5.6　几何证明举例　第3课时课件 2024-2025学年 青岛版数学八年级上册

5.6　几何证明举例 第3课时 课时学习目标 素养目标达成 1.证明并掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定 理,并会在几何证明及计算中应用. 几何直观、推理能力 2.证明并掌握角平分线的性质定理及判定定理,并 会在几何证明及计算中应用. 几何直观、推理能力 基础 主干落实 新知要点 对点小练 1.线段垂直平分线的性质定理与判定定理   1.等腰三角形ABC在直角坐标系中,底边的两 端点坐标是(-2,0),(6,0),则能确定其顶点的 ( ) A.横坐标 B.纵坐标 C.横坐标及纵坐标 D.横坐标或纵坐标 性质 定理 线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等 判定 定理 到一条线段两个端点的距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上 A 新知要点 对点小练 2.角平分线的性质定理与判定定理   2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是 △ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面 积为____. 性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等 判定 定理 角的内部到角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上 15 重点 典例研析 重点1 线段垂直平分线的性质定理与判定定理 【典例1】(教材再开发·P182练习T1拓展)如图,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,∠1=∠2. (1)求证:AB=AD; 【自主解答】(1)∵AB⊥BC,AD⊥DC, ∴∠B=∠D=90°. 在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(AAS),∴AB=AD; 【典例1】(教材再开发·P182练习T1拓展)如图,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,∠1=∠2. (2)连接BD,求证:AC是BD的垂直平分线. 【自主解答】(2)∵△ABC≌△ADC, ∴AB=AD,BC=DC, ∴A,C都在BD的垂直平分线上, ∴AC是BD的垂直平分线.   【举一反三】 (2023·青岛即墨区期中)如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点O.求证:AD垂直平分EF. 【证明】∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴DE=DF,∠AED=90°,∠AFD=90°, ∴∠DEF=∠DFE,∴∠AEF=∠AFE, 在△AOE和△AOF中,, ∴△AOE≌△AOF(AAS), ∴OE=OF,∠AOE=∠AOF, ∵∠AOE+∠AOF=180°, ∴∠AOE=∠AOF=90°, ∴AO⊥EF, ∴AD垂直平分EF. 重点2 角平分线的性质定理与判定定理的作用及三角形内的角平分线 【典例2】(教材再开发·P184练习T1拓展)如图,在△ABC中,AD平分∠CAB,过点D作DM⊥AB于M,DN⊥AC的延长线于N,且BM=CN.求证:点D在BC的垂直平分线上. 【自主解答】如图,连接BD,CD, ∵AD是∠CAB的平分线,DM⊥AB,DN⊥AC, ∴DM=DN, 在△DMB和△DNC中, , ∴△DMB≌△DNC(SAS), ∴BD=CD,∴点D在BC的垂直平分线上. 【举一反三】 1.如图,BO,AO分别是△ABC中∠ABC,∠BAC的平分线,OH⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为H,E,F,则OH,OE,OF长度的大小关系是( ) A.OH=OF≠OE B.OH=OE=OF C.OH≠OF=OE D.OH≠OE≠OF B 2.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是72 cm2,AB=14 cm,AC=10 cm,求DE的长. 【解析】∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F, ∴DE=DF, ∵△ABC的面积是72 cm2, ∴AB·DE+AC·DF=72,即×14DE+×10DE=72,解得DE=6 cm. 素养 当堂测评 1.(4分·几何直观,推理能力)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点,EC=3,△ABD的周长为9,则△ABC的周长为( ) A.6 B.12 C.15 D.18 C 2.(4分·几何直观,推理能力)如图,点C,D是线段AB外的两点,且AC=BC,AD=BD,若AB=5,CD=4,则△ACD的面积为___. 5 3.(7分·几何直观,推理能力)如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD. (1)求证:E是AB的中点; 【解析】(1)过点E作EF⊥CD于点F,如图, ∵DE平分∠ADC,AE⊥AD,EF⊥CD, ∴AE=EF,∠ADE=∠FDE, 同理可证,EB=EF,∠BCE=∠FCE, ∴AE=EB, 即E是AB的中点; 3.(7分·几何直观,推理能力)如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD. (2)当AD=2,BC=3时,求CD的长. 【解析】(2)由(1)得∠DAE=∠DFE=90°,AE=EF,∠ADE=∠FDE, 在△AED与△FED中,, ∴△AED≌△FED(AAS),∴AD=FD, 同理,△EBC≌△EFC(AAS),则BC=FC, ∵AD=2,BC=3,∴CD=DF+FC=AD+BC=5. 本课结束 $$