精品解析：北京市第三十一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

北京市第三十一中学2023—2024学年度第二学期 高二年级数学期中考试试题 2024.4 姓名___________学号___________成绩___________班级___________ （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（ ） A. 12项 B. 13项 C. 14项 D. 15项 2. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，则 A. B. C. D. 3. 2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A. 120 B. 160 C. 200 D. 240 4. 在数列 中，，则 （ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 1 6. 篮子里装有3个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个白球，一个黑球”，（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等差数列的公差，是的首项，是的前项和，设甲：存在最小值，乙：且，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 随机变量的分布列是 2 3 4 若，则随机变量的方差的值为（ ） A. B. C. D. 9. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 10. 对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分 11. 2，x，y，z，18成等比数列，则x＝________. 12. 若数列的通项公式为，，数列的前30项和___________. 13. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________． 14. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）等于________． 15. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________. ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 三､解答题（共6小题，共85分） 16. 已知等差数列共有20项，各项之和，首项 （1）求数列的公差； （2）求第20项 17. 某中学校本课程开设了A､B､C､D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲､乙､丙3名学生 （1）求这3名学生选修课所有选法的总数； （2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A选修课被这3名学生选择的人数的分布列及数学期望. 18. 已知等比数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列中，满足，求数列的前项和． 19. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示． （1）从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率； （2）从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望： （3）由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明） 20. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛， （1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响 （i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望 （ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率 21. 已知数列的前项和为，且 （1）求，并证明数列是等差数列： （2）若，求正整数的所有取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十一中学2023—2024学年度第二学期 高二年级数学期中考试试题 2024.4 姓名___________学号___________成绩___________班级___________ （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（ ） A. 12项 B. 13项 C. 14项 D. 15项 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知数列中前若干项，可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案. 【详解】数列，3，，，，…，可化为：，，，，，…， 则数列的通项公式为： 当时， 故选：C 【点睛】本题考查了归纳法求数列的通项公式，考查了学生数学归纳，数学运算的能力，属于基础题. 2. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布期望公式求出，再由方差公式可计算出答案． 【详解】由于离散型随机变量服从二项分布，则，所以，， 因此，，故选D． 【点睛】本题考查二项分布期望与方差公式的应用，灵活运用二项分布的期望和方差公式是解本题的关键，意在考查学生对这些知识的理解和掌握情况，属于中等题． 3. 2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A. 120 B. 160 C. 200 D. 240 【答案】C 【解析】 【详解】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 . 选C. 4. 在数列 中，，则 （ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数列的递推公式，依次求出即可. 【详解】数列 中，， 则有，，. 故选：C. 5. 如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论． 【详解】解：由图象可得函数的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点， 则可知l：， ，， ， 故选：D． 6. 篮子里装有3个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个白球，一个黑球”，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】篮子里装有3个红球，3个白球和4个黑球． 记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个白球，一个黑球”， 则； 则 故选：B 7. 已知是等差数列的公差，是的首项，是的前项和，设甲：存在最小值，乙：且，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举特例可判断充分性；根据且，可得出，即可得出的单调性，判断必要性. 【详解】若，则，显然时，有最小值. 所以，存在最小值，得不出且； 若乙成立，即且，则， 所以，当时，有， 所以，为单调递增数列，所以最小， 所以，存在最小值，即甲成立. 所以，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 8. 随机变量的分布列是 2 3 4 若，则随机变量的方差的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可得，由，可得，可解得，然后由方差的计算公式求出。再根据公式求. 【详解】由概率之和为1，有， 又，即， 可得 所以 所以 故选：C 【点睛】本题考查随机变量的分布列和期望求相应的概率值和求方差，属于中档题. 9. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】＝＝＝1. 故选：A. 10. 对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定，取和带入式子，相减得到答案. 【详解】，即， 故；； 两式相减得，所以． 故选：D 二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分 11. 2，x，y，z，18成等比数列，则x＝________. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式求出公比，再由等比数列通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列通项公式可得， ，解得， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查等比数列的通项公式；考查运算求解能力；灵活运用等比数列通项公式是求解本题的关键；属于基础题、常考题型. 12. 