ) A.75° B.95° C.105° D.120°   文字语言 几何语言 性质 定理 直角三角形的 两个锐角互余 ∵△ABC是直角三角形, ∴∠A+∠B=90° 判定 定理 两个锐角互余的 三角形是直角三 角形 ∵∠A+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形 图形 B C 重点 典例研析 重点1 直角三角形的性质定理 【典例1】(教材再开发·P173例1拓展)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC,∠BOA的度数. 【自主解答】在Rt△ADC中,∠C=70°, ∴∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°; 在△ABC中,∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70°=60°, ∵AE,BF是△ABC的角平分线, ∴∠OAB=∠BAC=×50°=25°,∠OBA=∠ABC=×60°=30°. ∴∠BOA=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-30°=125°. 【举一反三】 1.(2024·青岛高新区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,且D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,若∠EDF=70°,则∠AFD的度数是( ) A.160° B.150° C.140° D.120° 2.(2024·德州德城区期中)如图,某同学在课桌上无意中将一块三角尺叠放在直尺上,则∠1+∠2=_____. A 90° 重点2 直角三角形的判定定理 【典例2】(教材再开发·P174T5拓展)如图,已知BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°. (1)求证:AD=CE; 【自主解答】(1)∵∠ABC=∠DBE=90°, ∴∠ABD+∠CBD=∠EBC+∠CBD,即∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中,, ∴△ABD≌△CBE(SAS),∴AD=CE; 【典例2】(教材再开发·P174T5拓展)如图,已知BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°. (2)猜想:AD和CE是否垂直?若垂直,请说明理由;若不垂直,则只写出结论,不用写理由. 【自主解答】(2)AD⊥CE. 理由如下: 延长AD交BC于点M,交EC于点N,如图所示: 在Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,则∠BAC+∠ACB=90°, ∴∠BAD+∠CAD+∠ACB=90°, 由(1)中△ABD≌△CBE可知∠BAD=∠BCE, ∴∠BCE+∠CAD+∠ACB=90°, 在△ACN中,∠NAC+∠ACN=∠NAC+∠NCM+∠ACB=90°,则∠ANC=90°,∴AD⊥CE. 【举一反三】 1.(2023·济宁泗水县期中)在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3;③∠A=90°-∠B,能确定△ABC是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 C 2.如图,CD是△ABC的AB边上的中线,CD=AB,求证:△ABC是直角三角形.将下面证明的过程补充完整. 证明:∵CD是AB边上的中线(已知), ∴AD=BD=____(____________). ∵CD=AB,∴CD=AD. ∴∠A=∠______(____________), 同理,∠B=∠BCD, ∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°(______________________), ∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=×180°=90°, ∴△ABC是直角三角形(__________________________________). AB 中线的定义 ACD 等边对等角 三角形内角和等于180° 有两个角互余的三角形是直角三角形 【技法点拨】 判定一个三角形是直角三角形的方法 1.根据垂直,判定直角三角形; 2.根据90°角判定直角三角形; 3.根据直角三角形的判定定理判定直角三角形. 素养 当堂测评 1.(4分·几何直观、推理能力、运算能力)在△ABC中,满足下列条件: ①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠C=∠B;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5; ④∠A=90°-∠C,能确定△ABC是直角三角形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(4分·几何直观、运算能力)在Rt△ABC,∠C=90°,∠A=4∠B,则∠B=____°. C 18 3.(7分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,D为AB上一点,∠A=∠2,∠1=∠B. (1)判断△ABC的形状; 【解析】(1)△ABC是直角三角形,理由如下: ∵∠A=∠2,∠1=∠B, ∠A+∠2+∠1+∠B=180°, ∴∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°, ∴△ABC是直角三角形. 3.(7分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,D为AB上一点,∠A=∠2,∠1=∠B. (2)判断CD是否与AB垂直. 【解析】(2)CD⊥AB,理由如下: ∵∠A+∠B=90°,∠A=∠2, ∴∠2+∠B=90°, ∴∠CDB=90°,∴CD⊥AB. 本课结束 $$