若数列的通项公式为，，数列的前30项和___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列裂项相消求和即可. 【详解】因为数列的通项公式为，所以， 则， 故答案为： 13. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，然后代入贝叶斯公式计算. 【详解】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，，，，，由贝叶斯公式有. 故答案为： 14. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）等于________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析X服从超几何分布，直接求概率即可. 【详解】由题意可得： X服从超几何分布，X可取0，1，2.它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式， 即， ， ， 于是． 故答案为：. 15. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________. ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据题意得到数列是以4为首项，为公比的等比数列，进而求出的通项公式，再根据得到，得到的通项公式，最后验证四个选项得到答案. 【详解】由题意可得，，，，，则，则数列是以4为首项，为公比的等比数列，即， 由题意可得，即，，，，则， 对于①，正方形的面积，所以①不正确； 对于②，由上述分析可得②正确； 对于③，由，则数列是单调递减数列，由于，，，，，则使不等式成立的正整数的最大值为4，故③正确； 对于④，数列的前项和，故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】方法点睛，解决新定义题的关键是读懂材料，将题意与已学过知识进行结合. 三､解答题（共6小题，共85分） 16. 已知等差数列共有20项，各项之和，首项 （1）求数列的公差； （2）求第20项 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式与通项公式，即可求出公差d与第20项． 【小问1详解】 等差数列共有20项，各项之和，首项， 所以，解得公差. 【小问2详解】 等差数列，首项，公差， 所以第20项为. 17. 某中学校本课程开设了A､B､C､D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲､乙､丙3名学生 （1）求这3名学生选修课所有选法的总数； （2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A选修课被这3名学生选择的人数的分布列及数学期望. 【答案】（1） 64 （2） （3）分布列为 0 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）由分步乘法计数原理得到共有种； （2）先得到有2人选择了同一门课程，剩余的1人选择另外一门课程，共有种选法，结合（1）中所求得到概率； （3）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 甲､乙､丙3名同学均可从A､B､C､D共4门选修课选择1门， 故共有种选法； 【小问2详解】 恰有2门选修课没有被这3名学生选择，则有2人选择了同一门课程，剩余的1人选择另外一门课程， 故有种选法， 结合（1）可得恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为； 【小问3详解】 的可能取值为， ，即3名同学可从B､C､D三门课程中选择一门，故共有种情况， ， ，先从3名同学中选择1名同学选择A课程，剩余的两人可从B､C､D三门课程中选择一门，故共有种情况， ， ，先从3名同学中选择2名同学选择A课程，剩余的1人可从B､C､D三门课程中选择一门，故共有种情况， ， ，即3名同学均选择A课程，故， 分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知等比数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列中，满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的性质和求和公式列出方程组，求出首项和公比，求出通项公式；（2）结合第一问及通项公式的特点，利用等差数列和等比数列求和公式进行求解数列的前项和. 【小问1详解】 记等比数列的公比为，由可知， ，， 解得，，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 ， ． 19. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示． （1）从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率； （2）从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望： （3）由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） ；数学期望 （3）自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小 【解析】 【分析】（1）根据折线图可确定该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个，由此可计算得到概率； （2）由折线图知女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个，根据超几何分布概率公式可确定每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值； （3）根据折线图可确定自年开始的连续三年，学生视力波动程度最小，由此可得结论. 【小问1详解】 由折线图可知：从年到年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个； 所求概率. 【小问2详解】 从年到年这年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个； 所有可能的取值为， ；；； 则的分布列为： 的数学期望. 【小问3详解】 由折线图知：自年开始的连续三年视力平均值接近且连续三年数据相差不大， 自年开始的连续三年，名学生的视力平均值波动幅度最小， 则自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小. 20. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛， （1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响 （i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望 （ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率 【答案】（1）学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 （2）（i）的分布列为 0 1 2 3 （ii）. 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出a=0.018，进而利用中间值求出平均分的估计值； （2）（i）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，根据二项分布求概率，写出分布列进而求期望即可；（ii）将在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的事件分拆成乙答对0道与1道两个事件，再利用互斥事件的概率公式计算而得. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图可知： 可得 ∴平均分的估计值为 ∴学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 【小问2详解】 （i）由题可得，的可能取值为0，1，2，3 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 ∴ （ii）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件 ∴， ， ∴. ∴在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为. 21. 已知数列的前项和为，且 （1）求，并证明数列是等差数列： （2）若，求正整数的所有取值. 【答案】（1） 由，得， 当时，，所以， 当时，， 两式相减得，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明为定值即可； （2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以， ， ， 两式相减得， 所以， 则， 由， 得， 即， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 由， ， 则当时，， 所以若，正整数的所有取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $